沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题13直角三角形中30°性质应用的4种压轴题型全攻略(原卷版+解析)
文档属性
| 名称 | 沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题13直角三角形中30°性质应用的4种压轴题型全攻略(原卷版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-27 13:04:51 | ||
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文档简介
专题13 直角三角形中30性质应用的4种压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 用30的性质求线段的长度的计算 】 1
【考点二 用30的性质求等边三角形的计算】 2
【考点三 用30的性质求图形运动相关计算】 2
【考点四 30的性质应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一用30的性质求线段的长度的计算】
【例题1】如图，，，则（ ）
A．2 B．1.5 C． D．1
【变式1】如图，在中，，，为上一点，，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【变式2】如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．9 D．12
【变式3】如图，它是房架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，则是（ ）米．
A．2 B．4 C．8 D．
【考点二 用30的性质求等边三角形的计算】
【例题2】如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1】已知如图四边形，连接，是等边三角形，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点三 用30的性质求图形运动相关计算】
【例题3】如图，中，，，，，将绕点 C 逆时针旋转至，使得点 恰好落在上，与 交于点 D，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【变式1】如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则线段的长为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【变式2】如图，在中，，，点D、E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，若，，则的长是（）
A．10 B．12 C．13 D．14
【变式3】如图，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，，则长方形的面积是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【考点四 30的性质应用的拓展提高】
【例题4】如图1是深圳地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________
【变式2】如图，在等腰中，，点M，N分别是边，上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当 且时，若，则的面积为_________．
【变式3】如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（ ）．
A． B． C． D．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，已知平分，于点E，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图所示，长方形 沿 着折叠，使D 点 落 在边 上 的F 点处．如果，则 长 方 形 的面积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
3．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于( )
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
4．如图，是等边三角形，平分，点E在的延长线上，且，，则______．
5．如图， 中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为________．
6．如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则_________．
7．如图，在中，分别过B，C作中线所在的直线的垂线，垂足分别为F，D，若，，则________．
8．如图，中，，，是线段上一点，连接并延长至，连接，若，，，则线段长为_________．
9．如图，在中，，D为的中点，点M、N分别在、的延长线上，且，连．若，则的长是________ ．
10．如图，中，在边上取一点，连接，使，在边上取一点，使，若，，，_________．
11．如图，在中，，，，点D是边上的动点，在线段的右侧作等边，连接，线段的最小值是_________．
12．如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为__________.
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC14．如图，在等边中，，点E为高上的一动点，将线段绕点B顺时针就转得到线段，连接，则的最小值为_________ ．
三、解答题
15．如图，在中，，D是中点，，，点E，F分别在边上，且．
(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(2)求的长．
16．如图，在等边中，点D为边上的一动点，以点D为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，过点F作交的延长线于点E，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
(3)若点M是线段的中点，连接，，线段与交于点O，求的度数．
17．如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．
(1)若，试判断的形状，并说明理由；
(2)若是直角三角形，求的长；
(3)如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
18．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并加以证明；
(3)若，求边的长．
专题13 直角三角形中30性质应用的4种压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 用30的性质求线段的长度的计算 】 1
【考点二 用30的性质求等边三角形的计算】 2
【考点三 用30的性质求图形运动相关计算】 2
【考点四 30的性质应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一用30的性质求线段的长度的计算】
【例题1】如图，，，则（ ）
A．2 B．1.5 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质解答．
【详解】解：如图，作于，
，，，
，，
，
，，
，，
，
故选：A．
【变式1】如图，在中，，，为上一点，，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，即“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”，据此解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2】如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，含角的直角三角形特征，熟练掌握直角三角形特征是解题关键．
【详解】解：，，
，
，，
，
，，
，即，
，
．
故选：A．
【变式3】如图，它是房架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，则是（ ）米．
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】A
【分析】根据，点D是斜梁的中点，那么，结合，即可知道的值．
【详解】解：∵，点D是斜梁的中点，
∴，
∵，
∴在，，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【考点二 用30的性质求等边三角形的计算】
【例题2】如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A
【分析】先利用等边三角形的性质证，得，，则，再求出，则，然后由含角的直角三角形的性质求出的长即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式1】已知如图四边形，连接，是等边三角形，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】如图所示，将绕点逆时针旋转至与重合，得，连接，过点作与点，过点作与点，可证，是等边三角形，可求出的值，根据即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转至与重合，得，连接，过点作与点，过点作与点，
∵是等边三角形，
∴，
根据旋转可得，，则，，，
∵旋转至，旋转至，，
∴，
∴，
在图形中，，，
∴图形是等边三角形，即点三点共线，
∴在等边中，，
∴，
在中，，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质，的条件，可得的是含角的直角三角形，由此可求出的长，根据即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，点是的中点，连接，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，且是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，，且，
∴，即，
∴中，，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键．
【变式3】已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明，结合全等三角形的性质与三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质逐一分析判断即可．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确
∵，
∴，
∴．故③正确，
∵．，
∴，
∴，故④正确，
若，则，，与题干条件不符，
∴无法判断，故②错误，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【考点三 用30的性质求图形运动相关计算】
【例题3】如图，中，，，，，将绕点 C 逆时针旋转至，使得点 恰好落在上，与 交于点 D，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】由已知结合旋转的性质可知，，可证得是等边三角形，可得，，进而可知，由等腰三角形的性质和含30度的直角三角形的性质可知，，进而利用面积公式即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
由旋转可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式1】如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则线段的长为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】由，，，可得，，再根据旋转的性质可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质证明是解题的关键．
【变式2】如图，在中，，，点D、E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，若，，则的长是（）
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】根据折叠的性质以及含角的直角三角形的性质得出即可求解．
【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
【变式3】如图，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，，则长方形的面积是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解：在长方形中，，
∵，，
∴，
∴，
∵长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处，
∴，
∴长方形的面积是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
【考点四 30的性质应用的拓展提高】
【例题4】如图1是深圳地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，即可求解．
【详解】解：过点A作，过点B作，如图，
则中，，
同理可得：，
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的应用，正确作出辅助线是关键．
【变式1】如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________
【答案】或
【分析】根据题意，分类讨论，①当点落在边上时，得，②当点落在边上时，得；根据旋转的性质，直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：在中，已知，，
∴,
如图所述，
①当点落在边上时，得，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∴在中，；
②当点落在边上时，得，
在中，，，
∴，
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】如图，在等腰中，，点M，N分别是边，上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当 且时，若，则的面积为_________．
【答案】/0.5
【分析】作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积．
【详解】
如图，作于D点，
∵与关于直线对称，
．
又，
．
中，，
，
．
又，
是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半” ，综合性强．正确的作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的根据．
【变式3】如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（ ）．
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据等边三角形性质和，求得，同理可得，再结合含的直角三角形可求得的边长为，即可得到答案．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
同理可求得：，
在中，，，
，
，即的边长为，
的边长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查图形变化类，等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和的关系是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，已知平分，于点E，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及直角三角形的特征，过点C作于F，根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，根据直角三角形的特征可得，进而可求解，熟练掌握角平分线的性质及含角的直角三角形的特性是解题的关键．
【详解】解：过点C作于F，如图：
平分，，，
，，
，
，
，
，
，
故选A．
2．如图所示，长方形 沿 着折叠，使D 点 落 在边 上 的F 点处．如果，则 长 方 形 的面积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
【答案】A
【分析】根据直角三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解：在长方形中，，
∵，
∴，
∵长方形 沿 着折叠，使D 点 落 在边 上 的F 点处，
∴，
∴长 方 形 的面积是．
故选：A
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
3．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】如图所示过点作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度．
【详解】解：如图所示过点作于，在中，
，，
，
，，
，
，
，
，于，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，在图中构造合适的辅助线的解题的关键．
二、填空题
4．如图，是等边三角形，平分，点E在的延长线上，且，，则．
【答案】3
【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，先利用三线合一定理得到，则可证明，再证明是等腰三角形即可解决问题．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
5．如图， 中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为．
【答案】
【分析】本题考查了三角形全等的性质、含角的直角三角形、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，先根据已知条件求出各个角度，然后构造全等三角形，找到边长之间的关系，其中构造出全等三角形是解答本题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
如图，将绕点A顺时针旋转，得到，
，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的性质．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：4．
7．如图，在中，分别过B，C作中线所在的直线的垂线，垂足分别为F，D，若，，则．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及直角三角形的特征，根据直角三角形的特征得，利用证得得，进而可得，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：6．
8．如图，中，，，是线段上一点，连接并延长至，连接，若，，，则线段长为．
【答案】3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，作于，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，推出，，，从而得到，，证明，得到，最后由，进行计算即可得到答案，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
，，
，
，，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
9．如图，在中，，D为的中点，点M、N分别在、的延长线上，且，连．若，则的长是 ．
【答案】2
【分析】连接，求出，证明，求出，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，D为的中点，
∴，平分，
∴，
∴，
∵，D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴都减去得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．
10．如图，中，在边上取一点，连接，使，在边上取一点，使，若，，，．
【答案】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，中位线，过作交延长线于点，过作于点，根据所对直角边是斜边的一半，求出，由可知，由，得到，再根据中位线定理即可求出，最后由线段和差即可，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】如图，过作交延长线于点，过作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由，，
则，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图，在中，，，，点D是边上的动点，在线段的右侧作等边，连接，线段的最小值是．
【答案】3
【分析】取的中点E，连接，如图，先计算出，再根据等边三角形的性质得到，，得到，然后证明，得到，根据垂线段最短，可判断时，最短，此时，从而得到线段的最小值．
【详解】解：取的中点E，连接，
∵
∴，
∵，，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵时，最短，
∵，，
∴此时．
∴线段的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质和垂线段最短，解题的关键是正确做出辅助线，通过全等三角形的性质得到．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：，，，，．直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半．
12．如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为.
【答案】11
【分析】由题意易证明，由全等三角形的性质得出，作，交的延长线于，．证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
∴，
，
．
作，交的延长线于，．
，
在和中，
，
∴，
，，
在中，，
，
，，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：11．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识点，注意结合图形，作出适当的辅助线解决问题．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC【答案】9
【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∴B'E=2CE=6，∴BE=B'E=6，
∴BC=CE+BE=3+6=9.
14．如图，在等边中，，点E为高上的一动点，将线段绕点B顺时针就转得到线段，连接，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】先利用等边三角形的性质和旋转的性质分别得到、、，则可证明，并由此得到，，又因为是高上的一个动点，可推得点在过点且与成的直线上运动，根据垂线段最短可得当时，有最小值，结合含有的直角三角形的性质即可得到．
【详解】
如图，连接，
是等边三角形，且，
，，
平分且是中点，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
则，
即，
在和中，
，
，，
点在过点且与成的直线上运动，
当时，有最小值，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、垂线段最短及含有的直角三角形的性质，解题关键是通过证明得到点的运动路径，再利用垂线段最短求解．
三、解答题
15．如图，在中，，D是中点，，，点E，F分别在边上，且．
(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(2)求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）过D作于G，于H，利用等边三角形的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2），得到，进而推出，根据等边三角形和含角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
过D作于G，于H，
∵，D是中点，，
∴是等边三角形，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角新的判定和性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形．
16．如图，在等边中，点D为边上的一动点，以点D为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，过点F作交的延长线于点E，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
(3)若点M是线段的中点，连接，，线段与交于点O，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)相等，见解析
(3)60度
【分析】（1）按题目要求补图即可；
（2）连接，证明是等边三角形，并结合等边可得出，，，然后证明即可少外出结论；
（3）利用全等三角形的性质和角的和差可证，利用含的直角三角形的性质以及线段中点的定义可得，然后证明，得出，即可求解．
【详解】（1）解：如图，依题意补全图形
；
（2）解：线段，之间的数量关系是．
连接．
是等边三角形，
，．
以为中心线段顺时针旋转得到线段，
，．
是等边三角形．
，．
，
，
在与中，
．
．
（3）解：，
，
，点，，在一条直线上，
．
即．
，，
，
．
又为的中点，
．
．
在与中，
．
．
设与交于点，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
17．如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．
(1)若，试判断的形状，并说明理由；
(2)若是直角三角形，求的长；
(3)如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)的长为2或4；
(3)．
【分析】（1）先证明，推出，，利用三角形内角和定理求得，据此可证明是等边三角形；
（2）分两种情况讨论，当和时，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解；
（3）先作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，此时的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为2或4；
（3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，
、关于对称，、关于对称，
，，
∴，，
的周长，
当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，
、关于对称，、关于对称，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用轴对称的性质解决最短路线问题，解决第3题的关键是作点D关于和的对称点，找到符合条件的动点E和F．
18．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并加以证明；
(3)若，求边的长．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)4
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，利用角的等量关系可得，进而可得，进而可求证结论．
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得，进而可求证结论．
（3）根据直角三角形的特征及等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，是边上的中线，
，，
，
，
，，
∴，
，
．
（2）是等边三角形，理由如下：
垂直平分线段，
，
，
，
，
又，，是边上的中线，
∴，
，
是等边三角形．
（3），，，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的性质和直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
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【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 用30的性质求线段的长度的计算 】 1
【考点二 用30的性质求等边三角形的计算】 2
【考点三 用30的性质求图形运动相关计算】 2
【考点四 30的性质应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一用30的性质求线段的长度的计算】
【例题1】如图，，，则（ ）
A．2 B．1.5 C． D．1
【变式1】如图，在中，，，为上一点，，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【变式2】如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．9 D．12
【变式3】如图，它是房架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，则是（ ）米．
A．2 B．4 C．8 D．
【考点二 用30的性质求等边三角形的计算】
【例题2】如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1】已知如图四边形，连接，是等边三角形，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点三 用30的性质求图形运动相关计算】
【例题3】如图，中，，，，，将绕点 C 逆时针旋转至，使得点 恰好落在上，与 交于点 D，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【变式1】如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则线段的长为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【变式2】如图，在中，，，点D、E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，若，，则的长是（）
A．10 B．12 C．13 D．14
【变式3】如图，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，，则长方形的面积是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【考点四 30的性质应用的拓展提高】
【例题4】如图1是深圳地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________
【变式2】如图，在等腰中，，点M，N分别是边，上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当 且时，若，则的面积为_________．
【变式3】如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（ ）．
A． B． C． D．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，已知平分，于点E，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图所示，长方形 沿 着折叠，使D 点 落 在边 上 的F 点处．如果，则 长 方 形 的面积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
3．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于( )
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
4．如图，是等边三角形，平分，点E在的延长线上，且，，则______．
5．如图， 中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为________．
6．如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则_________．
7．如图，在中，分别过B，C作中线所在的直线的垂线，垂足分别为F，D，若，，则________．
8．如图，中，，，是线段上一点，连接并延长至，连接，若，，，则线段长为_________．
9．如图，在中，，D为的中点，点M、N分别在、的延长线上，且，连．若，则的长是________ ．
10．如图，中，在边上取一点，连接，使，在边上取一点，使，若，，，_________．
11．如图，在中，，，，点D是边上的动点，在线段的右侧作等边，连接，线段的最小值是_________．
12．如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为__________.
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC
三、解答题
15．如图，在中，，D是中点，，，点E，F分别在边上，且．
(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(2)求的长．
16．如图，在等边中，点D为边上的一动点，以点D为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，过点F作交的延长线于点E，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
(3)若点M是线段的中点，连接，，线段与交于点O，求的度数．
17．如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．
(1)若，试判断的形状，并说明理由；
(2)若是直角三角形，求的长；
(3)如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
18．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并加以证明；
(3)若，求边的长．
专题13 直角三角形中30性质应用的4种压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 用30的性质求线段的长度的计算 】 1
【考点二 用30的性质求等边三角形的计算】 2
【考点三 用30的性质求图形运动相关计算】 2
【考点四 30的性质应用的拓展提高】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一用30的性质求线段的长度的计算】
【例题1】如图，，，则（ ）
A．2 B．1.5 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质解答．
【详解】解：如图，作于，
，，，
，，
，
，，
，，
，
故选：A．
【变式1】如图，在中，，，为上一点，，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，即“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”，据此解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2】如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，含角的直角三角形特征，熟练掌握直角三角形特征是解题关键．
【详解】解：，，
，
，，
，
，，
，即，
，
．
故选：A．
【变式3】如图，它是房架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，则是（ ）米．
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】A
【分析】根据，点D是斜梁的中点，那么，结合，即可知道的值．
【详解】解：∵，点D是斜梁的中点，
∴，
∵，
∴在，，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【考点二 用30的性质求等边三角形的计算】
【例题2】如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A
【分析】先利用等边三角形的性质证，得，，则，再求出，则，然后由含角的直角三角形的性质求出的长即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式1】已知如图四边形，连接，是等边三角形，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】如图所示，将绕点逆时针旋转至与重合，得，连接，过点作与点，过点作与点，可证，是等边三角形，可求出的值，根据即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转至与重合，得，连接，过点作与点，过点作与点，
∵是等边三角形，
∴，
根据旋转可得，，则，，，
∵旋转至，旋转至，，
∴，
∴，
在图形中，，，
∴图形是等边三角形，即点三点共线，
∴在等边中，，
∴，
在中，，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质，的条件，可得的是含角的直角三角形，由此可求出的长，根据即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，点是的中点，连接，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，且是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，，且，
∴，即，
∴中，，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键．
【变式3】已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明，结合全等三角形的性质与三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质逐一分析判断即可．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确
∵，
∴，
∴．故③正确，
∵．，
∴，
∴，故④正确，
若，则，，与题干条件不符，
∴无法判断，故②错误，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【考点三 用30的性质求图形运动相关计算】
【例题3】如图，中，，，，，将绕点 C 逆时针旋转至，使得点 恰好落在上，与 交于点 D，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】由已知结合旋转的性质可知，，可证得是等边三角形，可得，，进而可知，由等腰三角形的性质和含30度的直角三角形的性质可知，，进而利用面积公式即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
由旋转可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式1】如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则线段的长为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】由，，，可得，，再根据旋转的性质可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质证明是解题的关键．
【变式2】如图，在中，，，点D、E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，若，，则的长是（）
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】根据折叠的性质以及含角的直角三角形的性质得出即可求解．
【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
【变式3】如图，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，，则长方形的面积是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解：在长方形中，，
∵，，
∴，
∴，
∵长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处，
∴，
∴长方形的面积是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
【考点四 30的性质应用的拓展提高】
【例题4】如图1是深圳地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，即可求解．
【详解】解：过点A作，过点B作，如图，
则中，，
同理可得：，
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的应用，正确作出辅助线是关键．
【变式1】如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________
【答案】或
【分析】根据题意，分类讨论，①当点落在边上时，得，②当点落在边上时，得；根据旋转的性质，直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：在中，已知，，
∴,
如图所述，
①当点落在边上时，得，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∴在中，；
②当点落在边上时，得，
在中，，，
∴，
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】如图，在等腰中，，点M，N分别是边，上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当 且时，若，则的面积为_________．
【答案】/0.5
【分析】作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积．
【详解】
如图，作于D点，
∵与关于直线对称，
．
又，
．
中，，
，
．
又，
是等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半” ，综合性强．正确的作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的根据．
【变式3】如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（ ）．
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据等边三角形性质和，求得，同理可得，再结合含的直角三角形可求得的边长为，即可得到答案．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
同理可求得：，
在中，，，
，
，即的边长为，
的边长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查图形变化类，等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和的关系是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．如图，已知平分，于点E，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及直角三角形的特征，过点C作于F，根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，根据直角三角形的特征可得，进而可求解，熟练掌握角平分线的性质及含角的直角三角形的特性是解题的关键．
【详解】解：过点C作于F，如图：
平分，，，
，，
，
，
，
，
，
故选A．
2．如图所示，长方形 沿 着折叠，使D 点 落 在边 上 的F 点处．如果，则 长 方 形 的面积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
【答案】A
【分析】根据直角三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解：在长方形中，，
∵，
∴，
∵长方形 沿 着折叠，使D 点 落 在边 上 的F 点处，
∴，
∴长 方 形 的面积是．
故选：A
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
3．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】如图所示过点作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度．
【详解】解：如图所示过点作于，在中，
，，
，
，，
，
，
，
，于，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，在图中构造合适的辅助线的解题的关键．
二、填空题
4．如图，是等边三角形，平分，点E在的延长线上，且，，则．
【答案】3
【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，先利用三线合一定理得到，则可证明，再证明是等腰三角形即可解决问题．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
5．如图， 中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为．
【答案】
【分析】本题考查了三角形全等的性质、含角的直角三角形、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，先根据已知条件求出各个角度，然后构造全等三角形，找到边长之间的关系，其中构造出全等三角形是解答本题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
如图，将绕点A顺时针旋转，得到，
，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的性质．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：4．
7．如图，在中，分别过B，C作中线所在的直线的垂线，垂足分别为F，D，若，，则．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及直角三角形的特征，根据直角三角形的特征得，利用证得得，进而可得，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：6．
8．如图，中，，，是线段上一点，连接并延长至，连接，若，，，则线段长为．
【答案】3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，作于，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，推出，，，从而得到，，证明，得到，最后由，进行计算即可得到答案，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
，，
，
，，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
9．如图，在中，，D为的中点，点M、N分别在、的延长线上，且，连．若，则的长是 ．
【答案】2
【分析】连接，求出，证明，求出，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，D为的中点，
∴，平分，
∴，
∴，
∵，D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴都减去得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．
10．如图，中，在边上取一点，连接，使，在边上取一点，使，若，，，．
【答案】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，中位线，过作交延长线于点，过作于点，根据所对直角边是斜边的一半，求出，由可知，由，得到，再根据中位线定理即可求出，最后由线段和差即可，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】如图，过作交延长线于点，过作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由，，
则，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图，在中，，，，点D是边上的动点，在线段的右侧作等边，连接，线段的最小值是．
【答案】3
【分析】取的中点E，连接，如图，先计算出，再根据等边三角形的性质得到，，得到，然后证明，得到，根据垂线段最短，可判断时，最短，此时，从而得到线段的最小值．
【详解】解：取的中点E，连接，
∵
∴，
∵，，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵时，最短，
∵，，
∴此时．
∴线段的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质和垂线段最短，解题的关键是正确做出辅助线，通过全等三角形的性质得到．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：，，，，．直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半．
12．如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为.
【答案】11
【分析】由题意易证明，由全等三角形的性质得出，作，交的延长线于，．证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
∴，
，
．
作，交的延长线于，．
，
在和中，
，
∴，
，，
在中，，
，
，，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：11．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识点，注意结合图形，作出适当的辅助线解决问题．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC
【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC
∴BC=CE+BE=3+6=9.
14．如图，在等边中，，点E为高上的一动点，将线段绕点B顺时针就转得到线段，连接，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】先利用等边三角形的性质和旋转的性质分别得到、、，则可证明，并由此得到，，又因为是高上的一个动点，可推得点在过点且与成的直线上运动，根据垂线段最短可得当时，有最小值，结合含有的直角三角形的性质即可得到．
【详解】
如图，连接，
是等边三角形，且，
，，
平分且是中点，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
则，
即，
在和中，
，
，，
点在过点且与成的直线上运动，
当时，有最小值，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、垂线段最短及含有的直角三角形的性质，解题关键是通过证明得到点的运动路径，再利用垂线段最短求解．
三、解答题
15．如图，在中，，D是中点，，，点E，F分别在边上，且．
(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(2)求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）过D作于G，于H，利用等边三角形的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2），得到，进而推出，根据等边三角形和含角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
过D作于G，于H，
∵，D是中点，，
∴是等边三角形，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角新的判定和性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形．
16．如图，在等边中，点D为边上的一动点，以点D为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，过点F作交的延长线于点E，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
(3)若点M是线段的中点，连接，，线段与交于点O，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)相等，见解析
(3)60度
【分析】（1）按题目要求补图即可；
（2）连接，证明是等边三角形，并结合等边可得出，，，然后证明即可少外出结论；
（3）利用全等三角形的性质和角的和差可证，利用含的直角三角形的性质以及线段中点的定义可得，然后证明，得出，即可求解．
【详解】（1）解：如图，依题意补全图形
；
（2）解：线段，之间的数量关系是．
连接．
是等边三角形，
，．
以为中心线段顺时针旋转得到线段，
，．
是等边三角形．
，．
，
，
在与中，
．
．
（3）解：，
，
，点，，在一条直线上，
．
即．
，，
，
．
又为的中点，
．
．
在与中，
．
．
设与交于点，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
17．如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．
(1)若，试判断的形状，并说明理由；
(2)若是直角三角形，求的长；
(3)如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)的长为2或4；
(3)．
【分析】（1）先证明，推出，，利用三角形内角和定理求得，据此可证明是等边三角形；
（2）分两种情况讨论，当和时，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解；
（3）先作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，此时的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为2或4；
（3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，
、关于对称，、关于对称，
，，
∴，，
的周长，
当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，
、关于对称，、关于对称，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用轴对称的性质解决最短路线问题，解决第3题的关键是作点D关于和的对称点，找到符合条件的动点E和F．
18．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并加以证明；
(3)若，求边的长．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)4
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，利用角的等量关系可得，进而可得，进而可求证结论．
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得，进而可求证结论．
（3）根据直角三角形的特征及等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，是边上的中线，
，，
，
，
，，
∴，
，
．
（2）是等边三角形，理由如下：
垂直平分线段，
，
，
，
，
又，，是边上的中线，
∴，
，
是等边三角形．
（3），，，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的性质和直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
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