沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题06含有字母参数的根的判别式运算4种压轴题型全攻略(原卷版+解析)

专题06 含有字母参数的根的判别式运算4种压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 由根的判别式概念的简单计算 】 1
【考点二 一次项、常数项含有参数的根的判别式的计算】 2
【考点三 二次项系数含有字母参数的计算】 2
【考点四 利用韦达定理的拓展提高计算】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 由根的判别式概念的简单计算】
【例题1】一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．不能判定
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【变式1】关于的一元二次方程（）的两根为，，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）
A． B． C． D．
【变式3】方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等实数根
C．无实数根 D．以上三种情况都有可能
【考点二 一次项、常数项含有字母参数的计算】
【例题2】关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
【变式1】当时，关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【变式2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【变式3】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点三 二次项系数含有字母参数的计算】
【例题3】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为( )
A． B．且 C．且 D．
【变式1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B．且 C．且 D．且
【变式2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）
A． B．且 C． D．且
【变式3】若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【考点四 利用韦达定理的拓展提高计算】
【例题4】已知是关于的方程的两实数根，且满足关系式，则的值为______．
【变式1】已知关于的一元二次方程．两实数根分别为，且满足，则实数的值为______．
【变式2】关于的一元二次方程的两实数根、， 满足，则的值是______.
【变式3】已知，是方程的两个实数根，且，则的值为______．
【过关检测】
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．若关于的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
3．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
4．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
5．对于实数，定义运算“”：若，例如：．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．一元二次方程根的情况是______实数根（填“有”或“没有”）．
7．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
8．若关于x的方程 有实数根，则实数k的取值范围______．
9．关于x的一元二次方程．该方程根的情况是 ；若该方程有一个根大于1，k的取值范围是______ ．
10．已知的三边长分别为，，，则关于的一元二次方程的根的情况是______．
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，则的值为______．
12．定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是______．
13．若关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是______．
14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
15．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______；
16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______．
17．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则分式的值为______．
三、解答题
18．已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
19．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的一个实数根为1，求方程的另一个根．
20．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，求的值．
21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
22．已知一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值．
专题06 含有字母参数的根的判别式运算4种压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 由根的判别式概念的简单计算 】 1
【考点二 一次项、常数项含有参数的根的判别式的计算】 2
【考点三 二次项系数含有字母参数的计算】 2
【考点四 利用韦达定理的拓展提高计算】 3
【过关检测】 4
【典型例题】
【考点一 由根的判别式概念的简单计算】
【例题1】一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．不能判定
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：，
方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
【变式1】关于的一元二次方程（）的两根为，，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个不同的实数根，可知，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
【详解】∵关于的一元二次方程（）的两根为，，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
故选：．
【变式2】下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法．
根据一元二次方程根的判别式，分别计算的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断．
【详解】A、，方程没有实数根；
、，方程有两个相等的实数根；
C、，方程有两个不相等的实数根；
D、，方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【变式3】方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等实数根
C．无实数根 D．以上三种情况都有可能
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据“一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A
【考点二 一次项、常数项含有字母参数的计算】
【例题2】关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
【变式1】当时，关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【变式2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到判别式大于0列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：或，
符合题意的只有D选项，
故选：D．
【变式3】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：C．
【考点三 二次项系数含有字母参数的计算】
【例题3】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为( )
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即，且，计算可得答案．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，且，
解得：，且．
故选：C．
【点睛】此题考查了已知一元二次方程根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键．
【变式1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B．且 C．且 D．且
【答案】B
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【变式2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式与方程即可得到满足条件的a的值．
【详解】根据题意得，且，
解得且；
故选：B．
【变式3】若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的判别式，由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，且，
即，且，
解得且，
故选A．
【考点四 利用韦达定理的拓展提高计算】
【例题4】已知是关于的方程的两实数根，且满足关系式，则的值为______．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，根据根与系数的关系得到，进而得到关于k的方程，解方程求出k的值，再根据判别式大于0，求出k的值是解题的关键． 对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵是关于的方程的两实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴，
故答案为：1．
【变式1】已知关于的一元二次方程．两实数根分别为，且满足，则实数的值为______．
【答案】2
【分析】先由一元二次方程根的判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围，再根据根与系数的关系可得：，，代入得到关于m的一元二次方程，解方程并根据（1）中的m的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
，
解得：，
即的取值范围是；
∵由根与系数的关系可得：，
∴
，
∵，
∴，即，
∴，
解得或，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确计算是解题的关键．
【变式2】关于的一元二次方程的两实数根、， 满足，则的值是______
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据题意得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根、，
∴
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）
∴，
故答案为：．
【变式3】已知，是方程的两个实数根，且，则的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，由即可得出关于k的方程，再解方程即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，
解得，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，的根与系数的关系为：，．
【过关检测】
一、单选题
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无根．
根据，判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程没有实数根，
故选：D．
2．若关于的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
【答案】C
【分析】本题考查根的判别式．分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况，进行分析，当方程是一元二次方程时，利用根据的判别式列出不等式求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：当，即：时，方程化为，解得：，满足题意；
当时，方程为一元二次方程，由题意，得：，解得：，
即：且时一元二次方程有实数根；
综上：；
故选C．
3．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程根的判别式，得出，解不等式即可求解．
【详解】解：根据题意，可得且，
解得且．
故选：D．
4．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【分析】根据x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，即可列式作答．
【详解】解：因为x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，
则，
解得
因为，，
所以，，
那么k的取值范围是且，
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的判别式；当一元二次方程有两个不相等的实数根，则，当一元二次方程有两个相等的实数根或有一个实数根，则，当一元二次方程没有实数根，则．
5．对于实数，定义运算“”：若，例如：．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．熟练掌握：一元二次方程有实数根，即，是解题的关键．
由题意知，，整理得，，由一元二次方程有实数根，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
整理得，，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，，
故选：D．
二、填空题
6．一元二次方程根的情况是______实数根（填“有”或“没有”）．
【答案】没有
【分析】此题考查了一元二次方程的根，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况即可，熟练掌握方程的判别式，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程无实数根．
【详解】解：，
∴方程没有实数根，
故答案为：没有．
7．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
【答案】
【分析】运用根的判别式求参数即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，，解得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据根的情况求参数，掌握根的判别式求参数的计算方法是解题的关键______．
8．若关于x的方程 有实数根，则实数k的取值范围______．
【答案】
【分析】分类讨论，当时与当时即可．
【详解】解：∵关于的方程 有实数根，
∴当时，，
∴，
∴且，
当时，
此时方程为，满足题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查方程有根的情况,关键在于分类讨论．
9．关于x的一元二次方程．该方程根的情况是 ；若该方程有一个根大于1，k的取值范围是______ ．
【答案】 有两个实数根
【分析】计算判别式的值，再利用非负数的性质得到，从而得到结论；利用因式分解法解方程得到， 则 ，然后解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴原方程总有两个实数根；
∵原方程可化为，
∴，
∵该方程有一个根大于1，
∴，
∴；
故答案为：有两个实数根；．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
10．已知的三边长分别为，，，则关于的一元二次方程的根的情况是______．
【答案】无实数根
【分析】利用“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可得的取值范围，进而分析判别式与的关系，便可得该一元二次方程根的存在情况．
【详解】解：的三边长分别为，，，
，
即．
．
对于关于的一元二次方程，
，
该方程无实数根．
故答案为：无实数根．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，则的值为______．
【答案】0
【分析】直接利用当时，方程有两个不相等的实数根，进而得出的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵为非负整数，
∴的值为0，
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题关键．
12．定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是______．
【答案】
【分析】根据“蝴蝶”方程的定义，方程有两个相等的实数根即根的判别式等于零，由此即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，
∴，
∴，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查定义新运算，根与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键．
13．若关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程无实数根，可知，然后即可求得a的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，求解即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
15．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______；
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有有两个相等的实数根得，得到，再将其代入所求式子中计算即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
．
故答案为：．
16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______．
【答案】且
【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况求参数的范围，根据相关定义和性质列出关于k的不等式组并求解即可得出答案，
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即
∴且．
故答案为：且．
17．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则分式的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，分式的求值，解题的关键是利用方程两个相等的实数根，得出判别式．
【详解】解：∵有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
18．已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】．
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
【详解】解：∵，方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：，
∴的取值范围是．
19．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的一个实数根为1，求方程的另一个根．
【答案】(1)
(2)方程的另一根为5
【分析】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；
（1）根据题意及根的判别式可进行求解；
（2）设方程的另一个根为a，然后根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：；
（2）解：设方程的另一个根为a，由方程的一个实数根为1及一元二次方程根与系数的关系得：，
∴，
∴方程的另一个为5．
20．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．
由根与系数的关系可用表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于的方程，即可求得的值．由方程根的情况，根据判别式可求得符合要求的；
【详解】∵方程的两个实数根分别为和，
或，
∵关于的一元二次方程有两个实数根，
当时，不符合要求，
∴．
21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键．
（1）利用根的判别式，即可求出答案；
（2）先将足转化成，再运用根与系数的关系即可求出答案．
【详解】（1）解：有两个实数根，
，
，
；
（2），是该方程的两个根，
，，
，
，
或1．
；
．
22．已知一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值．
【答案】(1)且
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关定义，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，是解题的关键．
（1）根据一元二次方程的定义得出，再根据方程有两个实数根得出，即可求解；
（2）根据（1）中的取值范围，得出k的值，将其代入，求出，再把代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
∵方程有两个实数根，
∴，
解得：，
综上： 的取值范围且；
（2）解：∵且，
∴符合条件的最大整数，
把代入得：，
解得：，
∵方程与有一个相同的根，
∴方程的一个根为，
把代入得：，
解得：．
∵，，
∴，
解得
因为，所以．
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