湘教版七年级数学上册压轴题攻略专题16难点探究专题：几何图形中动角问题压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

专题16 难点探究专题：几何图形中动角问题压轴题三种模型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 几何图形中动角定值问题】 1
【考点二 几何图形中动角数量关系问题】 6
【考点三 几何图形中动角求运动时间问题】 11
【过关检测】 20
【典型例题】
【考点一 几何图形中动角定值问题】
例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，，
(1)求的度数.
(2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由.
(3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围.
【变式训练】
1．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题：
(1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度；
(2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数；
②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数；
(3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由．
2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．
(1)如图，当，重合时，求的度数；
(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．
(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？
【考点二 几何图形中动角数量关系问题】
例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．

(1)如图1，当平分时，求的度数；
(2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【变式训练】
1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．
(1)如图1，若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．
2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．
(1)如图，当，重合时，求的度数；
(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．
(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？
【考点三 几何图形中动角求运动时间问题】
例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．

(1)运动开始前，如图1，______，______；
(2)旋转过程中，当为何值时，射线平分
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由；
(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由．
2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．

(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；
(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；
(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．
①直接写出和的数量关系；
②若，当，求t的值．
3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题．

(1)【探索新知】
如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）
②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．（用含的代数式表示出所有可能的结果）
(2)【深入研究】
如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒．
①当为何值时，射线是的“巧分线”．
②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点О在直线上，射线分别在两侧，，，分别平分和，下列四个结论：①；②为定值；③；④．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在的情况
B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线恰好平分
D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒
二、填空题
3．（2023秋·七年级课时练习）如图，∠COD在∠AOB的内部，且，若将∠COD绕点O顺时针旋转，使∠COD在∠AOB的外部，在运动过程中，OE平分∠BOC，则∠DOE与∠AOC之间满足的数量关系是 ．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线的位置保持不变，且．则在旋转过程中，如图2，当 秒时，射线与中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．
三、解答题
5．（2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）已知O是直线AB上的一点，是直角，OE平分．

(1)如图①，若，求，的度数．
(2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究与的度数之间的数量关系，并说明理由．
6．（2023春·河北唐山·七年级统考开学考试）如图，已知，是的平分线，是的平分线．

(1)分别指出图中和的补角；
(2)若，求和的度数；
(3)和具有怎样的数量关系，并说明理由．
7．（2022秋·陕西延安·七年级校考期末）已知，，平分，平分.
（1）如图，当、重合时，求的值；
（2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
8．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，．
(1)如图1，若，则______°，______°，______°；
(2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

9．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且．
问题提出：
(1)若，求的度数．
(2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由．
问题解决：
(3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由．
10．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，点为直线上一点，将斜边为的直角三角板的直角顶点放在点处，平分．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)将直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)在图1中，，与的起始位置重合，再将三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，射线恰好是锐角的三等分线，则的值为__________秒（直接写出结果）．
11．（2023秋·七年级课时练习）如图 ，已知 ， 与 互余， 平分 ．

(1)在图 中，若，则 ， ．
(2)在图 中，设 ，，请探索 与 之间的数量关系．
(3)在已知条件不变的前提下，当 绕点 逆时针转动到如图 的位置时，（）中 与 的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出 与 的数量关系并说明理由．

12．（2023秋·山西晋中·七年级统考期末）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．
问题实践：
(1)老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边落在直线上，，，，则 ；
操作探究：
(2)奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答．
_____秒，边落在边上；
当边平分时， _______秒；
深度探究：
(3)如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转，求为何值时，．
专题16 难点探究专题：几何图形中动角问题压轴题三种模型全攻略
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目录
【典型例题】 1
【考点一 几何图形中动角定值问题】 1
【考点二 几何图形中动角数量关系问题】 6
【考点三 几何图形中动角求运动时间问题】 11
【过关检测】 20
【典型例题】
【考点一 几何图形中动角定值问题】
例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，，
(1)求的度数.
(2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由.
(3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围.
【答案】(1)
(2)发生变化，理由见解析
(3)不变，
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，进而根据即可求解；
（2）根据，则转动时同样在动，同理也在动；
（3）根据（1）的结论即可求解．
【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴转动时同样在动，
同理同样转动；
（3）不变同样35°；
解：当射线在的内部线绕点转动时，
∵是的平分线，是的平分线，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题：
(1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度；
(2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数；
②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数；
(3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)的值不会发生变化，，理由见解析
【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可；
（2）①根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；②根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；
（3）分别用表示出 ．再根据角平分线的定义表示出，，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
∴，
故答案为：；
（2）解：①由题意得，，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
②由题意得，，
∵为的角平分线，
∴，
∴；
（3）解：的值不会发生变化，，理由如下：
由题意得，，
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键．
4．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．
(1)如图，当，重合时，求的度数；
(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．
(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析
(3)当时， ；当时，；当时，
【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；
(2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案；
(3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解．
【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分，
、，
；
（2）解：的值为定值，
理由如下：如图：
从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度
，，点C、D在直线的右侧，
射线平分，射线平分，
，，
，
的值为定值；
（3）解：当时，如图2：由(2)知，；
当时，如图3所示，
，
，
射线平分，射线平分，
，，
；
当时，如图4所示，
，
，
射线平分，射线平分，
，，
；
综上，与具有的数量关系为：当时， ；当时，；当时，．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【考点二 几何图形中动角数量关系问题】
例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．

(1)如图1，当平分时，求的度数；
(2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【答案】(1)
(2)不改变，，理由见解析
【分析】（1）由平分，则，由，得到，最后得到；
（2）分两种情况，在内部时，令，则，，结论成立；的两边在射线的两侧时．令，则，，，进而结论得证．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴；
（2）①在内部时．
令，则，，
∴，
∴；
②的两边在射线的两侧时．令，
则，，，
∴，
∴．
综上可得，和的数量关系不改变，
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
【变式训练】
1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．
(1)如图1，若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设，则，再利用，然后整理可得结论．
【详解】（1）∵是的平分线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2），
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．
(1)如图，当，重合时，求的度数；
(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．
(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析
(3)当时， ；当时，；当时，
【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；
(2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案；
(3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解．
【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分，
、，
；
（2）解：的值为定值，
理由如下：如图：
从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度
，，点C、D在直线的右侧，
射线平分，射线平分，
，，
，
的值为定值；
（3）解：当时，如图2：由(2)知，；
当时，如图3所示，
，
，
射线平分，射线平分，
，，
；
当时，如图4所示，
，
，
射线平分，射线平分，
，，
；
综上，与具有的数量关系为：当时， ；当时，；当时，．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【考点三 几何图形中动角求运动时间问题】
例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．

(1)运动开始前，如图1，______，______；
(2)旋转过程中，当为何值时，射线平分
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)39，51
(2)
(3)存在，符合条件的的值为12s或33s
【分析】（1）根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义直接计算即可；
（2）根据列方程求解即可；
（3）分情况根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：，，三点在一条直线上，，，
，
，分别平分和，
，，
故答案为：39，51；
（2）解：射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，
，
射线平分，
，
，
，
；
（3）解：存在某一时刻使得，分以下几种情况：
情况一：若在上方，此时，
即，
解得；
情况二：若在下方，此时，
即，
解得（不符合题意，舍去）；
情况三：当停止运动时，继续旋转时，当旋转264°时，有，
此时．
综上所述，符合条件的的值为12s或33s．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由；
(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由．
【答案】(1)；平分，理由见解析
(2)的值为或
【分析】（1）根据的度数求出的度数，根据互余得出的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出，，再根据，即可得出平分；
（2）根据题意和图形得出，再根据旋转求出结果即可．
【详解】（1）解：旋转前,
当平分时，，
则,
解得：，
结论：平分,
理由：∵，
又∵，
∴,
∴平分；
（2）解：
若平分，

则 ，
∴，
∴，
当停止时, 平分, 则有,

∴,
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.
2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．

(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；
(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；
(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．
①直接写出和的数量关系；
②若，当，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案；
（2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得；
（3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：①∵，
∴，
∴
由题意得：，
∴，，
∴；
②由①知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
把代入得：
解得，
∴若，当时，．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题．

(1)【探索新知】
如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）
②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．（用含的代数式表示出所有可能的结果）
(2)【深入研究】
如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒．
①当为何值时，射线是的“巧分线”．
②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值．
【答案】(1)①是；②或或
(2)①或或；②或或
【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解；
②分3种情况，根据巧分线定义即可求解；
（2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；
②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．
【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”；
故答案为：是
②∵，
当是的角平分线时，
∴；
当是三等分线时，较小时，
∴；
当是三等分线时，较大时，
∴；
故答案为：或或；
（2）解：①∵是的“巧分线”，
∴在内部，所以转至左侧，
∵与成时停止旋转，且，旋转速度为．
∴．
当时，如图所示：

，
解得；
当时，如图所示：

，
解得；
当时，如图所示：

，
解得．
∵或或均在的范围内，
∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”；
②依题意有：在的内部，
∴，，
当时，如图所示：

，
解得；
②当时，如图所示：

，
解得；
③当时，如图所示：

，
解得．
∴当t为或或时，射线是的“巧分线”．
【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点О在直线上，射线分别在两侧，，，分别平分和，下列四个结论：①；②为定值；③；④．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设，则，，可得，再根据角平分线的定义可得，故①正确；再由，可得②正确；再分别求出和，可得③正确；然后求出和，即可求解．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，分别平分和，
∴，
∴，故①正确；
，是定值，故②正确；
∵，
，
∴，故③正确；
∵，
，
∴，故④正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角的和与差，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．
2．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程中，不存在的情况
B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C．当t值为36秒时，射线恰好平分
D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒
【答案】C
【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误．
【详解】解：由题意知，；当时，；当时，；
令，即，解得秒，
∴存在的情况；
故A错误，不符合题意；
令，即，解得秒，
令，即，解得秒，
∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；
故B、D错误，不符合题意；
当时，，
∴，
∵，
∴射线恰好平分，
故C正确，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度．
二、填空题
3．（2023秋·七年级课时练习）如图，∠COD在∠AOB的内部，且，若将∠COD绕点O顺时针旋转，使∠COD在∠AOB的外部，在运动过程中，OE平分∠BOC，则∠DOE与∠AOC之间满足的数量关系是 ．
【答案】或
【分析】分情况讨论：当旋转的角度不超过时，当旋转的角度超过，不超过时，画出旋转后的图，利用角之间的关系计算即可．
【详解】解：当旋转的角度不超过时，如图：
∴，
，
∵， OE平分∠BOC，
∴，，
∴．
当旋转的角度超过，不超过时，如图，
∴，
，
∵， OE平分∠BOC，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查旋转，几何图形中角之间的关系，解题的关键是分情况讨论，结合图进行求解．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线的位置保持不变，且．则在旋转过程中，如图2，当 秒时，射线与中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．
【答案】2或8或32
【分析】分三种情况进行解答，即①射线是的平分线，②射线是的平分线，③射线是的平分线，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可．
【详解】解：当射线是的平分线时，
∵，
∴，
∴；
当射线是的平分线时，
，
∴；
当射线是的平分线时，
，
∴，
故答案为：2或8或32．
【点睛】本题考查角平分线，理解角平分线的定义是正确解答的前提．
三、解答题
5．（2023秋·广东揭阳·七年级统考期末）已知O是直线AB上的一点，是直角，OE平分．

(1)如图①，若，求，的度数．
(2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究与的度数之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
【分析】（1）（1）由，是直角，可知，，因为平分，所以；
（2）设，因为是直角，所以，，因为平分，所以；所以．
【详解】（1）解：∵，是直角，
∴，，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：．理由如下：
设，
∵是直角，
∴，，
∵平分，
∴；
∴．
即．
【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义等知识，关键是由图形得到角度之间的关系．
6．（2023春·河北唐山·七年级统考开学考试）如图，已知，是的平分线，是的平分线．

(1)分别指出图中和的补角；
(2)若，求和的度数；
(3)和具有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)的补角有和，的补角有和
(2)，
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义和补角的定义解答即可；
（2）根据角平分线的定义可求，根据邻补角的定义可求，进而根据角平分线的定义可求；
（3）根据角平分线的定义得，，两式相加即可求出和的数量关系．
【详解】（1）∵是的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴的补角有和，
同理可求的补角有和．
（2）∵，是的平分线，
∴，．
∵是的平分线，
∴；
（3）∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，以及角的和差运算，数形结合是解答本题的关键．
7．（2022秋·陕西延安·七年级校考期末）已知，，平分，平分.
（1）如图，当、重合时，求的值；
（2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
【答案】（1）35°；（2）是定值，35°
【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE-∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根据∠AOE-∠BOF求解可得．
【详解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°，
∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；
（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2，
由题意∠BOC=3t°，
则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），
∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°，
∴∠AOE-∠BOF的值是定值．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
8．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，．
(1)如图1，若，则______°，______°，______°；
(2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)、、；
(2)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据给出的关系，依次求出、、、等度数，进而求得结果；
（2）根据，从而表示出分子，根据，进而得出结果．
【详解】（1）解：∵和互补， ，
∴，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，，
故答案为：、、；
（2）是定值，
理由如下： ∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数量关系．
9．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且．
问题提出：
(1)若，求的度数．
(2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由．
问题解决：
(3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由．
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
(3)定值，
【分析】（1）由对角相等，先求出．然后根据即可求解；
（2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可作出判断；
（3）设，则，然后用的代数式把，表示出来，即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
又，
；
（2）由（1）知当时，，
，
平分，
，
，
是的平分线；
（3）是定值，理由如下：
设，
则，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系．
10．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，点为直线上一点，将斜边为的直角三角板的直角顶点放在点处，平分．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)将直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)在图1中，，与的起始位置重合，再将三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，射线恰好是锐角的三等分线，则的值为__________秒（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)2或4
【分析】（1）根据邻补角互补和角平分线的定义可得，再结合是直角运用角的和差即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得，根据余角的性质可得，再根据并将代入化简即可解答；
（3）由角的三等分线有两条，需分和两种情况，分别根据旋转的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：，
，
∵平分，
∴,
是直角，
．
（2）解：；理由如下：
平分，
，
，
，
，
．
（3）解：由角的三等分线有两条，需分以下两种情况解答：
①∵射线恰好是锐角的三等分线，
∴,
∵三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴；
由（1）可得：,
∴，
∴，即；
②∵射线恰好是锐角的三等分线，
∴,
∵三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，
∴；
由（1）可得：,
∴，
∴，即．
综上，当或4时，射线恰好是锐角的三等分线．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的定义、垂直的定义、角三等分线等知识点，灵活运用相关定义是解答本题的关键．
11．（2023秋·七年级课时练习）如图 ，已知 ， 与 互余， 平分 ．

(1)在图 中，若，则 ， ．
(2)在图 中，设 ，，请探索 与 之间的数量关系．
(3)在已知条件不变的前提下，当 绕点 逆时针转动到如图 的位置时，（）中 与 的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出 与 的数量关系并说明理由．

【答案】(1)；
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）由，知,由角平线定义，,从而；
（2）由两角互余，知，由角平分线知，于是
整理得 ．
（3）同（2），得，于是,整理得 ．
【详解】（1）解：如图，则,
∴,
∴；
（2） 与 互余，
∴ ，
平分 ，
∴
∵，，
∴
整理得 ．
（3） 与 互余，
∴
平分 ，
∴
∵，，
∴,
整理得
【点睛】本题考查角平分线定义，角之间的位置关系与数量关系，观察图形，由角之间位置关系得出数量关系是解题的关键．
12．（2023秋·山西晋中·七年级统考期末）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．
问题实践：
(1)老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边落在直线上，，，，则 ；
操作探究：
(2)奋进小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答．
_____秒，边落在边上；
当边平分时， _______秒；
深度探究：
(3)如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转，求为何值时，．
【答案】(1)
(2)5；10.5
(3)3或4.5秒
【分析】（1）由计算即可得到答案；
（2）由（1）得，，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，
因此；
先求出旋转的角度，再根据时间＝路程÷速度，进行计算即可求解；
（3）分两种情况：边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到
答案．
【详解】（1）解：，，，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，，
当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，
三角尺绕点逆时针旋转的速度为以每秒，
，
故答案为：5；
当边平分时，画出图如图所示，
边平分，
，
旋转角度为，
，
故答案为：10.5；
（3）解：由（1）可知，两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为，
边与边相遇前，可得：，
解得：；
边与边相遇后，可得：，
解得：，
为3或4.5秒时，．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、旋转的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
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