人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解14.3.2 因式分解--公式法1
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解14.3.2 因式分解--公式法1 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-26 22:20:30 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 因式分解--公式法1
学习目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
重点：利用平方差公式分解因式.
难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.
老师告诉你
应用平方差公式因式分解的注意事项：
等号左边：（1）等号左边是二项式；（2）每一项都可以表示成平方的形式，（3）两项的符号相反
等号右边：等号左边两底数的和与这两底数的差的积。
知识点拨
知识点1 直接运用平方差公式分解因式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【新知导学】
例1-1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
例1-2．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．多项式因式分解的结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．若，那么代数式M应为（ ）
A． B． C． D．
3．因式分解的结果为 ．
4．因式分解： ．
知识点2 先提公因式，再运用平方差公式分解因式
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【新知导学】
例2-1．将因式分解后的结果为 ．
例2-2．因式分解： ．
【对应导练】
1．因式分解：．
2．因式分解
(1)
(2)
3．因式分解：
4．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
二、题型训练
利用平方差公式因式分解
1．平方差公式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
2．用平方差公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
利用平方差公式计算
3．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
4．计算： ．
5．计算∶ ．
利用平方差公式证明
6．若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a-c）2-b2的值（ ）
A．一定为正数 B．一定为负数
C．为非负数 D．可能为正数，也可能为负数
7．观察前后两个差为4的整数的平方差：
①；②；③；……
(1)写出第n个等式，并进行证明．
(2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
利用平方差公式探索规律
8．观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______________；
(2)写出你猜想的第个等式：______________；（用含的式子表示），并证明其正确性．
9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)直接判断：28_____（是或不是）神秘数，2025_____（是或不是）神秘数；
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由．
(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由．
10．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①；
②；
③；
④______；
…
(1)将横线上的等式补充完整；
(2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
(3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．对多项式进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．若且，则的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
5．因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
6．将因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．因式分解结果为的多项式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
10．因式分解：
11．如果满足，那么代数式的值为 ．
12．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
13．若实数a，b满足，则代数式的值为 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．在实数范围内分解因式：．
丽华的解题过程如下：
解：原式．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．
15．分解因式：
(1)；
(2)；
16．因式分解：
(1)．
(2)．
17．如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得，，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程（π取3）．
18．已知 ，求的值．
19．【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍．
【验证】求的结果是8的几倍？
【证明】证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍；
【延伸】两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 因式分解--公式法1
学习目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
重点：利用平方差公式分解因式.
难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.
老师告诉你
应用平方差公式因式分解的注意事项：
等号左边：（1）等号左边是二项式；（2）每一项都可以表示成平方的形式，（3）两项的符号相反
等号右边：等号左边两底数的和与这两底数的差的积。
知识点拨
知识点1 直接运用平方差公式分解因式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【新知导学】
例1-1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B．，故能用平方差公式分解因式，符合题意；
C．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
D．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意．
故选B．
例1-2．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式求解即可．
【详解】解：．
故选：D．
【对应导练】
1．多项式因式分解的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查因式分解，运用平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
2．若，那么代数式M应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．
利用平方差公式先分解,再根据等式的相等关系可得M的值．
【详解】解：，
，
故选：B．
3．因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解；用平方差公式“”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：原式；
故答案：．
4．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．根据平方差公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
知识点2 先提公因式，再运用平方差公式分解因式
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【新知导学】
例2-1．将因式分解后的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
例2-2．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【对应导练】
1．因式分解：．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
2．因式分解
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可；
（2）提公因式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
3．因式分解：
【答案】
【分析】此题考查了因式分解．
先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
4．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式因式分解是解题的关键．
（1）连续两次利用平方差公式因式分解即可；
（2）连续两次利用平方差公式因式分解即可；
（3）直接利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
二、题型训练
利用平方差公式因式分解
1．平方差公式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】（1）根据，将原式进行变形，再利用平方差公式即可得；
（2）根据，将原式进行变形，再利用平方差公式即可得；
（3）先利用平方差公式，再计算整式的加减，然后提取公因式4和即可得；
（4）先利用平方差公式，再计算整式的加减即可得；
（5）先利用平方差公式、提取公因式，再提取公因式即可得；
（6）先利用平方差公式，再计算整式的加减，然后提取公因式2即可得．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
．
【点睛】本题考查了利用平方差公式、提取公因式进行因式分解，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键．
2．用平方差公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【答案】（1）-3xy(y+3x)(y-3x)；（2）4a2(x+2y)(x-2y)；（3）(a+4)(a-4)；（4）；（5）(7p+5q)(p+7q)；（6）-(27a+b)(a+27b).
【详解】试题分析：（1）、（2）小题都是先提公因式，然后再根据平方差公式的特点进行因式分解即可得；
（3）先进行展开，合并同类项后再利用平方差公式进行因式分解即可；
（4）、（5）、（6）小题都是根据平方差公式的特点进行因式分解即可得.
试题解析：（1）原式=-3xy(y2-9x2)=-3xy(y+3x)(y-3x)；
（2）原式=4a2(x2-4y2)=4a2(x+2y)(x-2y)；
（3）原式=a2-8a+2a-16+6a=a2-16= (a+4)(a-4)；
（4）原式=(9x2+y2)(9x2-y2)=；
（5）原式=[2(2p+3q)+(3p-q)][(2(2p+3q)-(3p-q))= (7p+5q)(p+7q)；
（6）原式=[13(a-b)+14(a+b)][13(a-b)-14(a+b)]=-(27a+b)(a+27b).
利用平方差公式计算
3．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
【详解】原式
，
故选：C．
4．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
5．计算∶ ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再计算即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
利用平方差公式证明
6．若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a-c）2-b2的值（ ）
A．一定为正数 B．一定为负数
C．为非负数 D．可能为正数，也可能为负数
【答案】B
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：∵a、b、c为一个三角形的三边，
∴a-c+b＞0，a-c-b＜0，
∴（a-c）2-b2=（a-c+b）（a-c-b）＜0．
∴代数式（a-c）2-b2的值一定为负数．
故选：B．
【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解，利用了三角形中三边的关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
7．观察前后两个差为4的整数的平方差：
①；②；③；……
(1)写出第n个等式，并进行证明．
(2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，证明见解析
(2)可以，和
【分析】本题考查了整式的规律探究，平方差公式，一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
（1）由，可得；由，可得；由，可得；……可推导一般性规律为：第n个等式是：；根据左边右边证明即可．
（2）令，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由，可得；
由，可得；
由，可得；……
∴可推导一般性规律为：第n个等式是：；
证明：左边右边．
（2）解：令，
解得，，
∴．
答：存在整数和，使写成两个差为4的整数的平方差．
利用平方差公式探索规律
8．观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______________；
(2)写出你猜想的第个等式：______________；（用含的式子表示），并证明其正确性．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）分析已有等式中变动数字与等式序数之间的关系，得第5个等式：，即得答案；
（2）根据（1），可得第n个等式；运用平方差公式化简证明．
【详解】（1）解：第1个等式：；即；
第2个等式：；即；
第3个等式：；即
第4个等式：；即
∴第5个等式：；即
即；
（2）解：由（1）知，第n个式子为：
证明：．
【点睛】本题考查规律探索，平方差公式；根据已有的等式，探索已有等式中变动数字与等式序数之间的关系是解题的关键．
9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)直接判断：28_____（是或不是）神秘数，2025_____（是或不是）神秘数；
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由．
(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由．
【答案】(1)是；不是
(2)由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数，理由见解析
(3)①见解析；②该长方形的面积不是神秘数，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，整式加减计算：
（1）对于第一空可由得到答案；两个连续的偶数的平方的差一定是偶数，则神秘数一定要是偶数，据此可得第二空的答案；
（2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论；
（3）①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），根据长方形周长计算公式求出周长，再根据（2）即可证明结论；②根据长方形面积计算公式求出面积，再根据（2）所求即可得到结论．
【详解】（1）解：∵
∴是神秘数；
∵偶数的平方一定是偶数，
∴两个连续的偶数的平方的差一定是偶数，
∴不存在两个连续偶数的平方差的结果为2025，
∴2025不是神秘数，
故答案为：是；不是；
（2）解：由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数，理由如下：
，
又∵是非负整数，
∴是正整数，
∴由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数；
（3）解：①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），
∴长方形的周长为，
由（2）可知神秘数一定可以用（k为非负整数），
∴是神秘数，即该长方形的周长是神秘数；
②该长方形的面积不是，理由如下：
设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），
∴长方形的面积为，
∵k是非负整数，
∴是奇数，
∵m是正整数，
∴是偶数，
∴不存在非负整数k，使得，
∴该长方形的面积不是神秘数．
10．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①；
②；
③；
④______；
…
(1)将横线上的等式补充完整；
(2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
(3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)是真命题，见解析
【分析】本题主要查了平方差公式：
（1）根据前三个等式解答即可；
（2）根据平方差公式解答即可；
（3）设两个连续的正奇数为，（为正整数），根据平方差公式解答即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
为正整数，
为正整数，
两个连续的正偶数，（为正整数），它们的平方差是4的倍数；
（3）解：是真命题；理由：
设两个连续的正奇数为，（为正整数）．
．
为正整数，
两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．对多项式进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】由平方差公式可得：，
故选择：B.
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，将各项进行因式分解后，判断即可．
【详解】解：A、，原选项错误；
B、，正确；
C、无法进行因式分解，原选项错误；
D、无法进行因式分解，原选项错误；
故选B．
3．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式：分解因式得出答案．
【详解】解：．
故选：A．
4．若且，则的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
【答案】C
【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据题意及平方差公式可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选C．
5．因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
据因式分解的意义即可求得答案．
【详解】解：，
则“？”是，
故选：B．
6．将因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】=（x+3+x-1）（x+3-x+1）
=
故选C
7．已知，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】先利用平方差公式分解因式，再运用整体的思想求代数式的值，熟练掌握和运用平方差公式是解本题的关键．
【详解】，，
故选：B
8．因式分解结果为的多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平方差公式：展开即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查运用平方差公式进行因式分解，掌握平方差公式的形式是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了公式法分解因式，根据平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
10．因式分解：
【答案】
【分析】此题考查了因式分解．
连续两次利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
故答案为：
11．如果满足，那么代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解--公式法，把代数式分解得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵满足，
∴
∴，
故答案为：
12．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
【答案】或
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解．解题的关键在于正确的使用平方差公式．
分两种情况讨论①当时，②当时，分别因式分解即可．
【详解】解：由题意知，共有时，两种情况：
情况①，当时，；
情况②，当时，；
综上所述，整式分解因式的结果：或
故答案为：或．
13．若实数a，b满足，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把所求式子变形为，进一步变形得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．在实数范围内分解因式：．
丽华的解题过程如下：
解：原式．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．
【答案】不正确，正确的解题过程见解析．
【分析】本题考查了实数范围内分解因式，正确理解平方差公式的结构是关键．
分解因式要分解彻底，根据平方差公式进行两次分解即可．
【详解】解：不正确，正确的解题过程如下：
原式
．
15．分解因式：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解：
（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式去括号，然后合并同类项，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．因式分解：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）直接提取公因式，进而得出答案：
（1）利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
17．如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得，，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程（π取3）．
【答案】剩余部分的面积为．
【分析】本题考查面积法求剩余部分面积，平方差公式的应用．根据剩余部分的面积圆形板材的面积四个小圆的面积，即可求解．
【详解】解：根据题意有：剩余部分的面积圆形板材的面积四个小圆的面积．
剩余部分的面积，
将，代入上式得：
剩余部分的面积．
答：剩余部分的面积为．
18．已知 ，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方差公式因式分解、完全平方公式、代数式求值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键．
由可得，即，进而得到，再将，然后代入计算即可解答．
【详解】解：∵,
∴，即，
∴，
∴
∴
，
∴的值为．
19．【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍．
【验证】求的结果是8的几倍？
【证明】证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍；
【延伸】两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值．
【答案】验证：9；证明：见解析；延伸：不是，理由见解析，加上正整数的最小值为4
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式．
验证：通过计算即可得出答案；
证明：应用因式分解的方法计算，据此可得出结论；
延伸：首先设两个连续的偶数分别为：，，再计算，据此可得出答案．
【详解】验证：∵
∴是8的9倍；
证明：
，
∴两个连续奇数，的平方差是8的倍数；
延伸：两个连续偶数的平方差是4的倍数．
理由如下：
设两个连续的偶数分别为：，，
∵
，
∴两个连续偶数的平方差是4的倍数，不是8的倍数
∵
∴若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数的最小值为4．
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 因式分解--公式法1
学习目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
重点：利用平方差公式分解因式.
难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.
老师告诉你
应用平方差公式因式分解的注意事项：
等号左边：（1）等号左边是二项式；（2）每一项都可以表示成平方的形式，（3）两项的符号相反
等号右边：等号左边两底数的和与这两底数的差的积。
知识点拨
知识点1 直接运用平方差公式分解因式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【新知导学】
例1-1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
例1-2．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．多项式因式分解的结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．若，那么代数式M应为（ ）
A． B． C． D．
3．因式分解的结果为 ．
4．因式分解： ．
知识点2 先提公因式，再运用平方差公式分解因式
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【新知导学】
例2-1．将因式分解后的结果为 ．
例2-2．因式分解： ．
【对应导练】
1．因式分解：．
2．因式分解
(1)
(2)
3．因式分解：
4．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
二、题型训练
利用平方差公式因式分解
1．平方差公式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
2．用平方差公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
利用平方差公式计算
3．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
4．计算： ．
5．计算∶ ．
利用平方差公式证明
6．若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a-c）2-b2的值（ ）
A．一定为正数 B．一定为负数
C．为非负数 D．可能为正数，也可能为负数
7．观察前后两个差为4的整数的平方差：
①；②；③；……
(1)写出第n个等式，并进行证明．
(2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
利用平方差公式探索规律
8．观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______________；
(2)写出你猜想的第个等式：______________；（用含的式子表示），并证明其正确性．
9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)直接判断：28_____（是或不是）神秘数，2025_____（是或不是）神秘数；
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由．
(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由．
10．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①；
②；
③；
④______；
…
(1)将横线上的等式补充完整；
(2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
(3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．对多项式进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．若且，则的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
5．因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
6．将因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．因式分解结果为的多项式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
10．因式分解：
11．如果满足，那么代数式的值为 ．
12．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
13．若实数a，b满足，则代数式的值为 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．在实数范围内分解因式：．
丽华的解题过程如下：
解：原式．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．
15．分解因式：
(1)；
(2)；
16．因式分解：
(1)．
(2)．
17．如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得，，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程（π取3）．
18．已知 ，求的值．
19．【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍．
【验证】求的结果是8的几倍？
【证明】证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍；
【延伸】两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 因式分解--公式法1
学习目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
重点：利用平方差公式分解因式.
难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.
老师告诉你
应用平方差公式因式分解的注意事项：
等号左边：（1）等号左边是二项式；（2）每一项都可以表示成平方的形式，（3）两项的符号相反
等号右边：等号左边两底数的和与这两底数的差的积。
知识点拨
知识点1 直接运用平方差公式分解因式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【新知导学】
例1-1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B．，故能用平方差公式分解因式，符合题意；
C．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
D．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意．
故选B．
例1-2．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式求解即可．
【详解】解：．
故选：D．
【对应导练】
1．多项式因式分解的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查因式分解，运用平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
2．若，那么代数式M应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．
利用平方差公式先分解,再根据等式的相等关系可得M的值．
【详解】解：，
，
故选：B．
3．因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解；用平方差公式“”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：原式；
故答案：．
4．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．根据平方差公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
知识点2 先提公因式，再运用平方差公式分解因式
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【新知导学】
例2-1．将因式分解后的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
例2-2．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【对应导练】
1．因式分解：．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
2．因式分解
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可；
（2）提公因式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
3．因式分解：
【答案】
【分析】此题考查了因式分解．
先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
4．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式因式分解是解题的关键．
（1）连续两次利用平方差公式因式分解即可；
（2）连续两次利用平方差公式因式分解即可；
（3）直接利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
二、题型训练
利用平方差公式因式分解
1．平方差公式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】（1）根据，将原式进行变形，再利用平方差公式即可得；
（2）根据，将原式进行变形，再利用平方差公式即可得；
（3）先利用平方差公式，再计算整式的加减，然后提取公因式4和即可得；
（4）先利用平方差公式，再计算整式的加减即可得；
（5）先利用平方差公式、提取公因式，再提取公因式即可得；
（6）先利用平方差公式，再计算整式的加减，然后提取公因式2即可得．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
．
【点睛】本题考查了利用平方差公式、提取公因式进行因式分解，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键．
2．用平方差公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【答案】（1）-3xy(y+3x)(y-3x)；（2）4a2(x+2y)(x-2y)；（3）(a+4)(a-4)；（4）；（5）(7p+5q)(p+7q)；（6）-(27a+b)(a+27b).
【详解】试题分析：（1）、（2）小题都是先提公因式，然后再根据平方差公式的特点进行因式分解即可得；
（3）先进行展开，合并同类项后再利用平方差公式进行因式分解即可；
（4）、（5）、（6）小题都是根据平方差公式的特点进行因式分解即可得.
试题解析：（1）原式=-3xy(y2-9x2)=-3xy(y+3x)(y-3x)；
（2）原式=4a2(x2-4y2)=4a2(x+2y)(x-2y)；
（3）原式=a2-8a+2a-16+6a=a2-16= (a+4)(a-4)；
（4）原式=(9x2+y2)(9x2-y2)=；
（5）原式=[2(2p+3q)+(3p-q)][(2(2p+3q)-(3p-q))= (7p+5q)(p+7q)；
（6）原式=[13(a-b)+14(a+b)][13(a-b)-14(a+b)]=-(27a+b)(a+27b).
利用平方差公式计算
3．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
【详解】原式
，
故选：C．
4．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
5．计算∶ ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再计算即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
利用平方差公式证明
6．若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a-c）2-b2的值（ ）
A．一定为正数 B．一定为负数
C．为非负数 D．可能为正数，也可能为负数
【答案】B
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：∵a、b、c为一个三角形的三边，
∴a-c+b＞0，a-c-b＜0，
∴（a-c）2-b2=（a-c+b）（a-c-b）＜0．
∴代数式（a-c）2-b2的值一定为负数．
故选：B．
【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解，利用了三角形中三边的关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
7．观察前后两个差为4的整数的平方差：
①；②；③；……
(1)写出第n个等式，并进行证明．
(2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，证明见解析
(2)可以，和
【分析】本题考查了整式的规律探究，平方差公式，一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
（1）由，可得；由，可得；由，可得；……可推导一般性规律为：第n个等式是：；根据左边右边证明即可．
（2）令，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由，可得；
由，可得；
由，可得；……
∴可推导一般性规律为：第n个等式是：；
证明：左边右边．
（2）解：令，
解得，，
∴．
答：存在整数和，使写成两个差为4的整数的平方差．
利用平方差公式探索规律
8．观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______________；
(2)写出你猜想的第个等式：______________；（用含的式子表示），并证明其正确性．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）分析已有等式中变动数字与等式序数之间的关系，得第5个等式：，即得答案；
（2）根据（1），可得第n个等式；运用平方差公式化简证明．
【详解】（1）解：第1个等式：；即；
第2个等式：；即；
第3个等式：；即
第4个等式：；即
∴第5个等式：；即
即；
（2）解：由（1）知，第n个式子为：
证明：．
【点睛】本题考查规律探索，平方差公式；根据已有的等式，探索已有等式中变动数字与等式序数之间的关系是解题的关键．
9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)直接判断：28_____（是或不是）神秘数，2025_____（是或不是）神秘数；
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由．
(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由．
【答案】(1)是；不是
(2)由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数，理由见解析
(3)①见解析；②该长方形的面积不是神秘数，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，整式加减计算：
（1）对于第一空可由得到答案；两个连续的偶数的平方的差一定是偶数，则神秘数一定要是偶数，据此可得第二空的答案；
（2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论；
（3）①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），根据长方形周长计算公式求出周长，再根据（2）即可证明结论；②根据长方形面积计算公式求出面积，再根据（2）所求即可得到结论．
【详解】（1）解：∵
∴是神秘数；
∵偶数的平方一定是偶数，
∴两个连续的偶数的平方的差一定是偶数，
∴不存在两个连续偶数的平方差的结果为2025，
∴2025不是神秘数，
故答案为：是；不是；
（2）解：由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数，理由如下：
，
又∵是非负整数，
∴是正整数，
∴由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数；
（3）解：①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），
∴长方形的周长为，
由（2）可知神秘数一定可以用（k为非负整数），
∴是神秘数，即该长方形的周长是神秘数；
②该长方形的面积不是，理由如下：
设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），
∴长方形的面积为，
∵k是非负整数，
∴是奇数，
∵m是正整数，
∴是偶数，
∴不存在非负整数k，使得，
∴该长方形的面积不是神秘数．
10．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①；
②；
③；
④______；
…
(1)将横线上的等式补充完整；
(2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
(3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)是真命题，见解析
【分析】本题主要查了平方差公式：
（1）根据前三个等式解答即可；
（2）根据平方差公式解答即可；
（3）设两个连续的正奇数为，（为正整数），根据平方差公式解答即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
为正整数，
为正整数，
两个连续的正偶数，（为正整数），它们的平方差是4的倍数；
（3）解：是真命题；理由：
设两个连续的正奇数为，（为正整数）．
．
为正整数，
两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．对多项式进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】由平方差公式可得：，
故选择：B.
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，将各项进行因式分解后，判断即可．
【详解】解：A、，原选项错误；
B、，正确；
C、无法进行因式分解，原选项错误；
D、无法进行因式分解，原选项错误；
故选B．
3．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式：分解因式得出答案．
【详解】解：．
故选：A．
4．若且，则的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
【答案】C
【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据题意及平方差公式可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选C．
5．因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
据因式分解的意义即可求得答案．
【详解】解：，
则“？”是，
故选：B．
6．将因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】=（x+3+x-1）（x+3-x+1）
=
故选C
7．已知，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】先利用平方差公式分解因式，再运用整体的思想求代数式的值，熟练掌握和运用平方差公式是解本题的关键．
【详解】，，
故选：B
8．因式分解结果为的多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平方差公式：展开即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查运用平方差公式进行因式分解，掌握平方差公式的形式是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了公式法分解因式，根据平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
10．因式分解：
【答案】
【分析】此题考查了因式分解．
连续两次利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
故答案为：
11．如果满足，那么代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解--公式法，把代数式分解得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵满足，
∴
∴，
故答案为：
12．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
【答案】或
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解．解题的关键在于正确的使用平方差公式．
分两种情况讨论①当时，②当时，分别因式分解即可．
【详解】解：由题意知，共有时，两种情况：
情况①，当时，；
情况②，当时，；
综上所述，整式分解因式的结果：或
故答案为：或．
13．若实数a，b满足，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把所求式子变形为，进一步变形得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．在实数范围内分解因式：．
丽华的解题过程如下：
解：原式．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．
【答案】不正确，正确的解题过程见解析．
【分析】本题考查了实数范围内分解因式，正确理解平方差公式的结构是关键．
分解因式要分解彻底，根据平方差公式进行两次分解即可．
【详解】解：不正确，正确的解题过程如下：
原式
．
15．分解因式：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解：
（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式去括号，然后合并同类项，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．因式分解：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）直接提取公因式，进而得出答案：
（1）利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
17．如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得，，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程（π取3）．
【答案】剩余部分的面积为．
【分析】本题考查面积法求剩余部分面积，平方差公式的应用．根据剩余部分的面积圆形板材的面积四个小圆的面积，即可求解．
【详解】解：根据题意有：剩余部分的面积圆形板材的面积四个小圆的面积．
剩余部分的面积，
将，代入上式得：
剩余部分的面积．
答：剩余部分的面积为．
18．已知 ，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方差公式因式分解、完全平方公式、代数式求值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键．
由可得，即，进而得到，再将，然后代入计算即可解答．
【详解】解：∵,
∴，即，
∴，
∴
∴
，
∴的值为．
19．【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍．
【验证】求的结果是8的几倍？
【证明】证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍；
【延伸】两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值．
【答案】验证：9；证明：见解析；延伸：不是，理由见解析，加上正整数的最小值为4
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式．
验证：通过计算即可得出答案；
证明：应用因式分解的方法计算，据此可得出结论；
延伸：首先设两个连续的偶数分别为：，，再计算，据此可得出答案．
【详解】验证：∵
∴是8的9倍；
证明：
，
∴两个连续奇数，的平方差是8的倍数；
延伸：两个连续偶数的平方差是4的倍数．
理由如下：
设两个连续的偶数分别为：，，
∵
，
∴两个连续偶数的平方差是4的倍数，不是8的倍数
∵
∴若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数的最小值为4．
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