人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解14.3.2 因式分解--公式法2
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| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解14.3.2 因式分解--公式法2 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-26 22:12:26 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 因式分解--公式法2
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．
重点：运用完全平方公式分解因式.
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
老师告诉你
因式分解的一般方法：
先观察多项式是否有公因式，有公因式的先提公因式；
当多项式各项没有公因式时，观察多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合，则利用公式法分解因式；
当用上述方法不能直接分解时，可将其先进行适当变形整理，再进行分解；
每个因式必须分解到不能再分解为止。
知识点拨
知识点1 完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
【新知导学】
例1-1．如果多项式是完全平方式，则的值为 ．
例1-2．已知是一个完全平方式，则k的值为 ．
【对应导练】
1．小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）原式为： ．
2．将再加上一项，使它成为的形式，可以添加的是 ．
3．请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式．
知识点2 完全平方公式分解因式
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【新知导学】
例2-1．分解因式： ．
例2-2．因式分解
(1)；
(2)；
(3)．
【对应导练】
1．因式分解：；
2．因式分解：
3．因式分解：．
4．分解因式：．
知识点3 综合完全平方公式平方差公式分解因式
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解
因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【新知导学】
例3-1．把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
例3-2．因式分解：
(1)
(2)
【对应导练】
1．因式分解：．
2．分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
4．因式分解：
(1)
(2)
二、题型训练
1.利用完全平方公式分解因式
1．（1）请观察下列各式，能用完全平方公式因式分解的是______（填序号），并把你选出的多项式分解因式．
① ② ③ ④
（2）根据对完全平方公式特征的理解；请给添上一个单项式，使得到的多项式能用完全平方公式分解因式．这个单项式可以为______（写出所有情况）．
2．阅读材料：将（x+y）2+2（x+y）+1分解因式．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，
再将A还原，原式＝（x+y+1）2．
上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题．
(1)因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9；
(2)设M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1．
①因式分解M；
②若M＝0，求a﹣b的值．
3．在，，这三个整式中，任意选择两个相加，并对所得的整式进行因式分解．
利用完全平方公式化简求值
4．已知实数m，n满足．
(1)求的值；
(2)求的值；
5．如果、、是三角形的三边长，那么代数式的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
6．已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
十字相乘法
7 .因式分解：
(1)
(2)
8．分解因式：
9．因式分解：
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列多项式分解因式后，含有因式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中能用公式法分解因式的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．多项式①②③④在分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）．
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
7．下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知x、y满足等式，那么的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．分解因式： ．
11．给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
12．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
13．已知实数x，y满足，则 ．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．因式分解：
(1)；
(2)．
15．分解因式：
(1)；
(2)．
16．在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将分解因式
小彬的解法：……第1步……………………………………第2步……………………………第3步 小颖的解法：……第1步………………………第2步………………………第3步
任务：
①经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______，这位同学的解答过程中第步依据的乘法公式可以用字母表示为______；而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是____________．
②按照做错同学的思路，写出正确的解答过程；
③除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，在对多项式进行因式分解时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17．先因式分解，再计算求值：
（1），其中；
（2），其中．
18．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-14b+58=0
（1）求a、b的值；
（2）求△ABC的周长的最小值．
19．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2．
再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x-3y）+（2x-3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4；
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 因式分解--公式法2
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．
重点：运用完全平方公式分解因式.
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
老师告诉你
因式分解的一般方法：
先观察多项式是否有公因式，有公因式的先提公因式；
当多项式各项没有公因式时，观察多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合，则利用公式法分解因式；
当用上述方法不能直接分解时，可将其先进行适当变形整理，再进行分解；
每个因式必须分解到不能再分解为止。
知识点拨
知识点1 完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
【新知导学】
例1-1．如果多项式是完全平方式，则的值为 ．
【答案】0或2
【分析】本题主要考查求完全平方式的字母系数．由题意得，然后再根据完全平方公式把右边展开即可得到的值．
【详解】解：∵，
而，
∴，
解得或0，
故答案为：0或2．
例1-2．已知是一个完全平方式，则k的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了求完全平方式，根据题意可知两平方项为、，据此可确定一次项，进而求出k的值即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【对应导练】
1．小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）原式为： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特征，即可求解．
【详解】解：∵，
故前后两项可以分别为和，
即．
故答案为：（答案不唯一）．
2．将再加上一项，使它成为的形式，可以添加的是 ．
【答案】或或
【分析】分①是平方项，②是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答．
【详解】①是平方项时，，
可以添加的是或，
②当是乘积二倍项时，，
可以添加的是，
综上所述，可以添加的是或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，注意分是平方项与乘积二倍项以及1是乘积二倍项三种情况讨论求解，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
3．请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式．
【答案】或
【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握 ．
【详解】解：，
或
故答案为：或．
知识点2 完全平方公式分解因式
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【新知导学】
例2-1．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
例2-2．因式分解
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练地掌握因式分解的提公因式法、运用公式法等是解决本题的关键．
（1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
（2）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答．
（3）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【对应导练】
1．因式分解：；
【答案】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
．
2．因式分解：
【答案】
【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法的应用．根据完全平方公式和提取公因式法即可因式分解．
【详解】解：
．
3．因式分解：．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】原式，
，
．
4．分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．把看作整体，利用完全平方公式分解，再利用十字相乘法继续分解即可．
【详解】解：
．
知识点3 综合完全平方公式平方差公式分解因式
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解
因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【新知导学】
例3-1．把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可；
（3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
例3-2．因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提公因式，再进行十字相乘；
（2）先配方，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【对应导练】
1．因式分解：．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
2．分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用提公因式法进行因式分解即可；
（3）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
；
（3）解：原式
（4）解：原式
．
3．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；
（1）先提公因式，然后再根据完全平方公式进行分解因式即可；
（2）根据十字相乘法进行分解因式即可；
（3）先提公因式，然后再根据平方差公式进行分解因式即可；
（4）根据平方差及完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
4．因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解：
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
二、题型训练
1.利用完全平方公式分解因式
1．（1）请观察下列各式，能用完全平方公式因式分解的是______（填序号），并把你选出的多项式分解因式．
① ② ③ ④
（2）根据对完全平方公式特征的理解；请给添上一个单项式，使得到的多项式能用完全平方公式分解因式．这个单项式可以为______（写出所有情况）．
【答案】（1）①④；（2），
【分析】（1）根据完全平方公式处理；
（2）添项，配成完全平方式处理．
【详解】解：（1）①④
（2） ，
；
故可添单项为：，．
【点睛】本题考查公式法因式分解，掌握公式的特征是解题的关键，注意添项时情况的多样性．
2．阅读材料：将（x+y）2+2（x+y）+1分解因式．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，原式＝（x+y+1）2．
上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题．
(1)因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9；
(2)设M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1．
①因式分解M；
②若M＝0，求a﹣b的值．
【答案】(1)
(2)①；②1
【分析】（1）仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答；
（2）①仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答；②根据M=0，可得（a-b-1）2=0，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：令m+n＝A，
原式＝A2﹣6A+9＝（A﹣3）2，
再将A还原，
原式＝（m+n﹣3）2；
（2）解∶①M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1
=（a﹣b）[（a﹣b）﹣2]+1，
令a﹣b＝C，
则M＝C（C﹣2）+1
＝C2﹣2C+1
＝（C﹣1）2
＝（a﹣b﹣1）2；
②∵M＝0，
∴（a﹣b﹣1）2＝0，
∴a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴a﹣b的值为1．
【点睛】本题考查了因式分解一运用公式法，熟练掌握完全平方公式，以及整体的数学思想是解题的关键．
3．在，，这三个整式中，任意选择两个相加，并对所得的整式进行因式分解．
【答案】选择，，结果为，因式分解得（答案不唯一）
【分析】本题考查了整式的加减，因式分解，理解题意，掌握因式分解的方法是解题的关键．选择，，根据整式的加减运算法则计算得到，然后根据完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：选择，，
则
，
．
利用完全平方公式化简求值
4．已知实数m，n满足．
(1)求的值；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可；
（2）先分解因式得，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
∵
∴原式．
5．如果、、是三角形的三边长，那么代数式的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解．
【详解】解：
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴，，
∴，即的值是正数，
故选：A．
6．已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
【答案】74
【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键．
将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可.
【详解】由题意得，①， ②，
得③，
得④，
得，
，
．
故答案为：74．
十字相乘法
7 .因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）先提取公式因，再用平方差公式进行因式分解，即可求解；
（2）用十字相乘法进行因式分解，即可求解；
熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式．
8．分解因式：
【答案】
【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
9．因式分解：
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键．
先把原式展开化简，然后再运用十字相乘法分解即可．
【详解】解：
，
．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方式的形式是解题的关键．依次利用完全平方式的形式逐项判定能否进行因式分解即可．
【详解】解：A中，由于，所以不符合完全平方公式的结构特征，不能利用完全平方公式分解因式，故选项A符合题意；
B中，，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式分解因式，故选项B不符合题意；
C中，，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式分解因式，故选项C不符合题意；
D中，，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式分解因式，故选项D不符合题意；
故选：A．
2．下列多项式分解因式后，含有因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断．先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断即可．
【详解】解：对于选项A，，不含因式；
对于选项B，，不含因式；
对于选项C，，含因式；
对于选项D，，不含因式．
故选：C．
3．下列各式中能用公式法分解因式的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查因式分解，将各式因式分解后进行判断即可．
【详解】解：①，它无法利用公式法因式分解；
②原式，它可以利用平方差公式因式分解；
③无法因式分解；
④原式，它可以利用平方差公式因式分解；
⑤原式，它可以利用完全平方公式因式分解；
⑥原式，它可以利用完全平方公式因式分解；
综上，能用公式法分解因式的有4个，
故选：C．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的方法逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：A、，该选项分解错误，不合题意；
B、，该选项分解正确，符合题意；
C、，该选项分解错误，不合题意；
D、，该选项分解错误，不合题意；
故选：B．
5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另-项是这两个数(或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
B、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
C、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
D、，符合完全平方公式，故此选项正确；
故选：D．
6．多项式①②③④在分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）．
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了提公因式分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构是求解的关键．
根据提公因式法和完全平方公式把各选项的多项式分解因式，然后再找出结果中含有相同因式的即可．
【详解】解：①，②，③，④，
∴①④含有相同因式．
故选：A．
7．下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键．
【详解】解：A、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意；
B、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意；
C、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意；
D、可以用完全平方式进行因式分解，符合题意；
故选：D．
8．已知x、y满足等式，那么的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，先根据完全平方公式把所给式子变形为，再由非负数的性质求出，则，，据此代值计算即可．
【详解】解析 ∵ ，
∴
∴，
∴，
∴
解得：，，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．分解因式： ．
【答案】
【解析】略
10．若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了运用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．首先将等号左边部分进行整理，可得，即可获得答案．
【详解】解：∵
，
∴．
故答案为：．
11．给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可．
【详解】，
这个单项式为；
，
这个单项式为．
故答案为：或．
12．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解，
，
，
故答案为：．
13．已知实数x，y满足，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，二元一次方程组的解法，理解非负数的性质是解本题的关键；由条件可得，再求解的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解是关键．
(1)先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可;
(2)先利用多项式乘多项式把前两个因式的积算出来，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解:
．
15．分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用公式法分解因式．
（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：
（2）
16．在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将分解因式
小彬的解法：……第1步……………………………………第2步……………………………第3步 小颖的解法：……第1步………………………第2步………………………第3步
任务：
①经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______，这位同学的解答过程中第步依据的乘法公式可以用字母表示为______；而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是____________．
②按照做错同学的思路，写出正确的解答过程；
③除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，在对多项式进行因式分解时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】①小彬；；；没有变号；②解题过程见详解；③运用完全平方公式，平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去括号，注意各项的符号，合并同类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行
【分析】①根据平方差公式即可作出判定；根据平方差公式即可用字母表示；从第1步就出差；运用平方差公式时要注意各项的符合；
②运用平方差公式因式分解，注意各项的符号即可求解；
③根据运用完全平方公式，平方差公式常见问题即可求解．
【详解】解：①小彬的解法是根据完全平方公式展开，合并同类项，提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解，各步骤严格按照因式分解法计算；小颖的解法是运用平方差公式进行因式分解，在第步的地方，忘记变号，故错误，
∴小彬的解法正确；
平方差公式用字母表示为：；
小颖的解法从第步出错，出错的原因是没有变号．
故答案为：小彬；；；没有变号；
②运用平方差公式正确的解法是：
；
③运用完全平方公式，平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去括号，注意各项的符号，合并同类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，平方差公式因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键．
17．先因式分解，再计算求值：
（1），其中；
（2），其中．
【答案】（1），6；（2）
【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，再代入求值；
（2）先利用提取公因式法分解因式，再代入求值．
【详解】解：（1）原式＝，
把代入，得：原式＝＝6，
（2）原式＝，
把代入，得：原式＝．
【点睛】本题考查因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法是关键．
18．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-14b+58=0
（1）求a、b的值；
（2）求△ABC的周长的最小值．
【答案】（1）a=3，b=7；（2）△ABC周长的最小值为15．
【分析】（1）根据完全平方公式整理成非负数的和的形式，再根据非负数的性质列式求出a、b；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再求出第三边最小时的值，再求解即可．
【详解】解：（1）∵a2+b2-6a-14b+58=（a2-6a+9）+（b2-14b+49）=（a-3）2+（b-7）2=0，
∴a-3=0，b-7=0，
解得a=3，b=7；
（2）∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴b-a＜c＜a+b，
即4＜c＜10，
要使△ABC周长的最小只需使得边长c最小，
又∵c是正整数，
∴c的最小值是5，
∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15．
故答案为（1）a=3，b=7；（2）△ABC周长的最小值为15．
【点睛】本题考查因式分解的实际运用，掌握完全平方公式，利用完全平方式的特点分解是解决问题的关键．也考查了三角形三边关系．
19．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2．
再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x-3y）+（2x-3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4；
【答案】（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2．
【分析】（1）将（2x-3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
（2）令A=a+b，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．
【详解】解：（1）原式=（1+2x-3y）2．
（2）令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2，
故：（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2．
故答案为（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 因式分解--公式法2
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．
重点：运用完全平方公式分解因式.
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
老师告诉你
因式分解的一般方法：
先观察多项式是否有公因式，有公因式的先提公因式；
当多项式各项没有公因式时，观察多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合，则利用公式法分解因式；
当用上述方法不能直接分解时，可将其先进行适当变形整理，再进行分解；
每个因式必须分解到不能再分解为止。
知识点拨
知识点1 完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
【新知导学】
例1-1．如果多项式是完全平方式，则的值为 ．
例1-2．已知是一个完全平方式，则k的值为 ．
【对应导练】
1．小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）原式为： ．
2．将再加上一项，使它成为的形式，可以添加的是 ．
3．请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式．
知识点2 完全平方公式分解因式
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【新知导学】
例2-1．分解因式： ．
例2-2．因式分解
(1)；
(2)；
(3)．
【对应导练】
1．因式分解：；
2．因式分解：
3．因式分解：．
4．分解因式：．
知识点3 综合完全平方公式平方差公式分解因式
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解
因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【新知导学】
例3-1．把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
例3-2．因式分解：
(1)
(2)
【对应导练】
1．因式分解：．
2．分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
4．因式分解：
(1)
(2)
二、题型训练
1.利用完全平方公式分解因式
1．（1）请观察下列各式，能用完全平方公式因式分解的是______（填序号），并把你选出的多项式分解因式．
① ② ③ ④
（2）根据对完全平方公式特征的理解；请给添上一个单项式，使得到的多项式能用完全平方公式分解因式．这个单项式可以为______（写出所有情况）．
2．阅读材料：将（x+y）2+2（x+y）+1分解因式．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，
再将A还原，原式＝（x+y+1）2．
上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题．
(1)因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9；
(2)设M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1．
①因式分解M；
②若M＝0，求a﹣b的值．
3．在，，这三个整式中，任意选择两个相加，并对所得的整式进行因式分解．
利用完全平方公式化简求值
4．已知实数m，n满足．
(1)求的值；
(2)求的值；
5．如果、、是三角形的三边长，那么代数式的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
6．已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
十字相乘法
7 .因式分解：
(1)
(2)
8．分解因式：
9．因式分解：
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列多项式分解因式后，含有因式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中能用公式法分解因式的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．多项式①②③④在分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）．
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
7．下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知x、y满足等式，那么的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．分解因式： ．
11．给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
12．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
13．已知实数x，y满足，则 ．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．因式分解：
(1)；
(2)．
15．分解因式：
(1)；
(2)．
16．在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将分解因式
小彬的解法：……第1步……………………………………第2步……………………………第3步 小颖的解法：……第1步………………………第2步………………………第3步
任务：
①经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______，这位同学的解答过程中第步依据的乘法公式可以用字母表示为______；而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是____________．
②按照做错同学的思路，写出正确的解答过程；
③除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，在对多项式进行因式分解时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17．先因式分解，再计算求值：
（1），其中；
（2），其中．
18．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-14b+58=0
（1）求a、b的值；
（2）求△ABC的周长的最小值．
19．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2．
再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x-3y）+（2x-3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4；
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 因式分解--公式法2
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．
重点：运用完全平方公式分解因式.
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
老师告诉你
因式分解的一般方法：
先观察多项式是否有公因式，有公因式的先提公因式；
当多项式各项没有公因式时，观察多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合，则利用公式法分解因式；
当用上述方法不能直接分解时，可将其先进行适当变形整理，再进行分解；
每个因式必须分解到不能再分解为止。
知识点拨
知识点1 完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
【新知导学】
例1-1．如果多项式是完全平方式，则的值为 ．
【答案】0或2
【分析】本题主要考查求完全平方式的字母系数．由题意得，然后再根据完全平方公式把右边展开即可得到的值．
【详解】解：∵，
而，
∴，
解得或0，
故答案为：0或2．
例1-2．已知是一个完全平方式，则k的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了求完全平方式，根据题意可知两平方项为、，据此可确定一次项，进而求出k的值即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【对应导练】
1．小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）原式为： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特征，即可求解．
【详解】解：∵，
故前后两项可以分别为和，
即．
故答案为：（答案不唯一）．
2．将再加上一项，使它成为的形式，可以添加的是 ．
【答案】或或
【分析】分①是平方项，②是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答．
【详解】①是平方项时，，
可以添加的是或，
②当是乘积二倍项时，，
可以添加的是，
综上所述，可以添加的是或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，注意分是平方项与乘积二倍项以及1是乘积二倍项三种情况讨论求解，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
3．请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式．
【答案】或
【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握 ．
【详解】解：，
或
故答案为：或．
知识点2 完全平方公式分解因式
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【新知导学】
例2-1．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
例2-2．因式分解
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练地掌握因式分解的提公因式法、运用公式法等是解决本题的关键．
（1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
（2）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答．
（3）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【对应导练】
1．因式分解：；
【答案】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
．
2．因式分解：
【答案】
【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法的应用．根据完全平方公式和提取公因式法即可因式分解．
【详解】解：
．
3．因式分解：．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】原式，
，
．
4．分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．把看作整体，利用完全平方公式分解，再利用十字相乘法继续分解即可．
【详解】解：
．
知识点3 综合完全平方公式平方差公式分解因式
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解
因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【新知导学】
例3-1．把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可；
（3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
例3-2．因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提公因式，再进行十字相乘；
（2）先配方，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【对应导练】
1．因式分解：．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
2．分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用提公因式法进行因式分解即可；
（3）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
；
（3）解：原式
（4）解：原式
．
3．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；
（1）先提公因式，然后再根据完全平方公式进行分解因式即可；
（2）根据十字相乘法进行分解因式即可；
（3）先提公因式，然后再根据平方差公式进行分解因式即可；
（4）根据平方差及完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
4．因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解：
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
二、题型训练
1.利用完全平方公式分解因式
1．（1）请观察下列各式，能用完全平方公式因式分解的是______（填序号），并把你选出的多项式分解因式．
① ② ③ ④
（2）根据对完全平方公式特征的理解；请给添上一个单项式，使得到的多项式能用完全平方公式分解因式．这个单项式可以为______（写出所有情况）．
【答案】（1）①④；（2），
【分析】（1）根据完全平方公式处理；
（2）添项，配成完全平方式处理．
【详解】解：（1）①④
（2） ，
；
故可添单项为：，．
【点睛】本题考查公式法因式分解，掌握公式的特征是解题的关键，注意添项时情况的多样性．
2．阅读材料：将（x+y）2+2（x+y）+1分解因式．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，原式＝（x+y+1）2．
上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题．
(1)因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9；
(2)设M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1．
①因式分解M；
②若M＝0，求a﹣b的值．
【答案】(1)
(2)①；②1
【分析】（1）仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答；
（2）①仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答；②根据M=0，可得（a-b-1）2=0，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：令m+n＝A，
原式＝A2﹣6A+9＝（A﹣3）2，
再将A还原，
原式＝（m+n﹣3）2；
（2）解∶①M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1
=（a﹣b）[（a﹣b）﹣2]+1，
令a﹣b＝C，
则M＝C（C﹣2）+1
＝C2﹣2C+1
＝（C﹣1）2
＝（a﹣b﹣1）2；
②∵M＝0，
∴（a﹣b﹣1）2＝0，
∴a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴a﹣b的值为1．
【点睛】本题考查了因式分解一运用公式法，熟练掌握完全平方公式，以及整体的数学思想是解题的关键．
3．在，，这三个整式中，任意选择两个相加，并对所得的整式进行因式分解．
【答案】选择，，结果为，因式分解得（答案不唯一）
【分析】本题考查了整式的加减，因式分解，理解题意，掌握因式分解的方法是解题的关键．选择，，根据整式的加减运算法则计算得到，然后根据完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：选择，，
则
，
．
利用完全平方公式化简求值
4．已知实数m，n满足．
(1)求的值；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可；
（2）先分解因式得，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
∵
∴原式．
5．如果、、是三角形的三边长，那么代数式的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解．
【详解】解：
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴，，
∴，即的值是正数，
故选：A．
6．已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
【答案】74
【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键．
将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可.
【详解】由题意得，①， ②，
得③，
得④，
得，
，
．
故答案为：74．
十字相乘法
7 .因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）先提取公式因，再用平方差公式进行因式分解，即可求解；
（2）用十字相乘法进行因式分解，即可求解；
熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式．
8．分解因式：
【答案】
【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
9．因式分解：
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键．
先把原式展开化简，然后再运用十字相乘法分解即可．
【详解】解：
，
．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方式的形式是解题的关键．依次利用完全平方式的形式逐项判定能否进行因式分解即可．
【详解】解：A中，由于，所以不符合完全平方公式的结构特征，不能利用完全平方公式分解因式，故选项A符合题意；
B中，，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式分解因式，故选项B不符合题意；
C中，，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式分解因式，故选项C不符合题意；
D中，，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式分解因式，故选项D不符合题意；
故选：A．
2．下列多项式分解因式后，含有因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断．先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断即可．
【详解】解：对于选项A，，不含因式；
对于选项B，，不含因式；
对于选项C，，含因式；
对于选项D，，不含因式．
故选：C．
3．下列各式中能用公式法分解因式的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查因式分解，将各式因式分解后进行判断即可．
【详解】解：①，它无法利用公式法因式分解；
②原式，它可以利用平方差公式因式分解；
③无法因式分解；
④原式，它可以利用平方差公式因式分解；
⑤原式，它可以利用完全平方公式因式分解；
⑥原式，它可以利用完全平方公式因式分解；
综上，能用公式法分解因式的有4个，
故选：C．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的方法逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：A、，该选项分解错误，不合题意；
B、，该选项分解正确，符合题意；
C、，该选项分解错误，不合题意；
D、，该选项分解错误，不合题意；
故选：B．
5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另-项是这两个数(或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
B、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
C、，不符合完全平方公式，故此选项错误；
D、，符合完全平方公式，故此选项正确；
故选：D．
6．多项式①②③④在分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）．
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了提公因式分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构是求解的关键．
根据提公因式法和完全平方公式把各选项的多项式分解因式，然后再找出结果中含有相同因式的即可．
【详解】解：①，②，③，④，
∴①④含有相同因式．
故选：A．
7．下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键．
【详解】解：A、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意；
B、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意；
C、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意；
D、可以用完全平方式进行因式分解，符合题意；
故选：D．
8．已知x、y满足等式，那么的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，先根据完全平方公式把所给式子变形为，再由非负数的性质求出，则，，据此代值计算即可．
【详解】解析 ∵ ，
∴
∴，
∴，
∴
解得：，，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．分解因式： ．
【答案】
【解析】略
10．若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了运用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．首先将等号左边部分进行整理，可得，即可获得答案．
【详解】解：∵
，
∴．
故答案为：．
11．给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可．
【详解】，
这个单项式为；
，
这个单项式为．
故答案为：或．
12．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解，
，
，
故答案为：．
13．已知实数x，y满足，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，二元一次方程组的解法，理解非负数的性质是解本题的关键；由条件可得，再求解的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解是关键．
(1)先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可;
(2)先利用多项式乘多项式把前两个因式的积算出来，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解:
．
15．分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用公式法分解因式．
（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：
（2）
16．在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将分解因式
小彬的解法：……第1步……………………………………第2步……………………………第3步 小颖的解法：……第1步………………………第2步………………………第3步
任务：
①经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______，这位同学的解答过程中第步依据的乘法公式可以用字母表示为______；而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是____________．
②按照做错同学的思路，写出正确的解答过程；
③除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，在对多项式进行因式分解时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】①小彬；；；没有变号；②解题过程见详解；③运用完全平方公式，平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去括号，注意各项的符号，合并同类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行
【分析】①根据平方差公式即可作出判定；根据平方差公式即可用字母表示；从第1步就出差；运用平方差公式时要注意各项的符合；
②运用平方差公式因式分解，注意各项的符号即可求解；
③根据运用完全平方公式，平方差公式常见问题即可求解．
【详解】解：①小彬的解法是根据完全平方公式展开，合并同类项，提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解，各步骤严格按照因式分解法计算；小颖的解法是运用平方差公式进行因式分解，在第步的地方，忘记变号，故错误，
∴小彬的解法正确；
平方差公式用字母表示为：；
小颖的解法从第步出错，出错的原因是没有变号．
故答案为：小彬；；；没有变号；
②运用平方差公式正确的解法是：
；
③运用完全平方公式，平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去括号，注意各项的符号，合并同类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，平方差公式因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键．
17．先因式分解，再计算求值：
（1），其中；
（2），其中．
【答案】（1），6；（2）
【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，再代入求值；
（2）先利用提取公因式法分解因式，再代入求值．
【详解】解：（1）原式＝，
把代入，得：原式＝＝6，
（2）原式＝，
把代入，得：原式＝．
【点睛】本题考查因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法是关键．
18．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-14b+58=0
（1）求a、b的值；
（2）求△ABC的周长的最小值．
【答案】（1）a=3，b=7；（2）△ABC周长的最小值为15．
【分析】（1）根据完全平方公式整理成非负数的和的形式，再根据非负数的性质列式求出a、b；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再求出第三边最小时的值，再求解即可．
【详解】解：（1）∵a2+b2-6a-14b+58=（a2-6a+9）+（b2-14b+49）=（a-3）2+（b-7）2=0，
∴a-3=0，b-7=0，
解得a=3，b=7；
（2）∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴b-a＜c＜a+b，
即4＜c＜10，
要使△ABC周长的最小只需使得边长c最小，
又∵c是正整数，
∴c的最小值是5，
∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15．
故答案为（1）a=3，b=7；（2）△ABC周长的最小值为15．
【点睛】本题考查因式分解的实际运用，掌握完全平方公式，利用完全平方式的特点分解是解决问题的关键．也考查了三角形三边关系．
19．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2．
再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x-3y）+（2x-3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4；
【答案】（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2．
【分析】（1）将（2x-3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
（2）令A=a+b，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．
【详解】解：（1）原式=（1+2x-3y）2．
（2）令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2，
故：（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2．
故答案为（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
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