人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解专题二因式分解应用的八种题型
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| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解专题二因式分解应用的八种题型 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-26 22:21:29 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
专题二 因式分解应用的八种题型
老师告诉你
因式分解是整式恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在实数的计算、整式的化简求值等方面起着重要作用。
题型1. 利用因式分解简便计算
【例1】．与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】运用因式分解计算：的结果为（ ）
A．314 B．264 C．256 D．300
【变式1-2】．计算： ．
．
【变式1-3】．简便计算：
(1)；
(2)
【变式1-4】简便计算：
(1)
(2)
题型2.利用因式分解化简求值
【例2】若，，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】．已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
【变式2-2】．若，则的值为 ．
【变式2-3】若，，，则的值为 ．
【变式2-4】．已知实数m，n满足．
(1)求的值；
(2)求的值；
【变式2-5】已知，且，求的值．
题型3.利用因式分解判断是否整除
【例3】．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ）
A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67
【变式3-1】若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
【变式3-2】对于任意正整数n，均能被（ ）
A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除
【变式3-3】．不能被整除的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】．已知一个四位自然数n，若n满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称n为“友谊数”．已知m是个位上的数字小于十位上的数字的“友谊数”，将m的百位数字记为x，百位数字与十位数字的积记为y，令；将m的各个数位上的数字之和记为，若能被4整除，则m的所有可能值中的最大值是 ．
题型4.利用因式分解求面积
【例4】．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为20，面积为16，请计算的值为（ ）
A．96 B．480 C．320 D．160
【变式4-1】若长为，宽为的长方形的周长为20，面积为18，则的值为 ．
【变式4-2】如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
(2)若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，求这张长方形纸板的面积
【变式4-3】．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图，可得等式：
(1)如图，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的方法表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来；
(2)若，，利用（1）中所得结论，求的值；
(3)如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积；
(4)小明用3张边长为的正方形，2张边长为的正方形，5张边长分别为，的长方形纸片重新拼出一个长方形，直接写出该长方形的周长为______．
题型5.利用因式分解判断三角形形状
【例5】．已知为三角形的三边长，且满足，则三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【变式5-1】若a，b，c为的三边长且则的形状为（ ）三角形.
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-2】已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【变式5-3】．若三角形的三条边分别是，且满足，判断三角形的形状并说明理由．
【变式5-4】．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有些多项式只用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．请你利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若三角形的三边长满足，判断三角形的形状．
【变式5-5】．已知 ，且满足，试判定能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由．
题型6.利用因式分解判断大小
【例6】．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c．
【变式6-1】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：．
(1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系．
________
__________0（填“＞”，“＜”，“＝”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
【变式6-2】阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用：
例1．用配方法因式分解：．
解：原式
．
若，利用配方法求M的最小值：
解：．
∵．
∴当时，M有最小值5．
请利用配方法解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；
(2)利用“配方法”分解因式：；
(3)若．求N的最小值；
(4)已知整式与，请比较A、B的大小．
【变式6-3】如图，已知线段，点是线段上一点，分别以，为边作两个正方形．
(1)如果，求两个正方形的面积之和S（用含x的代数式表示）；
(2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和；
(3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小．
【变式6-4】．定义一种新运算，规定，例．
(1)已知，，分别求A，B；
(2)通过计算比较A与B的大小．
【变式6-5】．已知a，b均为正数，且，试比较与的大小．
题型7.利用因式分解判断正负
【例7】当，，且时，的值（ ）
A．总是为正 B．总是为负
C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负
【变式7-1】已知，，是三角形的三边长，请判断代数式的值的正负．
【变式7-2】．如图，正方形中，点是边上一点(不与端点重合)，以为边在正方形外作正方形，且三点在同一直线上，设正方形和正方形的边长分别为和．
(1)分别用含的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积；
(2)如果，求的值；
(3)当时，求值的正负．
【变式7-3】．已知整数a，b，m，n满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
题型8.利用因式分解探究规律
【例8】【问题提出】
计算：
【问题探究】
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为：
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
①
②由①知，所以，
（1）仿照②，写出进行因式分解的过程．
【发现规律】
（2）______．
【问题解决】
（3）计算：______（结果用乘方表示）．
【变式8-1】．某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题：
（1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是________；
（2）一个三位数表示百位、十位、个位上的数字分别是、、（，，为0－9之间的整数，且），那么．若是3的倍数（设，为正整数），那么能被3整除吗？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
（3）若一个能被3整除的两位正整数（，为1－9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数．
【变式8-2】．阅读下列材料：
．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为，且当时，多项式的值为零．
解答下列问题：
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为零、多项式有因式、多项式能被整除，这之间存在着一种什么样的联系？
(2)探究规律：一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为0，那么与整式之间有何种关系？
(3)应用：已知能整除，求的值．
【变式8-3】．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
专题二 因式分解应用的八种题型
老师告诉你
因式分解是整式恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在实数的计算、整式的化简求值等方面起着重要作用。
题型1. 利用因式分解简便计算
【例1】．与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案．
【详解】解：，
故选：C．
【变式1-1】运用因式分解计算：的结果为（ ）
A．314 B．264 C．256 D．300
【答案】A
【分析】本题主要考查了分解因式的应用，用提公因式分解因式，然后进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【变式1-2】．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
【变式1-3】．简便计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）利用因式分解进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式1-4】简便计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可；
（2）运用平方差公式进行变形进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型2.利用因式分解化简求值
【例2】若，，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，利用已知求出的值，再对多项式进行因式分解，最后代入和的值计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键．
【详解】解：∵，
，
∵，
∴，
∴
，
故选：．
【变式2-1】．已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
【答案】74
【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键．
将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可.
【详解】由题意得，①， ②，
得③，
得④，
得，
，
．
故答案为：74．
【变式2-2】．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键；
等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出，即可确定出所求式子的值．
【详解】解：等式整理得：
可得
则
故答案为：．
【变式2-3】若，，，则的值为 ．
【答案】2044
【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是解题的关键．
先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
．
故答案为：．
【变式2-4】．已知实数m，n满足．
(1)求的值；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可；
（2）先分解因式得，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
∵
∴原式．
【变式2-5】已知，且，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意，合理分组，将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案；．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，即，
∵，
∴．
题型3.利用因式分解判断是否整除
【例3】．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ）
A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差因式分解即可求解．
【详解】解：∵
，
∴能被和整除，
∵，，
∵，，
∴能被65和63整除，
∴这两个数为：65和63．
故选：C．
【变式3-1】若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用．先将因式分解，进而可以得出答案．
【详解】解：，
的值总可以被11整除，即，
故选：A．
【变式3-2】对于任意正整数n，均能被（ ）
A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，分解因式及其应用，先逆用同底数幂相乘法则把写成的形式，然后提取公因式，将式子变形后可得答案．
【详解】解：
，
∵n为正整数，则，
∴一定能被30整除，
故选：C．
【变式3-3】．不能被整除的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解的应用，先提取公因式，再利用平方差公式因式分解得到，即可作出判断和选择．
【详解】解：∵，
∴不能被整除的是，
故选：A．
【变式3-4】．已知一个四位自然数n，若n满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称n为“友谊数”．已知m是个位上的数字小于十位上的数字的“友谊数”，将m的百位数字记为x，百位数字与十位数字的积记为y，令；将m的各个数位上的数字之和记为，若能被4整除，则m的所有可能值中的最大值是 ．
【答案】3853
【分析】本题考查了因式分解的应用，实数的新定义，理解新定义和分类讨论思想是解本题关键．
设“友谊数” 的十位数字为，个位数字为，则千位数字为，百位数字为，因此，，再根据能被4整除得到或8，因此分类讨论即可得到结果．
【详解】解：设“友谊数” 的十位数字为，个位数字为，
则千位数字为，百位数字为，，且，，都是1到9之间的整数，
，
，
，
能被4整除，
或8，
所以，可能的结果有，
，，，，
当，时，
；
当，时，
；
当，时，
；
当，时，
；
综上，的所有可能值为1431，1871，2862，3853．
则m的所有可能值中的最大值是3853
故答案为：3853
题型4.利用因式分解求面积
【例4】．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为20，面积为16，请计算的值为（ ）
A．96 B．480 C．320 D．160
【答案】A
【分析】根据长方形的周长和面积求出a+b和ab的值，根据完全平方公式的变形得到a-b的值，对多项式进行因式分解，整体代入求值即可．
【详解】解：∵长方形的边长为A、b（a＞b），周长为20，面积为16，
∴2（a+b）=20，ab=16，
∴a+b=10，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=102-4×16=100-64=36，
∵a＞b，
∴a-b=6，
∴原式=ab（a-b）=16×6=96．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，掌握（a-b）2=（a+b）2-4ab是解题的关键．
【变式4-1】若长为，宽为的长方形的周长为20，面积为18，则的值为 ．
【答案】180
【分析】利用长方形周长与面积公式表示出a+b，ab的值，原式分解后代入计算即可求出值．
【详解】根据题意得：2（a+b）=20，ab=18，
解得：a+b=10，ab=18，
则原式=ab（a+b）=180，
故答案为：180
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
【变式4-2】如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
(2)若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，求这张长方形纸板的面积
【答案】(1)（2m+n）（m+3n）．
(2)272
【分析】（1）根据图形可得，代数式2m2+7mn+3n2表示长方形纸片分成12块图形的面积之和，长方形的纸片的面积还可以用长×宽，即（2m+n）（m+3n）；
（2）根据小长方形的周长是20，得到m+n＝10；每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，得到m2﹣n2＝40；根据上述关于m、n的方程求出m，n的值代入（1）中的代数式即可．
【详解】（1）解：由题意得，
长方形纸板分成12块，其中2块边长为m的大正方形的面积为2m2；
3块边长为n的小正方形的面积为3n2；
7块长为m，宽为n的全等小长方形的面积为7mn．
∴代数式2m2+7mn+3n2表示的是长方形纸板分成12块图形的面积之和．
∵长方形纸板的边长分别为：（2m+n），（m+3n）．
∴2m2+7mn+3n2＝（2m+n）（m+3n）．
故答案为：（2m+n）（m+3n）．
（2）由题意得，
．
解得．
∴长方形纸板的面积为：（2m+n）（m+3n）＝17×16＝272．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，主要用到以图形面积为背景的二次三项式的因式分解以及平方差公式的应用．
【变式4-3】．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图，可得等式：
(1)如图，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的方法表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来；
(2)若，，利用（1）中所得结论，求的值；
(3)如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积；
(4)小明用3张边长为的正方形，2张边长为的正方形，5张边长分别为，的长方形纸片重新拼出一个长方形，直接写出该长方形的周长为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）大正方形的面积通过两种不同的方法计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；
（3）根据题意可得阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积，进行计算即可解答．
（4）根据题意得出长方形的面积，进而因式分解即可求解．
【详解】（1）解：大正方形的面积，
又大正方形的面积=，
∴
（2）解：由（1）可得：
∵，
∴
．
（3）解：∵，，
∴阴影部分面积为
．
（4）解：依题意，,
∴长方形的边长分别为,
∴长方形的周长为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，完全平方式，熟练掌握因式分解是解题的关键．
题型5.利用因式分解判断三角形形状
【例5】．已知为三角形的三边长，且满足，则三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【详解】因为，即，
所以，
，
．
因为是三角形的三边长，
所以，
所以，即，
所以三角形为等腰三角形．
【变式5-1】若a，b，c为的三边长且则的形状为（ ）三角形.
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的和为0，得出，即可求解．
【详解】解：∵
∴
即
∴
∴是等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，等腰三角的定义，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式5-2】已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据，，，得出，整理得出，求出，，，即可得出结论．
【详解】解：∵，，，
∴，
整理得：，
即，
∴，，，
∴此三角形为等腰三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解，求出，，．
【变式5-3】．若三角形的三条边分别是，且满足，判断三角形的形状并说明理由．
【答案】为等边三角形，理由见详解
【分析】将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式及其非负数的性质，可以求得、、的关系，从而可以判断的形状．
【详解】解：为等边三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
故为等边三角形．
【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
【变式5-4】．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有些多项式只用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．请你利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若三角形的三边长满足，判断三角形的形状．
【答案】(1)
(2)等腰三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将原式分组组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，然后判断三角形形状即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）∵，
又∵为三角形的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴三角形为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确运用分组分解法进行因式分解是解题关键．
【变式5-5】．已知 ，且满足，试判定能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由．
【答案】无法构成，理由见解析
【分析】将已知等式移项后变形为，即，据此可得且，继而知，即可作出判断．
【详解】解：无法构成，
理由：，
，
，
，
且，
即且，
，
无法构成．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，构成三角形的条件，解题的关键是运用完全平方公式和非负数的性质得出三边的关系．
题型6.利用因式分解判断大小
【例6】．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c．
【答案】
【分析】此题考查了整式运算和因式分解的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算、变形．先按照题意表示出，再运用作差法比较与的大小即可．
【详解】解：由题意得，当，时，
，
，
，
故答案为：．
【变式6-1】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：．
(1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系．
________
__________0（填“＞”，“＜”，“＝”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)1；2；
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意利用完全平方公式把对应的式子化为的形式是解题的关键．
（1）仿照题意利用完全平方公式进行求解即可；
（2）先根据长方形面积公式分别表示出与，再利用作差法求出，据此可得结论．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
故答案为：5；2；；
（2）解：，理由如下：
由题意得，
，
∴
∵，
∴，
∴，即．
【变式6-2】阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用：
例1．用配方法因式分解：．
解：原式
．
若，利用配方法求M的最小值：
解：．
∵．
∴当时，M有最小值5．
请利用配方法解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；
(2)利用“配方法”分解因式：；
(3)若．求N的最小值；
(4)已知整式与，请比较A、B的大小．
【答案】(1)25
(2)
(3)当时，N有最小值是6
(4)
【分析】本题主要考查配方法的运用，完全平方公式的应用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，整式加减运算的应用，合理利用配方法是解决本题的关键．
（1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数；
（2）类比例题进行分解因式即可；
（3）类比例题求的最小值即可；
（4）先计算整式与的差，偶次方的非负性，即可求出答案．
【详解】（1）解：，
常数项为25．
（2）解：
；
（3）解：
∵
∴当时，N有最小值是6；
（4）解：
∵
∴
∴．
【变式6-3】如图，已知线段，点是线段上一点，分别以，为边作两个正方形．
(1)如果，求两个正方形的面积之和S（用含x的代数式表示）；
(2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和；
(3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查整式运算的应用，完全平方公式的应用；
（1）根据正方形的面积公式，可得每个正方形的面积，根据整式的加减即可求解；
（2）根据正方形的面积公式，可得正方形的面积，根据有理数的加法即可求解；
（3）根据整式的加减进行化解，再根据完全平方公式的特点即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
∴，
（2）解：当点是的中点时，，，
∴
（3）解：当点不是的中点时，得，
∴
∵，∴，
故．
【变式6-4】．定义一种新运算，规定，例．
(1)已知，，分别求A，B；
(2)通过计算比较A与B的大小．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了整式的乘法运算，加减运算及平方差公式，正确理解题目中给出的运算符号是解题关键．
（1）根据题目中给出的新运算符号的意义，进行解答即可；
（2）根据题目中给出的新运算符号的意义，算出A、B的结果再相减进行比较即可．
【详解】（1）解：．
．
（2）解：，
∵，
∴．
【变式6-5】．已知a，b均为正数，且，试比较与的大小．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，整式大小的比较，将两个代数式相减，通过比较差的正负，比较两个式子的大小即可．
【详解】解：∵
，
∵a，b均为正数，且，
∴，，．
∴．
∴．
题型7.利用因式分解判断正负
【例7】当，，且时，的值（ ）
A．总是为正 B．总是为负
C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，把原式变形后利用平方差公式因式分解得到，然后分别判断出，，即可得出结论．
【详解】解∶
，
∵，，且，
∴，，
∴，即，
∴总是为正，
故选∶A．
【变式7-1】已知，，是三角形的三边长，请判断代数式的值的正负．
【答案】的值是负值．
【分析】把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】=（a-b+c）(a-b-c)
因为任意两边的之和大于第三边可得a-b+c大于零，a-b-c小于零，所以（a-b+c）(a-b-c)
小于零，即小于零．
故的值是负值．
【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知因式分解的方法及三角形的三边关系．
【变式7-2】．如图，正方形中，点是边上一点(不与端点重合)，以为边在正方形外作正方形，且三点在同一直线上，设正方形和正方形的边长分别为和．
(1)分别用含的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积；
(2)如果，求的值；
(3)当时，求值的正负．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）利用两个正方形的面积减去空白部分的面积列式即可；
（2）把，整体代入的代数式求得数值即可；
（3）联立不等式，进一步求得答案即可．
【详解】（1）
=
=
（2）∵
∴
．
（3）∵．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
【点睛】此题考查列代数式，整式的混合运算，以及因式分解的实际运用，求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键．
【变式7-3】．已知整数a，b，m，n满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)不可以，理由见详解
【分析】本题主要考查了完全本小题考查整式的运算、因式分解、奇数偶数等基础知识：考查运算能力、推理能力以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明．
（2）由a，b，m，n为整数，n为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵
∴为非负数．
（2）不可以，理由如下：
∵a，b，m，n为整数，n为偶数，
∴为偶数，
∵，
∴为偶数，
∴a，b同为偶数或者同为奇数，
∴为偶数，
若为奇数，则为奇数，
∴为奇数，
∴为奇数与为偶数矛盾，
∴不可以为奇数．
题型8.利用因式分解探究规律
【例8】【问题提出】
计算：
【问题探究】
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为：
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
①
②由①知，所以，
（1）仿照②，写出进行因式分解的过程．
【发现规律】
（2）______．
【问题解决】
（3）计算：______（结果用乘方表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】本题主要考查了整式的运算、数字规律、有理数的混合运算等知识点，发现解答的规律是解题的关键．
（1）仿照②进行解答即可；
（2）归纳①、②得到规律即可；
（3）直接运用（2）的规律对原式进行变形，然后再计算即可．
【详解】解：（1）
．
（2），
．
故答案为．
（3）
．
故答案为．
【变式8-1】．某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题：
（1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是________；
（2）一个三位数表示百位、十位、个位上的数字分别是、、（，，为0－9之间的整数，且），那么．若是3的倍数（设，为正整数），那么能被3整除吗？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
（3）若一个能被3整除的两位正整数（，为1－9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数．
【答案】（1）458；（2）能，见解析；（3）39
【分析】（1）把各个数除以3即可得出结果；
（2）由题意可列出式子，进行整理可得：从而可判断；
（3）根据题意可得：，把各个数表示出来代入进行求解，可以得出结果．
【详解】解：（1），能被3整除；
，能被3整除；
，能被3整除；
，不能被3整除；
故答案为：458；
（2）此时能被3整除，
证明：若是3的倍数，则令为正整数），
则有，
，
，
，
故能被3整除；
（3）交换后为，由题意得：
，
有，
整理得：，
得：，
，为之间的整数，
有，，，
能被3整除，
这个正整数是39．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，表示出相应两位数或三位数．
【变式8-2】．阅读下列材料：
．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为，且当时，多项式的值为零．
解答下列问题：
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为零、多项式有因式、多项式能被整除，这之间存在着一种什么样的联系？
(2)探究规律：一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为0，那么与整式之间有何种关系？
(3)应用：已知能整除，求的值．
【答案】(1)多项式有因式，说明此多项式能被整除，另外，当时，此多项式的值为零
(2)能被整除
(3)的值为5
【解析】略
【变式8-3】．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
【答案】(1)；
(2)m、n的值分别为和0；
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组：
（1）根据题意当时，，则，据此求解即可；
（2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可；
（3）先分组得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：当时，，
∵是多项式的一个因式，
∴当时，，
∴，
∴
（2）解：∵和是多项式的两个因式，
∴当或时，，
∴或时，，
∴，
解得，
∴原多项式为；
（3）解：
．
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
专题二 因式分解应用的八种题型
老师告诉你
因式分解是整式恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在实数的计算、整式的化简求值等方面起着重要作用。
题型1. 利用因式分解简便计算
【例1】．与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】运用因式分解计算：的结果为（ ）
A．314 B．264 C．256 D．300
【变式1-2】．计算： ．
．
【变式1-3】．简便计算：
(1)；
(2)
【变式1-4】简便计算：
(1)
(2)
题型2.利用因式分解化简求值
【例2】若，，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】．已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
【变式2-2】．若，则的值为 ．
【变式2-3】若，，，则的值为 ．
【变式2-4】．已知实数m，n满足．
(1)求的值；
(2)求的值；
【变式2-5】已知，且，求的值．
题型3.利用因式分解判断是否整除
【例3】．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ）
A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67
【变式3-1】若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
【变式3-2】对于任意正整数n，均能被（ ）
A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除
【变式3-3】．不能被整除的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】．已知一个四位自然数n，若n满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称n为“友谊数”．已知m是个位上的数字小于十位上的数字的“友谊数”，将m的百位数字记为x，百位数字与十位数字的积记为y，令；将m的各个数位上的数字之和记为，若能被4整除，则m的所有可能值中的最大值是 ．
题型4.利用因式分解求面积
【例4】．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为20，面积为16，请计算的值为（ ）
A．96 B．480 C．320 D．160
【变式4-1】若长为，宽为的长方形的周长为20，面积为18，则的值为 ．
【变式4-2】如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
(2)若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，求这张长方形纸板的面积
【变式4-3】．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图，可得等式：
(1)如图，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的方法表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来；
(2)若，，利用（1）中所得结论，求的值；
(3)如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积；
(4)小明用3张边长为的正方形，2张边长为的正方形，5张边长分别为，的长方形纸片重新拼出一个长方形，直接写出该长方形的周长为______．
题型5.利用因式分解判断三角形形状
【例5】．已知为三角形的三边长，且满足，则三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【变式5-1】若a，b，c为的三边长且则的形状为（ ）三角形.
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-2】已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【变式5-3】．若三角形的三条边分别是，且满足，判断三角形的形状并说明理由．
【变式5-4】．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有些多项式只用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．请你利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若三角形的三边长满足，判断三角形的形状．
【变式5-5】．已知 ，且满足，试判定能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由．
题型6.利用因式分解判断大小
【例6】．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c．
【变式6-1】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：．
(1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系．
________
__________0（填“＞”，“＜”，“＝”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
【变式6-2】阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用：
例1．用配方法因式分解：．
解：原式
．
若，利用配方法求M的最小值：
解：．
∵．
∴当时，M有最小值5．
请利用配方法解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；
(2)利用“配方法”分解因式：；
(3)若．求N的最小值；
(4)已知整式与，请比较A、B的大小．
【变式6-3】如图，已知线段，点是线段上一点，分别以，为边作两个正方形．
(1)如果，求两个正方形的面积之和S（用含x的代数式表示）；
(2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和；
(3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小．
【变式6-4】．定义一种新运算，规定，例．
(1)已知，，分别求A，B；
(2)通过计算比较A与B的大小．
【变式6-5】．已知a，b均为正数，且，试比较与的大小．
题型7.利用因式分解判断正负
【例7】当，，且时，的值（ ）
A．总是为正 B．总是为负
C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负
【变式7-1】已知，，是三角形的三边长，请判断代数式的值的正负．
【变式7-2】．如图，正方形中，点是边上一点(不与端点重合)，以为边在正方形外作正方形，且三点在同一直线上，设正方形和正方形的边长分别为和．
(1)分别用含的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积；
(2)如果，求的值；
(3)当时，求值的正负．
【变式7-3】．已知整数a，b，m，n满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
题型8.利用因式分解探究规律
【例8】【问题提出】
计算：
【问题探究】
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为：
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
①
②由①知，所以，
（1）仿照②，写出进行因式分解的过程．
【发现规律】
（2）______．
【问题解决】
（3）计算：______（结果用乘方表示）．
【变式8-1】．某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题：
（1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是________；
（2）一个三位数表示百位、十位、个位上的数字分别是、、（，，为0－9之间的整数，且），那么．若是3的倍数（设，为正整数），那么能被3整除吗？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
（3）若一个能被3整除的两位正整数（，为1－9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数．
【变式8-2】．阅读下列材料：
．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为，且当时，多项式的值为零．
解答下列问题：
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为零、多项式有因式、多项式能被整除，这之间存在着一种什么样的联系？
(2)探究规律：一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为0，那么与整式之间有何种关系？
(3)应用：已知能整除，求的值．
【变式8-3】．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
专题二 因式分解应用的八种题型
老师告诉你
因式分解是整式恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在实数的计算、整式的化简求值等方面起着重要作用。
题型1. 利用因式分解简便计算
【例1】．与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案．
【详解】解：，
故选：C．
【变式1-1】运用因式分解计算：的结果为（ ）
A．314 B．264 C．256 D．300
【答案】A
【分析】本题主要考查了分解因式的应用，用提公因式分解因式，然后进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【变式1-2】．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
【变式1-3】．简便计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）利用因式分解进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式1-4】简便计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可；
（2）运用平方差公式进行变形进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型2.利用因式分解化简求值
【例2】若，，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，利用已知求出的值，再对多项式进行因式分解，最后代入和的值计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键．
【详解】解：∵，
，
∵，
∴，
∴
，
故选：．
【变式2-1】．已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
【答案】74
【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键．
将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可.
【详解】由题意得，①， ②，
得③，
得④，
得，
，
．
故答案为：74．
【变式2-2】．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键；
等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出，即可确定出所求式子的值．
【详解】解：等式整理得：
可得
则
故答案为：．
【变式2-3】若，，，则的值为 ．
【答案】2044
【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是解题的关键．
先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
．
故答案为：．
【变式2-4】．已知实数m，n满足．
(1)求的值；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据多项式乘多项式的法则把原式展开，把已知条件代入计算即可；
（2）先分解因式得，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
∵
∴原式．
【变式2-5】已知，且，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意，合理分组，将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案；．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，即，
∵，
∴．
题型3.利用因式分解判断是否整除
【例3】．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ）
A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差因式分解即可求解．
【详解】解：∵
，
∴能被和整除，
∵，，
∵，，
∴能被65和63整除，
∴这两个数为：65和63．
故选：C．
【变式3-1】若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用．先将因式分解，进而可以得出答案．
【详解】解：，
的值总可以被11整除，即，
故选：A．
【变式3-2】对于任意正整数n，均能被（ ）
A．12整除 B．16整除 C．30整除 D．64整除
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，分解因式及其应用，先逆用同底数幂相乘法则把写成的形式，然后提取公因式，将式子变形后可得答案．
【详解】解：
，
∵n为正整数，则，
∴一定能被30整除，
故选：C．
【变式3-3】．不能被整除的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解的应用，先提取公因式，再利用平方差公式因式分解得到，即可作出判断和选择．
【详解】解：∵，
∴不能被整除的是，
故选：A．
【变式3-4】．已知一个四位自然数n，若n满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称n为“友谊数”．已知m是个位上的数字小于十位上的数字的“友谊数”，将m的百位数字记为x，百位数字与十位数字的积记为y，令；将m的各个数位上的数字之和记为，若能被4整除，则m的所有可能值中的最大值是 ．
【答案】3853
【分析】本题考查了因式分解的应用，实数的新定义，理解新定义和分类讨论思想是解本题关键．
设“友谊数” 的十位数字为，个位数字为，则千位数字为，百位数字为，因此，，再根据能被4整除得到或8，因此分类讨论即可得到结果．
【详解】解：设“友谊数” 的十位数字为，个位数字为，
则千位数字为，百位数字为，，且，，都是1到9之间的整数，
，
，
，
能被4整除，
或8，
所以，可能的结果有，
，，，，
当，时，
；
当，时，
；
当，时，
；
当，时，
；
综上，的所有可能值为1431，1871，2862，3853．
则m的所有可能值中的最大值是3853
故答案为：3853
题型4.利用因式分解求面积
【例4】．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为20，面积为16，请计算的值为（ ）
A．96 B．480 C．320 D．160
【答案】A
【分析】根据长方形的周长和面积求出a+b和ab的值，根据完全平方公式的变形得到a-b的值，对多项式进行因式分解，整体代入求值即可．
【详解】解：∵长方形的边长为A、b（a＞b），周长为20，面积为16，
∴2（a+b）=20，ab=16，
∴a+b=10，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=102-4×16=100-64=36，
∵a＞b，
∴a-b=6，
∴原式=ab（a-b）=16×6=96．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，掌握（a-b）2=（a+b）2-4ab是解题的关键．
【变式4-1】若长为，宽为的长方形的周长为20，面积为18，则的值为 ．
【答案】180
【分析】利用长方形周长与面积公式表示出a+b，ab的值，原式分解后代入计算即可求出值．
【详解】根据题意得：2（a+b）=20，ab=18，
解得：a+b=10，ab=18，
则原式=ab（a+b）=180，
故答案为：180
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
【变式4-2】如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
(2)若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，求这张长方形纸板的面积
【答案】(1)（2m+n）（m+3n）．
(2)272
【分析】（1）根据图形可得，代数式2m2+7mn+3n2表示长方形纸片分成12块图形的面积之和，长方形的纸片的面积还可以用长×宽，即（2m+n）（m+3n）；
（2）根据小长方形的周长是20，得到m+n＝10；每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，得到m2﹣n2＝40；根据上述关于m、n的方程求出m，n的值代入（1）中的代数式即可．
【详解】（1）解：由题意得，
长方形纸板分成12块，其中2块边长为m的大正方形的面积为2m2；
3块边长为n的小正方形的面积为3n2；
7块长为m，宽为n的全等小长方形的面积为7mn．
∴代数式2m2+7mn+3n2表示的是长方形纸板分成12块图形的面积之和．
∵长方形纸板的边长分别为：（2m+n），（m+3n）．
∴2m2+7mn+3n2＝（2m+n）（m+3n）．
故答案为：（2m+n）（m+3n）．
（2）由题意得，
．
解得．
∴长方形纸板的面积为：（2m+n）（m+3n）＝17×16＝272．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，主要用到以图形面积为背景的二次三项式的因式分解以及平方差公式的应用．
【变式4-3】．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图，可得等式：
(1)如图，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的方法表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来；
(2)若，，利用（1）中所得结论，求的值；
(3)如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积；
(4)小明用3张边长为的正方形，2张边长为的正方形，5张边长分别为，的长方形纸片重新拼出一个长方形，直接写出该长方形的周长为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）大正方形的面积通过两种不同的方法计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；
（3）根据题意可得阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积，进行计算即可解答．
（4）根据题意得出长方形的面积，进而因式分解即可求解．
【详解】（1）解：大正方形的面积，
又大正方形的面积=，
∴
（2）解：由（1）可得：
∵，
∴
．
（3）解：∵，，
∴阴影部分面积为
．
（4）解：依题意，,
∴长方形的边长分别为,
∴长方形的周长为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，完全平方式，熟练掌握因式分解是解题的关键．
题型5.利用因式分解判断三角形形状
【例5】．已知为三角形的三边长，且满足，则三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【详解】因为，即，
所以，
，
．
因为是三角形的三边长，
所以，
所以，即，
所以三角形为等腰三角形．
【变式5-1】若a，b，c为的三边长且则的形状为（ ）三角形.
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的和为0，得出，即可求解．
【详解】解：∵
∴
即
∴
∴是等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，等腰三角的定义，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式5-2】已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据，，，得出，整理得出，求出，，，即可得出结论．
【详解】解：∵，，，
∴，
整理得：，
即，
∴，，，
∴此三角形为等腰三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解，求出，，．
【变式5-3】．若三角形的三条边分别是，且满足，判断三角形的形状并说明理由．
【答案】为等边三角形，理由见详解
【分析】将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式及其非负数的性质，可以求得、、的关系，从而可以判断的形状．
【详解】解：为等边三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
故为等边三角形．
【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
【变式5-4】．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有些多项式只用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．请你利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若三角形的三边长满足，判断三角形的形状．
【答案】(1)
(2)等腰三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将原式分组组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，然后判断三角形形状即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）∵，
又∵为三角形的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴三角形为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确运用分组分解法进行因式分解是解题关键．
【变式5-5】．已知 ，且满足，试判定能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由．
【答案】无法构成，理由见解析
【分析】将已知等式移项后变形为，即，据此可得且，继而知，即可作出判断．
【详解】解：无法构成，
理由：，
，
，
，
且，
即且，
，
无法构成．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，构成三角形的条件，解题的关键是运用完全平方公式和非负数的性质得出三边的关系．
题型6.利用因式分解判断大小
【例6】．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c．
【答案】
【分析】此题考查了整式运算和因式分解的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算、变形．先按照题意表示出，再运用作差法比较与的大小即可．
【详解】解：由题意得，当，时，
，
，
，
故答案为：．
【变式6-1】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：．
(1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系．
________
__________0（填“＞”，“＜”，“＝”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)1；2；
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意利用完全平方公式把对应的式子化为的形式是解题的关键．
（1）仿照题意利用完全平方公式进行求解即可；
（2）先根据长方形面积公式分别表示出与，再利用作差法求出，据此可得结论．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
故答案为：5；2；；
（2）解：，理由如下：
由题意得，
，
∴
∵，
∴，
∴，即．
【变式6-2】阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用：
例1．用配方法因式分解：．
解：原式
．
若，利用配方法求M的最小值：
解：．
∵．
∴当时，M有最小值5．
请利用配方法解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；
(2)利用“配方法”分解因式：；
(3)若．求N的最小值；
(4)已知整式与，请比较A、B的大小．
【答案】(1)25
(2)
(3)当时，N有最小值是6
(4)
【分析】本题主要考查配方法的运用，完全平方公式的应用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，整式加减运算的应用，合理利用配方法是解决本题的关键．
（1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数；
（2）类比例题进行分解因式即可；
（3）类比例题求的最小值即可；
（4）先计算整式与的差，偶次方的非负性，即可求出答案．
【详解】（1）解：，
常数项为25．
（2）解：
；
（3）解：
∵
∴当时，N有最小值是6；
（4）解：
∵
∴
∴．
【变式6-3】如图，已知线段，点是线段上一点，分别以，为边作两个正方形．
(1)如果，求两个正方形的面积之和S（用含x的代数式表示）；
(2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和；
(3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查整式运算的应用，完全平方公式的应用；
（1）根据正方形的面积公式，可得每个正方形的面积，根据整式的加减即可求解；
（2）根据正方形的面积公式，可得正方形的面积，根据有理数的加法即可求解；
（3）根据整式的加减进行化解，再根据完全平方公式的特点即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
∴，
（2）解：当点是的中点时，，，
∴
（3）解：当点不是的中点时，得，
∴
∵，∴，
故．
【变式6-4】．定义一种新运算，规定，例．
(1)已知，，分别求A，B；
(2)通过计算比较A与B的大小．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了整式的乘法运算，加减运算及平方差公式，正确理解题目中给出的运算符号是解题关键．
（1）根据题目中给出的新运算符号的意义，进行解答即可；
（2）根据题目中给出的新运算符号的意义，算出A、B的结果再相减进行比较即可．
【详解】（1）解：．
．
（2）解：，
∵，
∴．
【变式6-5】．已知a，b均为正数，且，试比较与的大小．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，整式大小的比较，将两个代数式相减，通过比较差的正负，比较两个式子的大小即可．
【详解】解：∵
，
∵a，b均为正数，且，
∴，，．
∴．
∴．
题型7.利用因式分解判断正负
【例7】当，，且时，的值（ ）
A．总是为正 B．总是为负
C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，把原式变形后利用平方差公式因式分解得到，然后分别判断出，，即可得出结论．
【详解】解∶
，
∵，，且，
∴，，
∴，即，
∴总是为正，
故选∶A．
【变式7-1】已知，，是三角形的三边长，请判断代数式的值的正负．
【答案】的值是负值．
【分析】把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】=（a-b+c）(a-b-c)
因为任意两边的之和大于第三边可得a-b+c大于零，a-b-c小于零，所以（a-b+c）(a-b-c)
小于零，即小于零．
故的值是负值．
【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知因式分解的方法及三角形的三边关系．
【变式7-2】．如图，正方形中，点是边上一点(不与端点重合)，以为边在正方形外作正方形，且三点在同一直线上，设正方形和正方形的边长分别为和．
(1)分别用含的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积；
(2)如果，求的值；
(3)当时，求值的正负．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）利用两个正方形的面积减去空白部分的面积列式即可；
（2）把，整体代入的代数式求得数值即可；
（3）联立不等式，进一步求得答案即可．
【详解】（1）
=
=
（2）∵
∴
．
（3）∵．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
【点睛】此题考查列代数式，整式的混合运算，以及因式分解的实际运用，求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键．
【变式7-3】．已知整数a，b，m，n满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)不可以，理由见详解
【分析】本题主要考查了完全本小题考查整式的运算、因式分解、奇数偶数等基础知识：考查运算能力、推理能力以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明．
（2）由a，b，m，n为整数，n为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵
∴为非负数．
（2）不可以，理由如下：
∵a，b，m，n为整数，n为偶数，
∴为偶数，
∵，
∴为偶数，
∴a，b同为偶数或者同为奇数，
∴为偶数，
若为奇数，则为奇数，
∴为奇数，
∴为奇数与为偶数矛盾，
∴不可以为奇数．
题型8.利用因式分解探究规律
【例8】【问题提出】
计算：
【问题探究】
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为：
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
①
②由①知，所以，
（1）仿照②，写出进行因式分解的过程．
【发现规律】
（2）______．
【问题解决】
（3）计算：______（结果用乘方表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】本题主要考查了整式的运算、数字规律、有理数的混合运算等知识点，发现解答的规律是解题的关键．
（1）仿照②进行解答即可；
（2）归纳①、②得到规律即可；
（3）直接运用（2）的规律对原式进行变形，然后再计算即可．
【详解】解：（1）
．
（2），
．
故答案为．
（3）
．
故答案为．
【变式8-1】．某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题：
（1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是________；
（2）一个三位数表示百位、十位、个位上的数字分别是、、（，，为0－9之间的整数，且），那么．若是3的倍数（设，为正整数），那么能被3整除吗？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
（3）若一个能被3整除的两位正整数（，为1－9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数．
【答案】（1）458；（2）能，见解析；（3）39
【分析】（1）把各个数除以3即可得出结果；
（2）由题意可列出式子，进行整理可得：从而可判断；
（3）根据题意可得：，把各个数表示出来代入进行求解，可以得出结果．
【详解】解：（1），能被3整除；
，能被3整除；
，能被3整除；
，不能被3整除；
故答案为：458；
（2）此时能被3整除，
证明：若是3的倍数，则令为正整数），
则有，
，
，
，
故能被3整除；
（3）交换后为，由题意得：
，
有，
整理得：，
得：，
，为之间的整数，
有，，，
能被3整除，
这个正整数是39．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，表示出相应两位数或三位数．
【变式8-2】．阅读下列材料：
．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为，且当时，多项式的值为零．
解答下列问题：
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为零、多项式有因式、多项式能被整除，这之间存在着一种什么样的联系？
(2)探究规律：一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为0，那么与整式之间有何种关系？
(3)应用：已知能整除，求的值．
【答案】(1)多项式有因式，说明此多项式能被整除，另外，当时，此多项式的值为零
(2)能被整除
(3)的值为5
【解析】略
【变式8-3】．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
【答案】(1)；
(2)m、n的值分别为和0；
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组：
（1）根据题意当时，，则，据此求解即可；
（2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可；
（3）先分组得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：当时，，
∵是多项式的一个因式，
∴当时，，
∴，
∴
（2）解：∵和是多项式的两个因式，
∴当或时，，
∴或时，，
∴，
解得，
∴原多项式为；
（3）解：
．
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