人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解专题四因式分解九种方法技巧及应用

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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
专题四 因式分解九种方法技巧及应用
老师告诉你
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式
（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式、十字相乘法来分解
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项来分解
（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解.
总结：看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
类型1 提公因式法提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
注意：
①提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.
【例1-1】．分解因式： ．
【例1-2】．已知，则 ．
【变式1-1】．计算 ．
【变式1-2】．用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【变式1-3】．因式分解：．
类型2 公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
【例2-1】．因式分解的结果为 ．
【例2-2】．因式分解： ．
【变式2-1】．．因式分解：
(1)；
(2)．
【变式2-2】．．分解因式：
(1)；
(2)．
【变式2-3】．．因式分解：．
类型3 先提公因式，再用公式法
当多项式有公因式时，先提公因式，再运用公式
【例3-1】．．若，，，则的值为 ．
【例3-2】．．把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
【变式3-1】．因式分解：
(1)
(2)
【变式3-2】（1）分解因式：
（2）分解因式：
【变式3-3】．分解因式
(1)；
(2)
类型4 先展开，再用公式法
【例4-1】．分解因式
（a﹣b）（a﹣4b）+ab． （2）（a﹣b）2+4ab．
【例4-2】．分解因式（x﹣2）（x﹣4）+1．
【变式4-1】分解因式:Y( y -4) -2(y -4 )+1
【变式4-2】分解因式：m2 (m - 8 )+ 16m
类型5 十字相乘法
1. x2+(p+q)x+pq=（x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 + bx + c 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a = a1 . a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c = c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 +a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 + bx + c 的 一次项系数b ，即 a1c2 + a2c1 = b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与 a2 x + c2 之积，即 ax2 +bx + c = (a1x + c1)(a2 x + c2 ) ．
【例5-1】．对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为 ．
【例5-2】．．用十字相乘法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式5-1】．提出问题：你能把多项式因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：
运用结论：
(1)基础运用：把多项式进行因式分解．
①；②；③．
(2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：
【变式5-2】．阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法．
（1）二次项系数．
（2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．

．
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数．
即，则．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
仿照以上方法，分解因式：
(1)
(2)
(3)
【变式5-3】．用十字相乘法解方程：
(1)；
(2)．
类型6 分组分解法
“分组分解法”分解因式归纳总结：
多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公式可提，也不能用公式法分解，但从局部看，能够提取公因式或是利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。
【例6-1】．阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：
这种因式分解的方法叫做分组分解法．
(1)请用上述方法因式分解： ；
(2)知a、b、c是三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由；
(3)已知，求的值．
【例6-2】【问题提出】如何分解因式：？
【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究：
甲同学：
乙同学：
【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法．
【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题：
（1）分解因式：；
（2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值．
【变式6-1】．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)分解因式：
①；
②．
(2)已知的三边，，满足，试判断的形状．
【变式6-2】．在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解：
（分成两组）
（直接提公因式）
我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：
(1)尝试填空： ；
(2)解决问题：已知，求的值；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【变式6-3】．阅读与思考
我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解，再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程：．
请使用分组分解法解决以下问题：
(1)分解因式：．
(2)已知a，b，c满足，请判断b与c的大小关系并说明理由．
类型7 “拆项法”分解因式
1.把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项，一个不存在的项也可以拆成其和为0的两项或多项，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；
2 .拆项必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换，否则此处一步错，后面步步错.
【例7-1】．下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
“拆项法”因式分解
在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解．
【例题分析】因式分解：
解：原式 …………………………第一步
………………………………第二步
………………………………第三步
……………………………………第四步
任务：
(1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解：
A．提公因式法 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．整式乘法
(2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解．
【例7-2】．运用拆项法因式分解：；
【变式7-1】．因式分解：
解：原式
请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)因式分解：___________；
(2)运用拆项法因式分解：；
(3)化简，并求该式的最小值．
【变式7-2】．利用拆项法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式7-3】．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：例如：．
②拆项法：例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【变式7-4】．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
类型8 “配方法”分解因式
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等.
【例8-1】．．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：
①用配方法因式分解：．
解：
．
②求的最小值．
解：
，
，
即的最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______．
(2)利用上述方法进行因式分解：．
(3)求的最小值．
【例8-2】．．“形如的式子称为完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______．（直接写出结果）
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)已知，，求代数式的值．
【变式8-1】．．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如：
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
【变式8-2】．．阅读材料：
已知，求m，n的值．
解：等式可变形为,
即．
因为，
所以．
所以．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请你利用配方法，解决下列问题：
已知a，b分别是长方形的长、宽，且满足，试求长方形的面积．
类型9 “换元法”分解因式
把多项式中某些部分看成一个整体，用新字母代替，叫做换元。
1 .对多项式中复杂部分换元，简化计算，避免出错
2 .形如的多项式，先经过适当分组，两两展开，再换元以求简便
【例9-1】．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________；
(2)请你用换元法对多项式进行因式分解；
(3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”）．
【例9-2】．阅读下列材料：
解一些复杂的因式分解问题常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小张同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小张同学的解法中，第二步运用了因式分解的______．
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小张同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______．
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
【变式9-1】．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如分解因式：
材料2：分解因式．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)根据材料1将因式分解；
(2)根据材料2将因式分解．
【变式9-2】．阅读理解:对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程．
解：设，则
(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)．
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了（ ）
A．平方差公式 B．两数和的完全平方公式 C．两数差的完全平方公式
(2)按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，多项式因式分解的最后结果为　　　　　．
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
专题四 因式分解九种方法技巧及应用
老师告诉你
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式
（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式、十字相乘法来分解
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项来分解
（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解.
总结：看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
类型1 提公因式法提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
注意：
①提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.
【例1-1】．分解因式： ．
【答案】
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【例1-2】．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知条件，先通过因式分解将式子变形，然后将进行整体代入，再求解，解题的关键是将已知条件整体代入变形的式子中，从而求解．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
【变式1-1】．计算 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把原式变形为，再去括号并计算求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式1-2】．用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键；
（1）提公因式法提取分解因式即可求解；
（2）提公因式法提取分解因式即可求解；
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【变式1-3】．因式分解：．
【答案】
【分析】此题考查提公因式法与单项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先提取公因式，再对余下的进行单项式乘多项式，最后合并同类项即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
类型2 公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
【例2-1】．因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解；用平方差公式“”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：原式；
故答案：．
【例2-2】．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，直接运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式2-1】．．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解是关键．
(1)先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可;
(2)先利用多项式乘多项式把前两个因式的积算出来，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解:
．
【变式2-2】．．分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解：
（1）直接利用平方差公式因式分解即可；
（2）直接利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
【变式2-3】．．因式分解：．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．
类型3 先提公因式，再用公式法
当多项式有公因式时，先提公因式，再运用公式
【例3-1】．．若，，，则的值为 ．
【答案】2044
【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是解题的关键．
先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
．
故答案为：．
【例3-2】．．把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可；
（3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式3-1】．因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【变式3-2】（1）分解因式：
（2）分解因式：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【变式3-3】．分解因式
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了综合提公因式和公式法分解因式，综合运用公式法分解因式等知识点，熟练掌握分解因式的各种方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）对原式略作变形，将写成，然后利用平方差公式分解因式，最后再分别对前后两部分用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
类型4 先展开，再用公式法
【例4-1】．分解因式
（a﹣b）（a﹣4b）+ab． （2）（a﹣b）2+4ab．
【答案】（1）（a﹣2b）2 （2）（a+b）2
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab﹣ab+4b2+ab
＝a2﹣4ab+4b2
＝（a﹣2b）2．
原式＝a2﹣2ab+b2+4ab
＝a2+2ab+b2
＝（a+b）2．
【例4-2】．分解因式（x﹣2）（x﹣4）+1．
【答案】（x﹣3）2
【解答】（x﹣2）（x﹣4）+1
＝x2﹣4x﹣2x+8+1
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2；
【变式4-1】分解因式:Y( y -4) -2(y -4 )+1
【答案】（y﹣3）2
【解答】Y( y -4) -2(y -4 )+1
=y2 -4y -2y +8+1
=y2 -6y +9
= (y -3)2
【变式4-2】分解因式：m2 (m - 8 )+ 16m
【答案】m (m -4 )2
【解答】m2 (m - 8 )+ 16m
=m3 -8m2 +16m
=m( m2 -8m +16)
=m (m -4)2
类型5 十字相乘法
1. x2+(p+q)x+pq=（x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 + bx + c 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a = a1 . a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c = c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 +a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 + bx + c 的 一次项系数b ，即 a1c2 + a2c1 = b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与 a2 x + c2 之积，即 ax2 +bx + c = (a1x + c1)(a2 x + c2 ) ．
【例5-1】．对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的另一种方法—用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可．
【详解】解：
．
【例5-2】．．用十字相乘法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
（3）原式
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【变式5-1】．提出问题：你能把多项式因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：
运用结论：
(1)基础运用：把多项式进行因式分解．
①；②；③．
(2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：
【答案】(1)①；②；③
(2)
【分析】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．
（1）把拆成即可；把拆成即可；把拆成即可；
（2）把拆成，把拆成即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【变式5-2】．阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法．
（1）二次项系数．
（2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．

．
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数．
即，则．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
仿照以上方法，分解因式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式；
（1）直接利用十字乘法分解因式即可；
（2）直接利用十字乘法分解因式即可；
（3）把看整体，再利用十字乘法分解因式即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
【变式5-3】．用十字相乘法解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．
【详解】（1）解：
，
或，
或；
（2）解：，
，
或，
或．
【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．
类型6 分组分解法
“分组分解法”分解因式归纳总结：
多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公式可提，也不能用公式法分解，但从局部看，能够提取公因式或是利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。
【例6-1】．阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：
这种因式分解的方法叫做分组分解法．
(1)请用上述方法因式分解： ；
(2)知a、b、c是三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)是等边三角形， 理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定：
（1）仿照题意分为两组，再利用提公因式法和平方差公式分解因式即可；
（2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解；
（3）把原式分组得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：是等边三角形， 理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）解：∵，
∴
．
【例6-2】【问题提出】如何分解因式：？
【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究：
甲同学：
乙同学：
【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法．
【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题：
（1）分解因式：；
（2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值．
【答案】（1）；（2）为等腰三角形，理由见解析；（3），
【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义．
（1）根据分组分解法分解因式即可；
（2）利用分组分解法，解方程得出，即可得出为等腰三角形；
（3）根据题意列出方程，结合实际意义，解方程即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
∵，，均为正数，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）解：∵长为，长为，
∴长方形试验田的面积为，
当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为，
即，，
根据题意可得：，
整理得出：，
∵为正整数，
∴，
∴，
∵，均为正整数，
∴或，
分别求解，得出或（舍去），
故，．
【变式6-1】．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)分解因式：
①；
②．
(2)已知的三边，，满足，试判断的形状．
【答案】(1)①；②
(2)等腰三角形
【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
（1）①先分组，然后用提公因式法进行因式分解即可得到答案；②先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得到答案；
（2）先利用因式分解，得到，再根据三角形的三边关系，得到，推出，即可判断的形状．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：等腰三角形，理由如下：
，
，
，，是的三边，
，
，
，
，
的形状是等腰三角形．
【变式6-2】．在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解：
（分成两组）
（直接提公因式）
我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：
(1)尝试填空： ；
(2)解决问题：已知，求的值；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)三角形是等腰三角形，理由见解析
【分析】此题考查了用分组分解法分解因式，熟练掌握分组分解法是解题的关键．
（1）利用分组分解法解答即可；
（2）利用分组分解法得到，再整体代入即可；
（3）利用分组分解法得到，则或，即可得到结论．
【详解】（1）解：
，
故答案为：
（2），
∵，
∴原式；
（3）三角形是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
，
，
∴或，
∴三角形是等腰三角形．
【变式6-3】．阅读与思考
我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解，再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程：．
请使用分组分解法解决以下问题：
(1)分解因式：．
(2)已知a，b，c满足，请判断b与c的大小关系并说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查因式分解分组分解法，理解题意并掌握分组分解法是解题的关键．
（1）运用题中所给定的方法即分组分解法因式分解即可；
（2）运用分组分解法可得，再根据推导，从而得解．
【详解】（1）解：
（2）因为
所以
所以，
所以．
因为，，
所以，
所以
所以．
类型7 “拆项法”分解因式
1.把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项，一个不存在的项也可以拆成其和为0的两项或多项，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；
2 .拆项必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换，否则此处一步错，后面步步错.
【例7-1】．下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
“拆项法”因式分解
在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解．
【例题分析】因式分解：
解：原式 …………………………第一步
………………………………第二步
………………………………第三步
……………………………………第四步
任务：
(1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解：
A．提公因式法 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．整式乘法
(2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解．
【答案】(1)A
(2)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）根据提公因式法即可求解；
（2）根据题意中的分解因式的方法求解即可．
【详解】（1）解：，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解：
故选：A．
（2）解：
【例7-2】．运用拆项法因式分解：；
【答案】
【分析】此题考查了因式分解．将原式变形为，再利用提公因式分解即可．
【详解】解：
．
【变式7-1】．因式分解：
解：原式
请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)因式分解：___________；
(2)运用拆项法因式分解：；
(3)化简，并求该式的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)，最小值为
【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则．
（1）根据例1的思路计算即可；
（2）根据例2的思路计算即可；
（3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
故答案为：；
（2）
，
，
，
（3），
，
，
，
，
，
，
当时，最小值为．
【变式7-2】．利用拆项法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了因式分解的应用，解题时要注意在拆项变形的过程中不要改变式子的值．
（1）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可；
（2）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可；
（3）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式7-3】．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：例如：．
②拆项法：例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)①②
(2)为直角三角形，理由见详解
【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式；②读懂题意，利用拆项法分解因式；
（2）把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理即可．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：为直角三角形，理由如下：
、、为的三条边，，
，
，
，
，
，
．
故为直角三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握因式分解的方法和非负数的性质．
【变式7-4】．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b)
【分析】（1）仿照例题方法分解因式即可；
（2）仿照例题方法分解因式即可；
【详解】解：（1）x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）(x－3－4)
=(x+1)(x－7)；
（2）a2＋4ab﹣5b2
= a2＋4ab+4b2﹣9b2
=（a+2b）2－(3b)2
=（a+2b +3b）(a+2b－3b)
=(a+5b)( a－b)．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．
类型8 “配方法”分解因式
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等.
【例8-1】．．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：
①用配方法因式分解：．
解：
．
②求的最小值．
解：
，
，
即的最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______．
(2)利用上述方法进行因式分解：．
(3)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）根据完全平方公式即可求解；
（）仿照阅读材料中①用配方法因式分解即可；
（）仿照阅读材料中②解答即可；
本题考查了完全平方公式及其应用，掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵，
∴，
即的最小值为．
【例8-2】．．“形如的式子称为完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______．（直接写出结果）
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)已知，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)当时，多项式有最大值，最大值是7；
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键．
（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，求出，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
，
∴当时，多项式有最大值，最大值是7；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
【变式8-1】．．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如：
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用公式法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)12
【分析】本题考查因式分解的应用．
（1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；
（2）配方后即可得出多项式的最值；
（3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
多项式的最小值是；
（3）解：，
即，
，
，
，，，
∴的周长为．
【变式8-2】．．阅读材料：
已知，求m，n的值．
解：等式可变形为,
即．
因为，
所以．
所以．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请你利用配方法，解决下列问题：
已知a，b分别是长方形的长、宽，且满足，试求长方形的面积．
【答案】12
【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，配方法的应用，掌握完全平方公式的结构是解题的关键．
根据配方法和非负数原理求出的值，再根据长方形的面积公式求解即可．
【详解】
∵，，
∴，，
解得：，，
∵a，b分别是长方形的长、宽，
∴长方形的面积为：．
类型9 “换元法”分解因式
把多项式中某些部分看成一个整体，用新字母代替，叫做换元。
1 .对多项式中复杂部分换元，简化计算，避免出错
2 .形如的多项式，先经过适当分组，两两展开，再换元以求简便
【例9-1】．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________；
(2)请你用换元法对多项式进行因式分解；
(3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”）．
【答案】(1)
(2)
(3)，小．
【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式进行分解因式，最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（2）结合材料，用换元法进行分解因式；
（3）利用还原法把原式变形分解，由即可得解．
【详解】（1）解：
设，
原式
故答案为：；
（2）解：设，
原式
；
（3）解：设，
原式
∵
∴
∴当时，多项式存在最小值，为．
【例9-2】．阅读下列材料：
解一些复杂的因式分解问题常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小张同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小张同学的解法中，第二步运用了因式分解的______．
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小张同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______．
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解—换元法、公式法等知识点，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式的特点即可判定；
（2）再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式即可．
【详解】（1）解：根据第二步的因式分解过程可知是运用了完全公式法．
故选C．
（2）解：原式．
故答案为：．
（3）解：设，
．
【变式9-1】．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如分解因式：
材料2：分解因式．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)根据材料1将因式分解；
(2)根据材料2将因式分解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解．看懂和理解题例是解决本题的关键．
（1）根据材料1利用配方法进行因式分解；
（2）令，利用材料2的方法，进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：设，
则原式
．
【变式9-2】．阅读理解:对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程．
解：设，则
(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)．
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了（ ）
A．平方差公式 B．两数和的完全平方公式 C．两数差的完全平方公式
(2)按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，多项式因式分解的最后结果为　　　　　．
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
【答案】(1)B
(2)
(3)
【分析】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．
（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；
（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可；
（3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可．
【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选：B；
（2）解：设，则
；
（3）解：设．
．
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