人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解小结与复习

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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
小结与复习
一、知识点梳理
二、知识点整合
知识点1. 同底数幂的乘法法则：
（都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如：
知识点2 幂的乘方法则：
（都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：
幂的乘方法则可以逆用：即
如：
知识点3 积的乘方法则：
（是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（=
知识点4 同底数幂的除法法则：
（都是正整数，且
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：
知识点5 零指数和负指数；
（a≠0），即任何不等于零的数的零次方等于1。
知识点6 单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：
知识点7 单项式乘以多项式，
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即(都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]
如：
知识点8 多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
如：
知识点9 平方差公式：
注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如：
知识点10 完全平方公式：
公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意：
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
知识点11 单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
如：
知识点12 多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即：
知识点13 因式分解的意义：
把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。
注意：（１）因式分解的要求：
①结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；　②每个因式必须是整式；③各因式要分解到不能分解为止。
（２）因式分解与整式乘法的关系：　是两种不同的变形过程，即互逆关系。
知识点14 因式分解的方法：
（１）提公因式法分解因式：
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。
这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。
确定公因式方法：
系数：取多项式各项系数的最大公约数。
字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。
（２）利用公式法分解因式：
①平方差公式：－＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。
②完全平方公式：＋＝；
＋＝；
知识点15 因式分解的一般步骤及注意问题：(一提二套三查)
（１）对多项式各项有公因式时，应先提供因式。
（２）多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式
（3）分解因式，必须检查是否每一个多项式都不能再分解为止。
知识点16 添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
三、考点解析
【考点1】同底数幂相乘
【例1-1】．计算：
(1)；
(2)．
【例1-2】．计算：．
【例1-3】．已知，，且，求的值．
针对训练1
1．判断是否正确，并说明理由．
2．规定，求：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
3．已知，，求的值．
【考点2】幂的乘方积的乘方
【例2-1】计算：．
【例2-2】．计算
(1)；
(2)．
【例2-3】．（1）已知，求的值；
（2）已知，求n的值．
【例2-4】已知，试用含的式子表示．
针对训练2
1．计算：；
2．计算
3．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【考点3】同底数幂的除法
【例3-1】．计算：．
【例3-2】．．已知，求代数式的值．
针对训练3
1．计算：
2．计算：．
3．已知，求的值．
【考点4】整式的乘法
【例4-1】．计算：
【例4-2】．已知：的展开式中不含项和项，求、的值．
【例4-3】．先化简，再求值：，其中．
针对训练4
1．计算：．
2．计算：．
3．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)其中．
4．如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．
(1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简；
(2)若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
5 .某数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式如下：
．
（1）求所捂的多项式；
（2）求所捂的多项式与的商；
（3）当，时，求所捂的多项式的值．
【考点5】平方差公式
【例5-1】．先化简，再求值：，其中，．
【例5-2】．．乘法公式的探究与运用：
(1)如图①，边长为a的大长方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是________；（写成两数平方差的形式）
(2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是________，宽是________，面积是________；（写成多项式乘法的形式）
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：________；
(4)运用你得到的公式计算：；
(5)若，，则的值为________．
针对训练5
1．先化简，再求值：，其中．
2．先化简，再求值：，其中，．
【考点6】完全平方公式
【例6-1】．计算：
【例6-2】．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足，且．
① 求的值；
② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．

针对训练6
1．【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）；
【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：
①已知，，则的值为 ；
②计算：．
【拓展】（3）计算：．
2．如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．
(1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示）
(2)在图2中，m与n的等量关系为______；
(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．
【考点7】因式分解
【例7-1】．因式分解：．
【例7-2】．分解因式：．
【例7-3】．若为实数且满足，，求的最小值．
针对训练7
1．因式分解：
(1)；
(2)．
2．已知数、、、满足，，求的值．
3．下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务．若是多项式的一个因式，求的值．
解：是多项式的一个因式，
设（A为整式）．
当时，则有．
将代入，得．解得．
学习任务：
(1)若是多项式的一个因式，求出多项式中二次项的系数的值；
(2)若和是多项式的两个因式，求出多项式中三次项和一次项的系数，的值．
4 .已知a、b是等腰的边且满足，则等腰的周长为 ．
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第14章 整式的乘法与因式分解
小结与复习
一、知识点梳理
二、知识点整合
知识点1. 同底数幂的乘法法则：
（都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如：
知识点2 幂的乘方法则：
（都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：
幂的乘方法则可以逆用：即
如：
知识点3 积的乘方法则：
（是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（=
知识点4 同底数幂的除法法则：
（都是正整数，且
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：
知识点5 零指数和负指数；
（a≠0），即任何不等于零的数的零次方等于1。
知识点6 单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：
知识点7 单项式乘以多项式，
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即(都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]
如：
知识点8 多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
如：
知识点9 平方差公式：
注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如：
知识点10 完全平方公式：
公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意：
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
知识点11 单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
如：
知识点12 多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即：
知识点13 因式分解的意义：
把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。
注意：（１）因式分解的要求：
①结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；　②每个因式必须是整式；③各因式要分解到不能分解为止。
（２）因式分解与整式乘法的关系：　是两种不同的变形过程，即互逆关系。
知识点14 因式分解的方法：
（１）提公因式法分解因式：
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。
这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。
确定公因式方法：
系数：取多项式各项系数的最大公约数。
字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。
（２）利用公式法分解因式：
①平方差公式：－＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。
②完全平方公式：＋＝；
＋＝；
知识点15 因式分解的一般步骤及注意问题：(一提二套三查)
（１）对多项式各项有公因式时，应先提供因式。
（２）多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式
（3）分解因式，必须检查是否每一个多项式都不能再分解为止。
知识点16 添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
三、考点解析
【考点1】同底数幂相乘
【例1-1】．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法运算进行计算；
（2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【例1-2】．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法的法则“底数不变，指数相加”计算即可．
【详解】解：
．
【例1-3】．已知，，且，求的值．
【答案】
【分析】本题考查同底数幂的乘方，解题的关键是熟练运用整式乘法公式，根据解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
针对训练1
1．判断是否正确，并说明理由．
【答案】不正确，理由见解析．
【分析】此题考查了同底数幂的乘法，首先将底数统一成，然后根据同底数幂的乘法法则求解即可．
【详解】解：不正确，理由如下：
．
故该计算结果不正确．
2．规定，求：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)8
(2)
【分析】本题是定义新运算的题目，需结合同底数幂的乘法法则、解一元一次方程的知识解答；
（1）根据新定义求解即可；
（2）根据新定义可得，可得，求出x的值即可．
【详解】（1）由题意得：
（2）由题意得：
∴，解得：
3．已知，，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、二元一次方程组的解法．首先根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得、，可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
解方程组，
得：，
把代入得：，
解得：，
方程组的解为，
．
【考点2】幂的乘方积的乘方
【例2-1】计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算法则是解题的关键．先计算乘方，再计算乘法，然后合并同类项，即可求解．
【详解】原式，
【例2-2】．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算．
（1）按照同底数幂的乘法运算法则计算即可．
（2）先计算同底数幂的乘法以及积的乘方运算，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【例2-3】．（1）已知，求的值；
（2）已知，求n的值．
【答案】（1） （2）1
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用．
（1）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）根据同底数幂的乘法的法则进行整理，从而可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴
；
（2）∵，
∴，
则，
∴．
【例2-4】已知，试用含的式子表示．
【答案】
【分析】该题主要考查了积的乘方和幂的乘方逆运用，解题的关键是掌握积的乘方和幂的乘方运算法则．
将转化为，再代入计算即可；
【详解】解：∵，
∴．
针对训练2
1．计算：；
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算和合并同类项，先计算同底数幂乘法和幂的乘方，再合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
．
2．计算
【答案】
【分析】本题考查了幂的混合运算，先算幂的乘方，再进行幂的乘法运算，最后合并同类项即可，解题的关键是熟悉幂的运算法则．
【详解】解：，
，
，
3．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握逆用积的乘方和幂的乘方运算法则简便计算是解题的关键．
（1）先逆用幂的乘方运算法则，变形为，再逆用积的乘方法则计算，最后根据乘法法则计算即可；
（2）先逆用幂的乘方运算法则，变形为，再逆用积的乘方法则计算，最后根据乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【考点3】同底数幂的除法
【例3-1】．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，理清指数的变化是解题的关键．
先计算幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，即可得出答案．
【详解】解：
．
【例3-2】．．已知，求代数式的值．
【答案】6
【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，幂的乘方及其逆运算，根据幂的乘方及其逆运算法则得到，进而根据同底数幂除法计算法则得到，，则可求出，，再把所求式子变形为，再利用整体代入法计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴
．
针对训练3
1．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂乘法和除法，最后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：原式
．
2．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
．
3．已知，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法的逆运算，先根据幂的乘方计算法则得到，再根据代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【考点4】整式的乘法
【例4-1】．计算：
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据单项式乘以单项式进行计算，再计算多项式除以单项式即可求解．
【详解】解：
【例4-2】．已知：的展开式中不含项和项，求、的值．
【答案】，
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则，正确表示出项和项的系数是解题的关键．
首先利用多项式乘多项式计算的展开式，然后根据已知条件“展开式中不含项和项”得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可求得、的值．
【详解】解：
，
展开式中不含项和项，
，
解得：，
，．
【例4-3】．先化简，再求值：，其中．
【答案】，10
【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，原式利用多项式乘单项式，多项式乘多项式，以及多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．
【详解】


当， 时，原式．
针对训练4
1．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，先计算单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，再合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
．
2．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘以单项式，积的乘方，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先计算积的乘方，然后根据多项式乘以单项式运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
3．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)其中．
【答案】(1)
(2)， 2023
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质：
（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，接着合并同类项化简，最后根据非负数的性质求出a、b的值，进而代值计算即可得到答案；
（2）先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，接着根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴原式；
（2）解；
，
当时，原式．
4．如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．
(1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简；
(2)若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
【答案】(1)“T”型图形的面积为；
(2)5440元
【分析】本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键．
（1）根据图形可用割补法进行求解；
（2）把代入（1）中式子进行求解面积，然后再根据草坪的造价“T”型区域的面积单价，进而问题可解．
【详解】（1）解：由题意得：“T”型图形的面积为；
（2）解：当米时，此时米，
（平方米），
∴造价为（元）．
5 .某数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式如下：
．
（1）求所捂的多项式；
（2）求所捂的多项式与的商；
（3）当，时，求所捂的多项式的值．
【答案】（1）；（2）；（3）3
【分析】（1）根据题意列出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可；
（2）根据题意列出式子化简即可；
（3）把，代入（1）中的式子即可．
（1）解：；
所以所捂的多项式．
（2）；
（3）当，时，
原式
【点拨】本题考查的知识点是整式的加减、整式的乘除，解题关键是熟知整式的加减实质上就是合并同类项以及整式乘除的运算法则．
【考点5】平方差公式
【例5-1】．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把与的值代入计算即可求出结果．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【例5-2】．．乘法公式的探究与运用：
(1)如图①，边长为a的大长方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是________；（写成两数平方差的形式）
(2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是________，宽是________，面积是________；（写成多项式乘法的形式）
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：________；
(4)运用你得到的公式计算：；
(5)若，，则的值为________．
【答案】(1)
(2)，，
(3)
(4)99.91
(5)5
【分析】本题考查背景了平方差公式的几何背景及其在简算中和代数式求值中的应用．
（1）由图形可知长和宽的值，再根据正方形面积公式可得答案；
（2）由图形可知长方形的长和宽，根据长方形面积公式可得答案；
（3）由（1）（2）结论直接得答案；
（4）应用（3）的公式可简算，从而得答案；
（5）根据（3）中公式可得，再将代入可得答案．
【详解】（1）解：阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，
故答案为：；
（2）解：长方形的长是，宽是，面积长宽，
故答案为：，，；
（3）解：∵图①、图②阴影部分的面积相等
，
故答案为：；
（4）解：
；
（5）解：，
故答案为：5．
针对训练5
1．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算法则进行化简，再根据非负数的性质求出，，代入计算即可得解．
【详解】解：
，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴原式．
2．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式除以单项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
【考点6】完全平方公式
【例6-1】．计算：
【答案】
【分析】此题考查了整式乘法公式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式运算法则．
首先根据完全平方公式和平方差公式求解，然后合并同类项即可．
【详解】解：
．
【例6-2】．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足，且．
① 求的值；
② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)11
(2)；
(3)①2；②
【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键．
（1）根据计算即可；
（2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可；
（3）①根据得出，再结合即可求出；
②根据图象可得，化简后代入，即可求解；
【详解】（1）解：；
（2）解：；
若是完全平方式，则；
（3）解：①∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
②由题意可知：
，
将，代入可得，原式．
针对训练6
1．【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）；
【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：
①已知，，则的值为 ；
②计算：．
【拓展】（3）计算：．
【答案】（1）；（2）①4；②；（3）
【分析】本题考查平方差公式的应用．
（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；
②可将写成，再利用平方差公式求值；
（3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值．
【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式，
故答案为：；
（2）①由得，，
∵，，
∴；
故答案为：4；
②
；
（3）
．
2．如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．
(1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示）
(2)在图2中，m与n的等量关系为______；
(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键.
（1）根据面积公式计算即可；
（2）根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可；
（3）由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24”列出关系式即可．
【详解】（1）解：由长方形的面积公式可得：.
故答案为：；
（2）由图可知：.
故答案为：；
（3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为，
又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24
∴两个关于m，n的等式为：，．
【考点7】因式分解
【例7-1】．因式分解：．
【答案】．
【分析】本题主要考查了因式分解－分组分解法．根据分组分解法对所给多项式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
【例7-2】．分解因式：．
【答案】．
【分析】本题考查公式法分解因式．根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
．
【例7-3】．若为实数且满足，，求的最小值．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，非负数的性质，先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值，掌握分组分解法和整体代入法是解题的关键．
【详解】解：由题得，，
∴
，
，
，
∴，，
∴，当且仅当时取等号，
经检验当时满足，
的最小值为．
针对训练7
1．因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解；
（1）提取公因式，进行分解即可；
（2）原式先提取公因式2，再运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
2．已知数、、、满足，，求的值．
【答案】．
【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解．首先根据可得，又因为，可得，把分解因式可得：，把代入可得，利用多项式乘多项式的法则展开可得，再把和代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
3．下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务．若是多项式的一个因式，求的值．
解：是多项式的一个因式，
设（A为整式）．
当时，则有．
将代入，得．解得．
学习任务：
(1)若是多项式的一个因式，求出多项式中二次项的系数的值；
(2)若和是多项式的两个因式，求出多项式中三次项和一次项的系数，的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了因式分解的应用及解二元一次方程组：
（1）依据题意列出式子，令即可求解；
（2）依据题意列式，令或，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】（1）解：若是多项式的一个因式，
设（其中为整式），
令
即取，得；
解得；
（2）解：设（其中为整式），
令或，
当时，即时，得，
当时，即时，得，
即，
由解得，则．
4 .已知a、b是等腰的边且满足，则等腰的周长为 ．
【答案】或
【分析】根据完全平方公式可得，求出a和b的值，再分情况讨论求出的周长．
解：∵，
∴，
即，
∴，
解得，
当是等腰三角形的腰时，周长为；
当是等腰三角形的腰时，周长为，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了因式分解的应用和等腰三角形的性质，偶次方的非负性，熟练掌握这些知识是解题的关键．
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