人教版八年级数学上名师点拨与训练第14章整式的乘法与因式分解本章综合质量检测卷

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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
本章综合质量检测卷
考试范围：14章；考试时间：120分钟；满分120分
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．若n为正整数，且 则 的值 ( )
A．837 B．2891 C．3283 D．1225
4．小聪运用有理数的知识设计了一个计算程序，他给出了下面三个说法：
①若输入的值为，则最后输出的结果是231；
②若最后输出的结果是231，则整数共有三种取值；
③该计算程序能够输出的最小整数结果101．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则式子（ ）
小红的思路设，则，，，的最小值为．
A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值
6．小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．在学习完《整式乘法》后，数学兴趣小组探究了这样一个问题：如图，现有甲、乙两张正方形纸片．小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放，小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放．若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，按方式二摆放时阴影部分的面积为8，则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为（ ）
A． B． C．8 D．6
8．若规定，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
10．计算： ．
11．若表示，表示，则 ．
12．小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）原式为： ．
13．有11个女孩，个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘个桃子，则男孩有 个．
14．已知正方形内部摆放两个一样大小的长方形，长方形长为，宽为，按图1摆放的阴影面积为，按图2摆放的阴影面积为，按图3摆放的阴影面积为．若，，，则的值为 ．
15．设x，y满足，，则 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）在线上教学期间，张老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪分别将自己的计算过程上传给张老师，上传结果如下：
嘉嘉 琪琪
张老师经过批改，认为两名学生的作法都正确，并表扬琪琪同学的方法更简便．请根据上述材料计算下列各题．
(1)；
(2)．
17．（8分）计算：
(1)；
(2)
18．（8分）（1）先化简，再求值．
，其中．
（2）已知的展开式中不含项，常数项是6．
若，，求的值．
19．（9分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C． 两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接写出最后的结果______．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
20．（8分）已知，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，且x、y是整数，试说明的值能被8整除．
21．（9分）阅读理解：
若满足，求的值．
解：设，，
则，，
∴
(1)【类比探究】若满足．求的值；
(2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．）
(3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
22．（12分）综合与实践
【阅读材料】
将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．
解：因为，所以．
又因为，，所以．
【探究实践】
（1）若，，求的值；
【拓展应用】
（2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积．
23．（13分）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．
(1)【理解探究】
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到之间的等量关系式： ；
②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ；
(2)【类比应用】
根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值；
(3)【拓展升华】
如图4，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，，使，设，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，的面积等于，直接写出正方形和正方形的面积和．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第14章 整式的乘法与因式分解
本章综合质量检测卷
考试范围：14章；考试时间：120分钟；满分120分
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，合并同类项，根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和积的乘方计算法则和合并同类项的计算法则求解判断即可．
【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
2．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】该题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方等知识点，解题的关键是将、、化为同底数．
化简、、，在比较即可．
【详解】解：，，，
∵，
∴，
故选：A．
3．若n为正整数，且 则 的值 ( )
A．837 B．2891 C．3283 D．1225
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方计算，幂的乘方的逆运算，把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
，
故选：B．
4．小聪运用有理数的知识设计了一个计算程序，他给出了下面三个说法：
①若输入的值为，则最后输出的结果是231；
②若最后输出的结果是231，则整数共有三种取值；
③该计算程序能够输出的最小整数结果101．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，根据流程图代值计算，逐一进行判断即可得出结果．
【详解】解：若输入的值为，则：，
再次输入：，
再次输入：，输出；故①正确；
由上可知：当或或时，最后输出的结果都是231，
当时，，则当时，最后输出的结果也为231，故②错误；
当输出结果为时，则：，
∵不存在两个连续的整数之积为202，故③错误．
故选B
5．小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则式子（ ）
小红的思路设，则，，，的最小值为．
A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值
【答案】C
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据小红的思路，设，进行计算，即可求解．
【详解】解：若，设，
则，
∵，
∴，
的最小值为．
故选：C．
6．小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：，故①计算正确；
，故②计算错误；
，故③计算正确；
，故④计算错误；
，故⑤计算正确；
∴计算正确的有3个，
故选：D．
7．在学习完《整式乘法》后，数学兴趣小组探究了这样一个问题：如图，现有甲、乙两张正方形纸片．小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放，小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放．若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，按方式二摆放时阴影部分的面积为8，则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为（ ）
A． B． C．8 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式在几何中的应用是解题的关键．
设甲的边长为，乙的边长为，依题意得，方式一中、，即；方式二中、，即；根据，计算求解即可．
【详解】解：设甲的边长为，乙的边长为，
依题意得，方式一中、，即；
方式二中、，即；
∴，
故选：B．
8．若规定，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 根据新定义代入，然后按照整式的混合运算计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故选：C．
9．如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题考查整式运算的实际应用，设小正方形的边长为，易得，根据阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，得到，进而求出的值，根据正方形的边长相等，得到，进行求解即可．
【详解】解：设小正方形的边长为，
由题意，得：
则：，
∴ 阴影部分（四个直角三角形）的面积为：，
正方形面积的面积为，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∴；
故选C．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
10．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，直接根据同底数幂乘除法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
11．若表示，表示，则 ．
【答案】
【分析】本题考查单项式乘单项式的知识．根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果．
【详解】解：根据题意得：
．
故答案为：
12．小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）原式为： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特征，即可求解．
【详解】解：∵，
故前后两项可以分别为和，
即．
故答案为：（答案不唯一）．
13．有11个女孩，个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘个桃子，则男孩有 个．
【答案】19或4
【分析】本题主要考查因式分解的应用．根据题意，先写出的形式，再根据30能被整除，即可得出答案．
【详解】解：，能被整除，
能被整除，
或，
或，
答：有19个或4个男孩．
故答案为：19或4．
14．已知正方形内部摆放两个一样大小的长方形，长方形长为，宽为，按图1摆放的阴影面积为，按图2摆放的阴影面积为，按图3摆放的阴影面积为．若，，，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了完全平方公式，整式加减的应用，数形结合是解答本题的关键． 设正方形的边长为m，用含m，a，b的代数式表示出，，，根据得，根据得，得，进而可求出的值．
【详解】解：设正方形的边长为m，
由图1得：，
由图2得：，
由图3得：，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
，得
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
15．设x，y满足，，则 ．
【答案】
【分析】将，两式相加，再利用立方和公式，求解即可．
【详解】解：将，两式相加，可得
，
即，
即，
∵恒成立，
∴，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了立方和公式的应用．解答该题时需要熟记立方和公式．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）在线上教学期间，张老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪分别将自己的计算过程上传给张老师，上传结果如下：
嘉嘉 琪琪
张老师经过批改，认为两名学生的作法都正确，并表扬琪琪同学的方法更简便．请根据上述材料计算下列各题．
(1)；
(2)．
【答案】(1)8099
(2)
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可．
（2）根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
…
．
【点睛】本题考查运用平方差公式进行运算，熟练掌握该知识点是解题关键．
17．（8分）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则．
（1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解；
（2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解；
【详解】（1）解：
；
（2）
18．（8分）（1）先化简，再求值．
，其中．
（2）已知的展开式中不含项，常数项是6．
若，，求的值．
【答案】（1），4；（2）3
【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先直接利用多项式乘多项式计算，再合并同类项，然后求出，代入即可解答；
（2）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值；再计算得，然后将m与n的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：（1）
，
因为
，
所以，原式．
（2）
，
由于展开式中不含项，常数项是，
则且，
解得：，；
，
，，
原式
19．（9分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C． 两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接写出最后的结果______．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)否；
(3)
【分析】本题考查了利用换元法和完全平方公式进行因式分解；
（1）根据两数和的完全平方公式即可得；
（2）根据两数差的完全平方公式即可得．
（3）仿照例题，进行因式分解，即可求解．
【详解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）否，最后结果求解如下：
原式，
，
，
故答案为：否，．
（3）解：设
原式
．
20．（8分）已知，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，且x、y是整数，试说明的值能被8整除．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了整式的加减以及幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟知相关知识并根据题意灵活变形是解题关键．
（1）先计算得到，再把代入即可求解；
（2）先根据得到， 再计算得到变形为，即可证明的值能被8整除．
【详解】（1）解：
，
当时，；
（2）解：，
，
，
，
．
当时，且x、y是整数，的值能被8整除．
21．（9分）阅读理解：
若满足，求的值．
解：设，，
则，，
∴
(1)【类比探究】若满足．求的值；
(2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．）
(3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
【答案】(1)；
(2)；
(3)阴影部分的面积和为平方单位．
【分析】（）根据题目提供的方法，进行计算即可；
（）设，，则，，然后利用进行计算即可；
（）由题意得，，，则阴影部分的面积和为，由长方形的面积为平方单位得，设，，根据即可求解；
本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，熟练掌握，，与间的关系．
【详解】（1）设，，
则，，
所以，
，
，
；
（2）设，，
则，，
所以，
，
，
，
故答案为：；
（3）由题意得，，，
∴阴影部分的面积和为，
∵长方形的面积为，
∴，
∴，
设，，
则，，
∴
，
，
；
∴阴影部分的面积和为平方单位．
22．（12分）综合与实践
【阅读材料】
将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．
解：因为，所以．
又因为，，所以．
【探究实践】
（1）若，，求的值；
【拓展应用】
（2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积．
【答案】（1）（2）40
【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，完全平方公式及平方差公式，根据题意表示出阴影部分的面积是解题的关键．
（1）利用完全平方公式变形求解即可；
（2）根据题意可得，，再求得，最后根据进行求解即可．
【详解】（1）因为，
所以，
因为，，
所以，
．
（2）设正方形、正方形的边长分别为a，b．
由题意得：，，
所以，
即，
得，
因为，又因为，
所以，
23．（13分）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．
(1)【理解探究】
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到之间的等量关系式： ；
②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ；
(2)【类比应用】
根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值；
(3)【拓展升华】
如图4，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，，使，设，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，的面积等于，直接写出正方形和正方形的面积和．
【答案】(1)①②
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，完全平方公式变形求值；
（1）①利用等面积法求得结论即可；②利用等面积法求得结论即可；
（2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可；
（3）设，根据题意得，再结合，令，得出，整体思想求出结果即可．
【详解】（1）解：①根据图2可得
②根据图3可得阴影部分的面积为或
∴．
（2）解：∵，，
∴
∴，
；
（3）解：设，则，
，
，
∵，
，
令，
，
正方形和正方形的面积和：
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