浙江省绍兴市柯桥区2024届高三上学期期末教学质量调测数学试题
1．（2024高三上·绍兴期末）已知集合或，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·绍兴期末） 若（，为虚数单位），则（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2024高三上·绍兴期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·绍兴期末）已知平面向量，，若，则（ ）
A．或 B．或 C．或3 D．或3
5．（2024高三上·绍兴期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·绍兴期末）直线交曲线于点A，B，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·绍兴期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·绍兴期末）若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高三上·绍兴期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或 B．
C． D．
10．（2024高三上·绍兴期末）已知直线m，n为异面直线，平面，平面，则下列线面关系可能成立的是（ ）
A． B．平面
C．平面平面 D．平面平面
11．（2024高三上·绍兴期末）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列为等比数列
B．
C．当且仅当时，取得最大值
D．
12．（2024高三上·绍兴期末）双曲线：上一动点，，为双曲线的左、右焦点，点为的内切圆圆心，连接交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点在的内切圆上
B．
C．
D．当时，
13．（2024高三上·绍兴期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含的项的系数为 .
14．（2024高三上·绍兴期末）已知函数在上存在极值点，则正整数的值是
15．（2024高三上·绍兴期末）卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是 .
16．（2024高三上·绍兴期末）已知为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，过点的直线交C于A、B两点，直线、分别交C于M、N，则的最小值为
17．（2024高三上·绍兴期末）已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，求的周长的取值范围.
18．（2024高三上·绍兴期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
19．（2024高三上·绍兴期末）临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.
（1）应从A，B，C三种水果各抽多少箱
（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；
②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率.
20．（2024高三上·绍兴期末）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，.
（1）求证：；
（2）若平面平面，在线段（包含端点）上是否存在一点E，使得平面平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
21．（2024高三上·绍兴期末）已知椭圆：与圆交于M，N两点，直线过该圆圆心，且斜率为，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于D、E两点，记直线，的斜率分别为，.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求的值.
22．（2024高三上·绍兴期末）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若方程有两个解，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得，解得，则，
由或，得，
所以.
故选：C
【分析】本题考查集合的补集和交集运算.先解指数不等式可求出集合B，再利用补集的定义可求出，最后利用集合交集的定义可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，又因为，
所以，，则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数相等的判断方法，进而得出a的值，再结合复数的模求解方法，进而得出的值.
3．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，
，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上为增函数，
由复合函数单调性可得的单调递减区间为.
故选：C.
【分析】 本题考查复合函数的单调性.根据对数的真数大于0可得：，解不等式可求出函数的定义域，再利用二次函数的性质可得：在上单调递减，在上单调递增，最后利用复合函数单调性可求出函数的单调递减区间.
4．【答案】A
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，且，
，即，
，即，
或.
故选：A.
【分析】本题考查平面向量垂直的坐标转化，同角三角函数的基本关系.先利用平面向量垂直的坐标转化可列出方程，化简方程可得：，再将式子分母看作1，再进行进行弦化切可列出方程，解方程可求出的值.
5．【答案】D
【知识点】必要条件；函数零点存在定理
【解析】【解答】函数在上单调递增，由函数在内有零点，
得，解得，即命题成立的充要条件是，
显然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，
所以命题成立的一个必要不充分条件是.
故选：D
【分析】 本题考查零点的定义，充分必要条件的定义.根据题意可得函数在上单调递增，再结合函数在内有零点，利用零点存在性定理可列出不等式组，解不等式组可求出实数a的取值范围，再利用集合子集的定义进行判断可得：成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，据此可选出答案.
6．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】即，
则直线恒过定点，
且曲线的圆心为，
将点代入圆方程得，所以点在圆内.
设圆心到直线的距离为，
则，
因为圆心到直线距离的最大值为直线所过定点与圆心的距离，
即，
.
故选：B.
【分析】 本题考查直线与圆的位置关系.先将直线方程变形为，进而可推出直线恒过定点，将圆化为标准方程可得：曲线的圆心为，利用点与圆的位置关系可判断出点在圆内，利用圆的弦长公式计算可得：，再利用二次函数的性质可求出的最小值.
7．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，
于是
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：B
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.等式，变形可得：，式子利用平方差公式变形可得：原式，再“1”的代换法，先乘以1，再将1进行替换可得：原式，再利用基本不等式进行计算可求出最小值.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】，
，
设，则，
设，则在上恒成立，
在上单调递增，且，
当时，在单调递增，
，即，
当时，则，不妨取，即，
当时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
，即，而有在上恒成立，
，即，
综上可得.
故选：C.
【分析】本题考查恒成立问题. 先将不等式进行移项可得：，设，求出导函数可得：，再设，求出导函数可得：，据此可推出在上单调递增，且，分两种情况：和，讨论函数的单调性，进而可求出函数的最小值，根据最小值可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
9．【答案】A,C,D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】当时，；
当时，或，故A正确；
当时，，
若，则解集为空集；
若，则不等式的解为：，故D正确；
若，则不等式的解为：，故C正确.
故选：ACD
【分析】本题考查医院将二次不等式的解法.根据不等式的特征，需要分三种情况：，，，依次 求出对应方程的根，再根据a的范围：，，，依次与的大小关系，利用一元二次不等式的解法可求出不等式的解集.
10．【答案】A,D
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】AD，当平面平面，且时，两直线可以为异面直线，AD正确；
C，若平面平面，则，则共面，这与直线m，n为异面直线矛盾，C错误；
B，当平面时，则平面平面，此时与C错误一致，B错误.
故选：AD
【分析】本题考查直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的性质，平面与平面平行的性质.当平面平面，利用平面与平面垂直的性质可得：时，两直线可以为异面直线，据此可判断A选项和D选项；若平面平面，利用直线与平面垂直的性质可得：，据此可推出共面，据此可判断C选项；当平面时，利用平面与平面平行的性质可得：平面平面，进而利用直线与平面垂直的性质可得：，据此可推出共面，据此可判断D选项.
11．【答案】A,B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示
【解析】【解答】等差数列中，，解得，，解得，
于是等差数列的公差，，
前项和，
A，显然，，因此数列是等比数列，A正确；
B，，B正确；
C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数，
因此当或时，取得最大值，C错误；
D，，显然数列是等差数列，
因此，D错误.
故选：AB
【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.根据题意利用等差数列的性质可求出，，利用等差数列的通项公式可求出公差d，进而可求出，利用等差数列的前n项和公式可求出.根据等比数列的定义，作商可得：，据此可判断A选项；利用进行计算可求出，据此可判断B选项；利用通项公式进行分析可得：等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数，据此可求出取得最大值的条件，据此可判断C选项；通过计算可得：，进而可推出数列是等差数列，利用等差数的求和公式可求出式子的和，据此可判断D选项.
12．【答案】A,B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】
A，当点位于双曲线右支时，
设的内切圆与分别切于点，，，
根据圆的切线性质，有，
再根据双曲线的定义，有，
，
得到，设，则有，
解得，即，
所以当时，点在的内切圆上，A正确；
B，以下证明双曲线焦半径公式，设点为双曲线上一点，
若点在双曲线左侧，此时左准线方程为，
则，则，根据可得，
若点在双曲线右侧，此时右准线方程为，
则，则，根据可得，
对于本题来说，当点在双曲线右支上时，由于为的角平分线，
因此，
结合，得到，同理当点在双曲线左支上时，
由于为的角平分线，
因此，解得，B正确；
C，当点位于双曲线右支上时，由于为的内心，轴，
根据A选项的结论可知的横坐标为，设，
根据三角形的面积公式，有，
即得到，C错误；
D，当时，点在双曲线的左支上，同A选项方法可得，
同C选项方法（或根据双曲线对称性可得）可得，
显然，，则，D错误.
故选：AB.
【分析】本题考查三角形内切圆性质，双曲线定义，双曲线的简单几何性质.利用圆的切线的性质可得：，再结合双曲线的定义可得：
，据此可得， 设， 进而可求出点K的坐标，进而可得点在的内切圆上，可判断A选项；利用双曲线焦点弦结论可得：，，再利用角平分线性质可得：，再通过化简可得：，据此可判断B选项；利用三角形的面积计算公式，再结合双曲线焦点弦公式可得：，通过计算可求出r，据此可判断C选项； 当时，点在双曲线的左支上，利用A选项方法可推出，利用三角形的面积计算公式和双曲线对称性可推出，再根据，， ，据此可得y不等于0，据此可判断D选项.
13．【答案】270
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】由展开式的二项式系数之和为，解得，
所以展开式的通项公式为，
令，解得，
所以含项的系数为.
故答案为：270.
【分析】本题考查二项式的系数的性质，二项式展开式的通项.根据展开式的二项式系数之和为，据此可列出方程，解方程可求出，再利用二项式展开式的通项公式可得：，令可求出r的值，进而可求出项的系数.
14．【答案】5
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】，
时，或，
因为函数定义域为，在左端点处无法取到极值，
，而，所以，，经检验满足题意，
故答案为：5.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数，再令，可求出或，再根据函数定义域为，所以在左端点处无法取到极值，进而可求出的值.
15．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】如图，
因为，所以球心在的延长线上，
因为正四棱锥的底面边长为，高为，所以，
设，，
则，解得，所以半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
【分析】本题考查球的内接几何体问题.先作出图形，据此可得球心在的延长线上，利用四棱锥的性质可求出，设，，利用勾股定理可列出关于的方程，解方程可求出x的值，进而可求出圆的半径，再利用球的表面积公式进行计算可求出答案.
16．【答案】9
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
设，直线：，则，得，
所以，则，
由过焦点，设直线：，则，得，
所以，则，同理可得，
所以，，
则，
当且仅当时取等号.
故答案为：.
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.设及直线：，将直线AB的方程与抛物线方程进行联立，消x可得：，利用根与系数的关系，可求出点B的坐标为：，再根据过焦点，设直线：，将直线AM的方程与抛物线方程进行联立，消x可得：，利用根与系数的关系可求出点M和N的坐标，利用焦半径公式可求出，再利用基本不等式进行计算可求出的最小值.
17．【答案】（1）由已知得，，
则根据正弦定理得，
，
为锐角三角形，．
（2）由正弦定理得，即，
则，
，
因为，解得，得，
所以，得．
【知识点】正弦定理；余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）先利用正弦定理进行边化角和利用诱导公式进行化简可得：，再进行化简可得：，再根据题意，据此可求出角A；
（2）先利用正弦定理化简可得：，据此可得：，再利用两角和的正弦公式，辅助角公式化简可得：，再利用正弦函数的性质可求出的周长的取值范围.
（1）由已知得，，
则根据正弦定理得，
，
为锐角三角形，．
（2）由正弦定理得，即，
则，
，
因为，解得，得，
所以，得．
18．【答案】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】本题考查等差数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，数列的通项与前n项和公式的关系.（1）利用等差数列的定义可求出的通项公式，进而可求出，再求出，两式相减，再利用与的关系，可求出；
（2）由的通项公式，可推出，据此问题需要分两种情况：和，再利用等差数列前n项和公式可求出. .
（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
19．【答案】（1）由题意知：，
所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.
（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：，，
，，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以随机变量X的期望为；
②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，
所以.
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】本题考查分层抽样，离散型随机变量的分布列和期望.（1）根据分层抽样的定义，依次求出 A，B，C三种水果 所占的比例，再利用比例依次乘以9，据此可求出应从A，B，C三种水果 的箱数；
（2）①根据题意可得：X的可能取值为0，1，2，3，4，利用超几何的计算公式分别求出变量对应的概率，据此可列出分布列，再利用数学期望计算公式进行计算可求出期望；
②先利用对立事件的定义可得：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，据此可列出式子：，再代入数据进行计算可求出答案.
（1）由题意知：，
所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.
（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：
，，
，，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以随机变量X的期望为；
②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，
所以.
20．【答案】（1）取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，所以，
由，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）得，因为平面平面且交线为，且平面，所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，
设，则，
设平面的法向量为，，则，
令，则，则
设平面的法向量为
则，令，所以，
若平面平面，则，求得，
此时，所以．即此时.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求二面角.（1）取的中点，连接，利用等边三角形的性质可得：，再根据，利用等腰三角形的性质可得：，利用直线与平面垂直的判定可证明平面，再利用直线与平面垂直的性质可证明结论.
（2）根据，利用直线与平面垂直的性质可证明平面，以点为原点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出，据此可求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可列出方程，解方程可求出的值，据此可求出，进而可求出.
（1）取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，所以，
由，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）得，因为平面平面且交线为，且平面，所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，
设，则，
设平面的法向量为，，则，
令，则，则
设平面的法向量为
则，令，所以，
若平面平面，则，求得，
此时，所以．即此时.
21．【答案】（1）由已知得，中点为，设，
则，，，
作差得，即，
由得，，得.
（2）由（1）及题设得椭圆的方程为：，则，
则其右焦点，，，
设，直线的方程为，
，，
过作轴的垂线交分别于点，，则直线，
令，则，得
同理直线，得
得，
所以
由（※）知，，得．
.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.（1）设，将点M和点N的坐标代入椭圆方程，两式相减，利用点差法弦中点坐标可得：，再结合直线MN的斜率为：-1，进而可得：，再利用椭圆的离心率公式进行计算可求出离心率；
（2）设直线的方程为，将直线DE的方程与椭圆方程进行联立，消y可得：，利用韦达定理可得：过作轴的垂线交分别于点，利用直线方程可求出G和H的坐标，进而可求出，据此可证明出，最后再利用直线的斜率的定义计算可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
（1）由已知得，中点为，设，
则，，，
作差得，即，
由得，，得.
（2）由（1）及题设得椭圆的方程为：，则，
则其右焦点，，，
设，直线的方程为，
，，
过作轴的垂线交分别于点，，则直线，
令，则，得
同理直线，得
得，
所以
由（※）知，，得．
.
22．【答案】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知，函数在，上的取值集合均为，
当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，
其中一个解小于1，一个解大于1，不妨设，要证，
即证，而，只证，又，即证，
而，
即证：，亦即，
设，求导得，
设，求导得，函数在上单调递增，
即，而，于是，
因此，函数在上单调递增，有，
令，求导得，
则函数在上单调递减，于是，即，
从而，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数与方程的综合应用.（1）先求出函数的定义域，再求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间.
（2）由（1）为程的两个解与1的大小关系为：一个解小于1，一个解大于1，不妨设，要证，进而可转化为：证明成立，设，求出导函数可得，设，求导得，据此可推出函数的单调性和最值，据此推出函数的单调性，求出最值，进而可得，再推出，据此可证明结论.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知，函数在，上的取值集合均为，
当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，
其中一个解小于1，一个解大于1，不妨设，要证，
即证，而，只证，又，即证，
而，
即证：，亦即，
设，求导得，
设，求导得，函数在上单调递增，
即，而，于是，
因此，函数在上单调递增，有，
令，求导得，
则函数在上单调递减，于是，即，
从而，
所以.
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区2024届高三上学期期末教学质量调测数学试题
1．（2024高三上·绍兴期末）已知集合或，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得，解得，则，
由或，得，
所以.
故选：C
【分析】本题考查集合的补集和交集运算.先解指数不等式可求出集合B，再利用补集的定义可求出，最后利用集合交集的定义可求出答案.
2．（2024高三上·绍兴期末） 若（，为虚数单位），则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，又因为，
所以，，则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数相等的判断方法，进而得出a的值，再结合复数的模求解方法，进而得出的值.
3．（2024高三上·绍兴期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，
，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上为增函数，
由复合函数单调性可得的单调递减区间为.
故选：C.
【分析】 本题考查复合函数的单调性.根据对数的真数大于0可得：，解不等式可求出函数的定义域，再利用二次函数的性质可得：在上单调递减，在上单调递增，最后利用复合函数单调性可求出函数的单调递减区间.
4．（2024高三上·绍兴期末）已知平面向量，，若，则（ ）
A．或 B．或 C．或3 D．或3
【答案】A
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，且，
，即，
，即，
或.
故选：A.
【分析】本题考查平面向量垂直的坐标转化，同角三角函数的基本关系.先利用平面向量垂直的坐标转化可列出方程，化简方程可得：，再将式子分母看作1，再进行进行弦化切可列出方程，解方程可求出的值.
5．（2024高三上·绍兴期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件；函数零点存在定理
【解析】【解答】函数在上单调递增，由函数在内有零点，
得，解得，即命题成立的充要条件是，
显然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，
所以命题成立的一个必要不充分条件是.
故选：D
【分析】 本题考查零点的定义，充分必要条件的定义.根据题意可得函数在上单调递增，再结合函数在内有零点，利用零点存在性定理可列出不等式组，解不等式组可求出实数a的取值范围，再利用集合子集的定义进行判断可得：成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，据此可选出答案.
6．（2024高三上·绍兴期末）直线交曲线于点A，B，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】即，
则直线恒过定点，
且曲线的圆心为，
将点代入圆方程得，所以点在圆内.
设圆心到直线的距离为，
则，
因为圆心到直线距离的最大值为直线所过定点与圆心的距离，
即，
.
故选：B.
【分析】 本题考查直线与圆的位置关系.先将直线方程变形为，进而可推出直线恒过定点，将圆化为标准方程可得：曲线的圆心为，利用点与圆的位置关系可判断出点在圆内，利用圆的弦长公式计算可得：，再利用二次函数的性质可求出的最小值.
7．（2024高三上·绍兴期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，
于是
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：B
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.等式，变形可得：，式子利用平方差公式变形可得：原式，再“1”的代换法，先乘以1，再将1进行替换可得：原式，再利用基本不等式进行计算可求出最小值.
8．（2024高三上·绍兴期末）若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】，
，
设，则，
设，则在上恒成立，
在上单调递增，且，
当时，在单调递增，
，即，
当时，则，不妨取，即，
当时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
，即，而有在上恒成立，
，即，
综上可得.
故选：C.
【分析】本题考查恒成立问题. 先将不等式进行移项可得：，设，求出导函数可得：，再设，求出导函数可得：，据此可推出在上单调递增，且，分两种情况：和，讨论函数的单调性，进而可求出函数的最小值，根据最小值可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
9．（2024高三上·绍兴期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】当时，；
当时，或，故A正确；
当时，，
若，则解集为空集；
若，则不等式的解为：，故D正确；
若，则不等式的解为：，故C正确.
故选：ACD
【分析】本题考查医院将二次不等式的解法.根据不等式的特征，需要分三种情况：，，，依次 求出对应方程的根，再根据a的范围：，，，依次与的大小关系，利用一元二次不等式的解法可求出不等式的解集.
10．（2024高三上·绍兴期末）已知直线m，n为异面直线，平面，平面，则下列线面关系可能成立的是（ ）
A． B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A,D
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】AD，当平面平面，且时，两直线可以为异面直线，AD正确；
C，若平面平面，则，则共面，这与直线m，n为异面直线矛盾，C错误；
B，当平面时，则平面平面，此时与C错误一致，B错误.
故选：AD
【分析】本题考查直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的性质，平面与平面平行的性质.当平面平面，利用平面与平面垂直的性质可得：时，两直线可以为异面直线，据此可判断A选项和D选项；若平面平面，利用直线与平面垂直的性质可得：，据此可推出共面，据此可判断C选项；当平面时，利用平面与平面平行的性质可得：平面平面，进而利用直线与平面垂直的性质可得：，据此可推出共面，据此可判断D选项.
11．（2024高三上·绍兴期末）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列为等比数列
B．
C．当且仅当时，取得最大值
D．
【答案】A,B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示
【解析】【解答】等差数列中，，解得，，解得，
于是等差数列的公差，，
前项和，
A，显然，，因此数列是等比数列，A正确；
B，，B正确；
C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数，
因此当或时，取得最大值，C错误；
D，，显然数列是等差数列，
因此，D错误.
故选：AB
【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.根据题意利用等差数列的性质可求出，，利用等差数列的通项公式可求出公差d，进而可求出，利用等差数列的前n项和公式可求出.根据等比数列的定义，作商可得：，据此可判断A选项；利用进行计算可求出，据此可判断B选项；利用通项公式进行分析可得：等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数，据此可求出取得最大值的条件，据此可判断C选项；通过计算可得：，进而可推出数列是等差数列，利用等差数的求和公式可求出式子的和，据此可判断D选项.
12．（2024高三上·绍兴期末）双曲线：上一动点，，为双曲线的左、右焦点，点为的内切圆圆心，连接交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点在的内切圆上
B．
C．
D．当时，
【答案】A,B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】
A，当点位于双曲线右支时，
设的内切圆与分别切于点，，，
根据圆的切线性质，有，
再根据双曲线的定义，有，
，
得到，设，则有，
解得，即，
所以当时，点在的内切圆上，A正确；
B，以下证明双曲线焦半径公式，设点为双曲线上一点，
若点在双曲线左侧，此时左准线方程为，
则，则，根据可得，
若点在双曲线右侧，此时右准线方程为，
则，则，根据可得，
对于本题来说，当点在双曲线右支上时，由于为的角平分线，
因此，
结合，得到，同理当点在双曲线左支上时，
由于为的角平分线，
因此，解得，B正确；
C，当点位于双曲线右支上时，由于为的内心，轴，
根据A选项的结论可知的横坐标为，设，
根据三角形的面积公式，有，
即得到，C错误；
D，当时，点在双曲线的左支上，同A选项方法可得，
同C选项方法（或根据双曲线对称性可得）可得，
显然，，则，D错误.
故选：AB.
【分析】本题考查三角形内切圆性质，双曲线定义，双曲线的简单几何性质.利用圆的切线的性质可得：，再结合双曲线的定义可得：
，据此可得， 设， 进而可求出点K的坐标，进而可得点在的内切圆上，可判断A选项；利用双曲线焦点弦结论可得：，，再利用角平分线性质可得：，再通过化简可得：，据此可判断B选项；利用三角形的面积计算公式，再结合双曲线焦点弦公式可得：，通过计算可求出r，据此可判断C选项； 当时，点在双曲线的左支上，利用A选项方法可推出，利用三角形的面积计算公式和双曲线对称性可推出，再根据，， ，据此可得y不等于0，据此可判断D选项.
13．（2024高三上·绍兴期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含的项的系数为 .
【答案】270
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】由展开式的二项式系数之和为，解得，
所以展开式的通项公式为，
令，解得，
所以含项的系数为.
故答案为：270.
【分析】本题考查二项式的系数的性质，二项式展开式的通项.根据展开式的二项式系数之和为，据此可列出方程，解方程可求出，再利用二项式展开式的通项公式可得：，令可求出r的值，进而可求出项的系数.
14．（2024高三上·绍兴期末）已知函数在上存在极值点，则正整数的值是
【答案】5
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】，
时，或，
因为函数定义域为，在左端点处无法取到极值，
，而，所以，，经检验满足题意，
故答案为：5.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数，再令，可求出或，再根据函数定义域为，所以在左端点处无法取到极值，进而可求出的值.
15．（2024高三上·绍兴期末）卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是 .
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】如图，
因为，所以球心在的延长线上，
因为正四棱锥的底面边长为，高为，所以，
设，，
则，解得，所以半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
【分析】本题考查球的内接几何体问题.先作出图形，据此可得球心在的延长线上，利用四棱锥的性质可求出，设，，利用勾股定理可列出关于的方程，解方程可求出x的值，进而可求出圆的半径，再利用球的表面积公式进行计算可求出答案.
16．（2024高三上·绍兴期末）已知为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，过点的直线交C于A、B两点，直线、分别交C于M、N，则的最小值为
【答案】9
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】
设，直线：，则，得，
所以，则，
由过焦点，设直线：，则，得，
所以，则，同理可得，
所以，，
则，
当且仅当时取等号.
故答案为：.
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.设及直线：，将直线AB的方程与抛物线方程进行联立，消x可得：，利用根与系数的关系，可求出点B的坐标为：，再根据过焦点，设直线：，将直线AM的方程与抛物线方程进行联立，消x可得：，利用根与系数的关系可求出点M和N的坐标，利用焦半径公式可求出，再利用基本不等式进行计算可求出的最小值.
17．（2024高三上·绍兴期末）已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，求的周长的取值范围.
【答案】（1）由已知得，，
则根据正弦定理得，
，
为锐角三角形，．
（2）由正弦定理得，即，
则，
，
因为，解得，得，
所以，得．
【知识点】正弦定理；余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）先利用正弦定理进行边化角和利用诱导公式进行化简可得：，再进行化简可得：，再根据题意，据此可求出角A；
（2）先利用正弦定理化简可得：，据此可得：，再利用两角和的正弦公式，辅助角公式化简可得：，再利用正弦函数的性质可求出的周长的取值范围.
（1）由已知得，，
则根据正弦定理得，
，
为锐角三角形，．
（2）由正弦定理得，即，
则，
，
因为，解得，得，
所以，得．
18．（2024高三上·绍兴期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
【答案】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】本题考查等差数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，数列的通项与前n项和公式的关系.（1）利用等差数列的定义可求出的通项公式，进而可求出，再求出，两式相减，再利用与的关系，可求出；
（2）由的通项公式，可推出，据此问题需要分两种情况：和，再利用等差数列前n项和公式可求出. .
（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
19．（2024高三上·绍兴期末）临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.
（1）应从A，B，C三种水果各抽多少箱
（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；
②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率.
【答案】（1）由题意知：，
所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.
（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：，，
，，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以随机变量X的期望为；
②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，
所以.
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】本题考查分层抽样，离散型随机变量的分布列和期望.（1）根据分层抽样的定义，依次求出 A，B，C三种水果 所占的比例，再利用比例依次乘以9，据此可求出应从A，B，C三种水果 的箱数；
（2）①根据题意可得：X的可能取值为0，1，2，3，4，利用超几何的计算公式分别求出变量对应的概率，据此可列出分布列，再利用数学期望计算公式进行计算可求出期望；
②先利用对立事件的定义可得：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，据此可列出式子：，再代入数据进行计算可求出答案.
（1）由题意知：，
所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.
（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：
，，
，，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以随机变量X的期望为；
②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，
所以.
20．（2024高三上·绍兴期末）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，.
（1）求证：；
（2）若平面平面，在线段（包含端点）上是否存在一点E，使得平面平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，所以，
由，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）得，因为平面平面且交线为，且平面，所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，
设，则，
设平面的法向量为，，则，
令，则，则
设平面的法向量为
则，令，所以，
若平面平面，则，求得，
此时，所以．即此时.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求二面角.（1）取的中点，连接，利用等边三角形的性质可得：，再根据，利用等腰三角形的性质可得：，利用直线与平面垂直的判定可证明平面，再利用直线与平面垂直的性质可证明结论.
（2）根据，利用直线与平面垂直的性质可证明平面，以点为原点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出，据此可求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可列出方程，解方程可求出的值，据此可求出，进而可求出.
（1）取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，所以，
由，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）得，因为平面平面且交线为，且平面，所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，
设，则，
设平面的法向量为，，则，
令，则，则
设平面的法向量为
则，令，所以，
若平面平面，则，求得，
此时，所以．即此时.
21．（2024高三上·绍兴期末）已知椭圆：与圆交于M，N两点，直线过该圆圆心，且斜率为，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于D、E两点，记直线，的斜率分别为，.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求的值.
【答案】（1）由已知得，中点为，设，
则，，，
作差得，即，
由得，，得.
（2）由（1）及题设得椭圆的方程为：，则，
则其右焦点，，，
设，直线的方程为，
，，
过作轴的垂线交分别于点，，则直线，
令，则，得
同理直线，得
得，
所以
由（※）知，，得．
.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.（1）设，将点M和点N的坐标代入椭圆方程，两式相减，利用点差法弦中点坐标可得：，再结合直线MN的斜率为：-1，进而可得：，再利用椭圆的离心率公式进行计算可求出离心率；
（2）设直线的方程为，将直线DE的方程与椭圆方程进行联立，消y可得：，利用韦达定理可得：过作轴的垂线交分别于点，利用直线方程可求出G和H的坐标，进而可求出，据此可证明出，最后再利用直线的斜率的定义计算可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
（1）由已知得，中点为，设，
则，，，
作差得，即，
由得，，得.
（2）由（1）及题设得椭圆的方程为：，则，
则其右焦点，，，
设，直线的方程为，
，，
过作轴的垂线交分别于点，，则直线，
令，则，得
同理直线，得
得，
所以
由（※）知，，得．
.
22．（2024高三上·绍兴期末）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若方程有两个解，求证：.
【答案】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知，函数在，上的取值集合均为，
当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，
其中一个解小于1，一个解大于1，不妨设，要证，
即证，而，只证，又，即证，
而，
即证：，亦即，
设，求导得，
设，求导得，函数在上单调递增，
即，而，于是，
因此，函数在上单调递增，有，
令，求导得，
则函数在上单调递减，于是，即，
从而，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数与方程的综合应用.（1）先求出函数的定义域，再求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间.
（2）由（1）为程的两个解与1的大小关系为：一个解小于1，一个解大于1，不妨设，要证，进而可转化为：证明成立，设，求出导函数可得，设，求导得，据此可推出函数的单调性和最值，据此推出函数的单调性，求出最值，进而可得，再推出，据此可证明结论.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知，函数在，上的取值集合均为，
当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，
其中一个解小于1，一个解大于1，不妨设，要证，
即证，而，只证，又，即证，
而，
即证：，亦即，
设，求导得，
设，求导得，函数在上单调递增，
即，而，于是，
因此，函数在上单调递增，有，
令，求导得，
则函数在上单调递减，于是，即，
从而，
所以.
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