河南省信阳市信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二上学期期中考试 数学（含答案）

河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025学年高二上期期中测试
数学试题
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 已知直线经过点，且方向向量，则方程为（）
A. B.
C. D.
2. 已知，且，则的值为（　　）
A. 5 B. C. 3 D. 4
3. “”是“直线与直线平行”的（）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（）
A. B.
C. D.
5. 空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（）
A. B.
C. D.
6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7. 已知椭圆两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（　　）
A. B. C. 6 D. 12
8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（）
A. B. C. 2 D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（）
A. 与垂直 B. 与共线
C. 与所成角为锐角 D. ，，，可作为空间向量的一组基底
10. 下列说法正确的是（）
A. 直线的倾斜角为
B. 若直线经过第三象限，则，
C. 点在直线上
D. 存在使得直线与直线垂直
11. 如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（）
A. 异面直线与夹角的正弦值为
B. 二面角的平面角的正切值为
C. 四棱锥的外接球体积为
D. 三棱锥与三棱锥体积相等
12. 在平面直角坐标系中，已知圆动弦，圆，则下列选项正确的是（）
A. 当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为
B. 的面积最大值为1
C. 若原点始终在动弦上，则不是定值
D. 若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 两条平行直线与之间的距离是_______．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为______.
15. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______．
16. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______
四．解答题（共6小题，满分70分）
17. 已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，．
（1）求边上的高所在直线方程；
（2）求点到直线的距离．
18. 已知圆C的方程为：．
（1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值；
（2）过点作圆C的切线，求切线方程．
19. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.
（1）求方程；
（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.
20. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
21. 设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，过点作两条直线，分别与抛物线交于异于的，两点，若直线，的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线的斜率为定值.
22. 已知四棱柱中，底面为梯形，平面，其中.是的中点，是的中点．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025学年高二上期期中测试
数学试题
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1.
【答案】B
2.
【答案】D
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9.
【答案】BC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】ACD
12.
【答案】ABD
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.
【答案】##
14.【答案】
15.
【答案】3
16.
【答案】##
四．解答题（共6小题，满分70分）
17.
【解析】
【分析】（1）求出的中点的坐标，利用垂直关系得到高所在直线的斜率，得到高所在直线方程；
（2）联立两直线得到点的坐标，利用点到直线距离公式求出答案.
【小问1详解】
由题意可知，为的中点，
，，
．
又，
．
所在直线方程为，即．
【小问2详解】
由，解得，所以．
又直线方程为，即．
点到直线的距离．
18.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解；
（2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解．
【小问1详解】
圆的方程为：，
则圆的圆心为，半径为2，
直线与圆相交于、两点，且，
则，解得或；
【小问2详解】
当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切，
切线的斜率存在时，可设切线为，即，
由切线的定义可知，，解得，
故切线方程为，
综上所述，切线方程为或．
19.
【解析】
【分析】（1）根据条件确定的值，即得椭圆的标准方程；
（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.
【小问1详解】
由题意可得，得，所以的方程为.
【小问2详解】
由题意得.
设，，依题意可得，且，
由得，
则，解得.
经检验，点在椭圆内.
所以为所求.
20.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立；
（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果；
【小问1详解】
以原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则,
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
因为，所以平面；
【小问2详解】
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
21.
【解析】
【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求，即可求抛物线的标准方程；
（2）首先根据（1）的结果求点的坐标，设直线和的直线方程与抛物线方程联立，求得点的坐标，并表示直线的坐标，即可证明.
【小问1详解】
由抛物线的定义知，解得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
因为点的横坐标为2，即，解得，
故点的坐标为，
由题意可知，直线，不与轴平行，设，，
设直线：，即，
代入抛物线的方程得，即，
则，故，
所以，
即
设直线：，即，
同理可得，则，
即
直线的斜率，
所以直线斜率为定值.
22.
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质可得四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理计算即可得；
（2）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后结合空间向量夹角公式计算即可得；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得.
【小问1详解】
取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
【小问2详解】
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、、，
即，，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
【小问3详解】
由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为．