云南省保山市隆阳区2024-2025学年高三上学期期中课堂教学反馈数学试题
1．（2024高三上·隆阳期中）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则.
故答案为：A.
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
2．（2024高三上·隆阳期中）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数 满足， 所以，则，
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据共轭复数的概念求解即可.
3．（2024高三上·隆阳期中）某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（ ）（若，则）
A．6828 B．5436 C．4773 D．2718
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：学生的抽测成绩服从正态分布，则
，
由于总人数为20000，则抽测成绩在内的学生人数大约为.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用正态分布的对称性求抽测成绩在内大约的学生人数即可.
4．（2024高三上·隆阳期中）声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB. 若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
【答案】D
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，
由题意可得，解得，
因为，所以，则，
所以一般说话时声音的等级约为60dB.
故答案为：D.
【分析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出和，算出，可计算出.
5．（2024高三上·隆阳期中）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，所以，
即，又因为是夹角为的两个单位向量，则，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用投影向量的计算公式求解即可.
6．（2024高三上·隆阳期中）已知某圆台上 下底面半径（单位：）分别为1和4，高（单位）为3，则该圆台的体积（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，圆台上 下底面半径分别为1和4，高为3，
其体积.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用台体体积公式计算即可.
7．（2024高三上·隆阳期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
则在区间上恒成立，
即或，解得.
故答案为：A.
【分析】求导，问题转化为在区间上恒成立，利列出关于实数的不等式组，求实数的取值范围即可.
8．（2024高三上·隆阳期中）我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，已知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：由题意，中间的五边形内角和，则，
由图可得，五角星五个锁顶角都为，
两个与一个为同一个等腰三角形的内角，可得，则，
则
.
故答案为：D.
【分析】由图可得，，再利用二倍角公式化简求值即可.
9．（2024高三上·隆阳期中）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则下列结论正确的（ ）
A．
B．的最大值为，图象关于直线对称
C．在上单调递增，为奇函数
D．的最小正周期为，图象关于点对称
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
则，故A正确；
B、函数的最大值为，当时，，为最大值，
则函数图象关于直线对称，故B正确；
C、易知函数为偶函数，故C错误；
D、函数的最小正周期，
即图象关于点对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，根据三角函数图象的平移变化得到的解析式，再根据余弦函数的性质逐项判断即可.
10．（2024高三上·隆阳期中）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为2 D．的最大值为16
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、易知椭圆的离心率为，故A错误；
B、的周长为，故B正确；
C、的最小值为，故C正确；
D、，当且仅当等号成立，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据离心率定义计算出即可判断A；根据椭圆定义计算焦点三角形的周长即可判断B；根据的最小值为即可判断C；根据椭圆定义结合基本不等式计算即可判断D.
11．（2024高三上·隆阳期中）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的图象在点处的切线斜率为2
C．
D．有两个零点，且
【答案】C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、函数，则，解得且，
故函数的定义域为，故A错误；
B、求导可得，则，
即的图象在点处的切线斜率为，故B错误；
C、，故C正确；
D、由，可得在和上单调递增，
又，
所以函数在存在，使，
由C可得，所以在定义域内有两个零点，
，所以，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由题意求函数的定义域即可判断A；求得的图象在点处的切线斜率即可判断B；求得的值即可判断C；利用导数求得的零点个数，结合选项C求得二零点间的关系即可判断D.
12．（2024高三上·隆阳期中）若事件发生的概率分别为，且与相互独立，则 .
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：若事件发生的概率分别为，且与 相互独立，
则.
故答案为：.
【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解即可.
13．（2024高三上·隆阳期中）设被9除所得的余数为 ；则的展开式中的常数项为 .
【答案】；
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以其被9除所得的余数为8，即；
的展开式通项为
，
则展开式常数项为.
故答案为：8；.
【分析】由题意，利用二项展开式将已知条件化简为，求得的值；再利用二项展开式通项公式求该展开式中的常数项即可.
14．（2024高三上·隆阳期中）双曲线的左 右顶点分别为，过点的直线交该双曲线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，已知轴时，，若点在双曲线右支上，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：当轴时，，则，
所以，解得，
由题意，
设直线的方程为，，
联立，消元整理得，
由韦达定理可得，则，
又，
故，
所以，
当点在右支上运动时，由图可知，，故.
故答案为：.
【分析】当直线轴时，由题意，求得，设直线的方程为，，直曲联立，结合韦达定理可得，代入，求出，点在双曲线右支上，可知，从而得出的取值范围即可.
15．（2024高三上·隆阳期中）已知三个内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若的面积，且，求的周长.
【答案】（1）解：化简可得，
由正弦定理可得：，
所以，
又中，，且，
所以，则，
又因为，所以；
（2）解：由（1）可得，，
因为，所以，
由余弦定理，，
又，
联立得，
所以的周长为.
【知识点】余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由可得，利用正弦定理和三角形内诱导公式化简求得，再利用同角三角函数基本关系求得的值；
（2）由（1）的结论，结合题干条件分别求得和c的值，再求的周长即可.
（1）方法一：由可得，，
由正弦定理可得，，
所以，
又中，，且，
所以，则，
又，所以.
方法二：由，得，
所以，
由射影定理，得，所以，
又，所以.
（2）由（1）可得，，
因为，所以，
由余弦定理，，
又，
联立得，
所以的周长为.
16．（2024高三上·隆阳期中）若为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别另交于两点.
（1）求抛物线的方程与焦点坐标；
（2）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：易知，解得，所求抛物线方程为，其焦点为；
（2）解：由题意，不妨设直线的方程为，
联立抛物线方程，消去得，
由韦达定理得，
因为直线与关于对称，所以，且，
所以，
所以，即，即，
由韦达定理得，解得，
所以直线的斜率为定值.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点代入解析式，直接求抛物线方程，进而确定焦点坐标即可；
（2）设直线的方程为，联立抛物线，应用韦达定理及列方程化简求参数，即可得结论.
（1）由题意，得，得，所求抛物线方程为，其焦点坐标为.
（2）如图，由题意，不妨设直线的方程为，
联立抛物线方程，消去得，
由韦达定理得，
因为直线与关于对称，所以，且，
所以，
所以，即，即，
由韦达定理得，解得，
所以直线的斜率为定值.
17．（2024高三上·隆阳期中）如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为为的中点，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，则，
由，得，
因为，
所以由勾股定理，得，
又平面，
所以平面；
（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
可得，
所以，
设平面的法向量为，
由，令，得，所以.
由（1）知，平面，
所以平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，证明，，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：因为为的中点，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，则，
由，得，
因为，
所以由勾股定理，得，
又平面，
所以平面.
（2）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
可得，
所以，
设平面的法向量为，
由，令，得，所以.
由（1）知，平面，
所以平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．（2024高三上·隆阳期中）已知．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）设，求的单调递增区间；
（3）证明：当时，，．
【答案】（1）解：当时，，
故在处的切线斜率为，
而，
所以在处的切线方程为，即．
（2）解：由题意得，则，
当时，为常数函数，没有单调递增区间；
当时，令，即，
当时，令，即，
故时，没有单调递增区间；时，单调递增区间为．
（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而，
即在上恒成立，故在上单调递增，
设，则，
因为，则，故，
所以在上单调递增，
而，
则，即，
而，
故，即．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，利用导函数研究函数的单调性，函数恒成立问题.
（1）当时，求导函数可得：，求出切点坐标，求出切线的斜率，利用点斜式方程可写出切线方程.
（2）求出函数的导数，分三种情况进行讨论：当时；当时；当时；确定导函数的正负，进而求出函数的单调递增区间；
（3）问题不等式可变为，据此可构造函数，利用（2）的结论可证明函数为上的增函数，利用函数的单调性，可得，通过变形可证明结论.
19．（2024高三上·隆阳期中）已知数列（正整数）的各项均为正整数，设集合，记中的元素个数为.
（1）若数列，求集合及的值；
（2）若数列为等差数列，求的值；
（3）若数列，求证：.
【答案】（1）解：由题意得：，
所以，；
（2）解：若为等差数列，设的公差为，
当时，，
①当时，，可得，可得；
②当时，，则；
（3）证明：对于数列，此时，
若存在，
则，其中，
故，
若，不妨设，则，
而，
故为偶数，为奇数，矛盾，
故，故，
故由得到的，彼此相异，
又由在数列中任意取两个数有种取法，
故.
【知识点】集合的表示方法；等差数列概念与表示；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）根据新定义求解集合及的值即可；
（2）若为等差数列，设的公差为，分与两种情况讨论求出集合，进而得到；
（3）利用反证法证明“由得到的，彼此相异”，即可证明.
（1）由题意得：，
所以，
所以.
（2）若为等差数列，设的公差为，
当时，，
①当时，，可得，可得；
②当时，，则.
（3）对于数列，此时，
若存在，
则，其中，
故，
若，不妨设，则，
而，
故为偶数，为奇数，矛盾，
故，故，
故由得到的，彼此相异，
又由在数列中任意取两个数有种取法，
故.
1 / 1云南省保山市隆阳区2024-2025学年高三上学期期中课堂教学反馈数学试题
1．（2024高三上·隆阳期中）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三上·隆阳期中）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．2
3．（2024高三上·隆阳期中）某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（ ）（若，则）
A．6828 B．5436 C．4773 D．2718
4．（2024高三上·隆阳期中）声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB. 若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
5．（2024高三上·隆阳期中）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2024高三上·隆阳期中）已知某圆台上 下底面半径（单位：）分别为1和4，高（单位）为3，则该圆台的体积（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·隆阳期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·隆阳期中）我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，已知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶点，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·隆阳期中）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则下列结论正确的（ ）
A．
B．的最大值为，图象关于直线对称
C．在上单调递增，为奇函数
D．的最小正周期为，图象关于点对称
10．（2024高三上·隆阳期中）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为2 D．的最大值为16
11．（2024高三上·隆阳期中）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的图象在点处的切线斜率为2
C．
D．有两个零点，且
12．（2024高三上·隆阳期中）若事件发生的概率分别为，且与相互独立，则 .
13．（2024高三上·隆阳期中）设被9除所得的余数为 ；则的展开式中的常数项为 .
14．（2024高三上·隆阳期中）双曲线的左 右顶点分别为，过点的直线交该双曲线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，已知轴时，，若点在双曲线右支上，则的取值范围是 .
15．（2024高三上·隆阳期中）已知三个内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若的面积，且，求的周长.
16．（2024高三上·隆阳期中）若为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别另交于两点.
（1）求抛物线的方程与焦点坐标；
（2）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
17．（2024高三上·隆阳期中）如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．（2024高三上·隆阳期中）已知．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）设，求的单调递增区间；
（3）证明：当时，，．
19．（2024高三上·隆阳期中）已知数列（正整数）的各项均为正整数，设集合，记中的元素个数为.
（1）若数列，求集合及的值；
（2）若数列为等差数列，求的值；
（3）若数列，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则.
故答案为：A.
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数 满足， 所以，则，
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据共轭复数的概念求解即可.
3．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：学生的抽测成绩服从正态分布，则
，
由于总人数为20000，则抽测成绩在内的学生人数大约为.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用正态分布的对称性求抽测成绩在内大约的学生人数即可.
4．【答案】D
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，
由题意可得，解得，
因为，所以，则，
所以一般说话时声音的等级约为60dB.
故答案为：D.
【分析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出和，算出，可计算出.
5．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，所以，
即，又因为是夹角为的两个单位向量，则，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用投影向量的计算公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，圆台上 下底面半径分别为1和4，高为3，
其体积.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用台体体积公式计算即可.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
则在区间上恒成立，
即或，解得.
故答案为：A.
【分析】求导，问题转化为在区间上恒成立，利列出关于实数的不等式组，求实数的取值范围即可.
8．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：由题意，中间的五边形内角和，则，
由图可得，五角星五个锁顶角都为，
两个与一个为同一个等腰三角形的内角，可得，则，
则
.
故答案为：D.
【分析】由图可得，，再利用二倍角公式化简求值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
则，故A正确；
B、函数的最大值为，当时，，为最大值，
则函数图象关于直线对称，故B正确；
C、易知函数为偶函数，故C错误；
D、函数的最小正周期，
即图象关于点对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，根据三角函数图象的平移变化得到的解析式，再根据余弦函数的性质逐项判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、易知椭圆的离心率为，故A错误；
B、的周长为，故B正确；
C、的最小值为，故C正确；
D、，当且仅当等号成立，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据离心率定义计算出即可判断A；根据椭圆定义计算焦点三角形的周长即可判断B；根据的最小值为即可判断C；根据椭圆定义结合基本不等式计算即可判断D.
11．【答案】C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、函数，则，解得且，
故函数的定义域为，故A错误；
B、求导可得，则，
即的图象在点处的切线斜率为，故B错误；
C、，故C正确；
D、由，可得在和上单调递增，
又，
所以函数在存在，使，
由C可得，所以在定义域内有两个零点，
，所以，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由题意求函数的定义域即可判断A；求得的图象在点处的切线斜率即可判断B；求得的值即可判断C；利用导数求得的零点个数，结合选项C求得二零点间的关系即可判断D.
12．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：若事件发生的概率分别为，且与 相互独立，
则.
故答案为：.
【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解即可.
13．【答案】；
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以其被9除所得的余数为8，即；
的展开式通项为
，
则展开式常数项为.
故答案为：8；.
【分析】由题意，利用二项展开式将已知条件化简为，求得的值；再利用二项展开式通项公式求该展开式中的常数项即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：当轴时，，则，
所以，解得，
由题意，
设直线的方程为，，
联立，消元整理得，
由韦达定理可得，则，
又，
故，
所以，
当点在右支上运动时，由图可知，，故.
故答案为：.
【分析】当直线轴时，由题意，求得，设直线的方程为，，直曲联立，结合韦达定理可得，代入，求出，点在双曲线右支上，可知，从而得出的取值范围即可.
15．【答案】（1）解：化简可得，
由正弦定理可得：，
所以，
又中，，且，
所以，则，
又因为，所以；
（2）解：由（1）可得，，
因为，所以，
由余弦定理，，
又，
联立得，
所以的周长为.
【知识点】余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由可得，利用正弦定理和三角形内诱导公式化简求得，再利用同角三角函数基本关系求得的值；
（2）由（1）的结论，结合题干条件分别求得和c的值，再求的周长即可.
（1）方法一：由可得，，
由正弦定理可得，，
所以，
又中，，且，
所以，则，
又，所以.
方法二：由，得，
所以，
由射影定理，得，所以，
又，所以.
（2）由（1）可得，，
因为，所以，
由余弦定理，，
又，
联立得，
所以的周长为.
16．【答案】（1）解：易知，解得，所求抛物线方程为，其焦点为；
（2）解：由题意，不妨设直线的方程为，
联立抛物线方程，消去得，
由韦达定理得，
因为直线与关于对称，所以，且，
所以，
所以，即，即，
由韦达定理得，解得，
所以直线的斜率为定值.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点代入解析式，直接求抛物线方程，进而确定焦点坐标即可；
（2）设直线的方程为，联立抛物线，应用韦达定理及列方程化简求参数，即可得结论.
（1）由题意，得，得，所求抛物线方程为，其焦点坐标为.
（2）如图，由题意，不妨设直线的方程为，
联立抛物线方程，消去得，
由韦达定理得，
因为直线与关于对称，所以，且，
所以，
所以，即，即，
由韦达定理得，解得，
所以直线的斜率为定值.
17．【答案】（1）证明：因为为的中点，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，则，
由，得，
因为，
所以由勾股定理，得，
又平面，
所以平面；
（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
可得，
所以，
设平面的法向量为，
由，令，得，所以.
由（1）知，平面，
所以平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，证明，，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：因为为的中点，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，则，
由，得，
因为，
所以由勾股定理，得，
又平面，
所以平面.
（2）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
可得，
所以，
设平面的法向量为，
由，令，得，所以.
由（1）知，平面，
所以平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：当时，，
故在处的切线斜率为，
而，
所以在处的切线方程为，即．
（2）解：由题意得，则，
当时，为常数函数，没有单调递增区间；
当时，令，即，
当时，令，即，
故时，没有单调递增区间；时，单调递增区间为．
（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而，
即在上恒成立，故在上单调递增，
设，则，
因为，则，故，
所以在上单调递增，
而，
则，即，
而，
故，即．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，利用导函数研究函数的单调性，函数恒成立问题.
（1）当时，求导函数可得：，求出切点坐标，求出切线的斜率，利用点斜式方程可写出切线方程.
（2）求出函数的导数，分三种情况进行讨论：当时；当时；当时；确定导函数的正负，进而求出函数的单调递增区间；
（3）问题不等式可变为，据此可构造函数，利用（2）的结论可证明函数为上的增函数，利用函数的单调性，可得，通过变形可证明结论.
19．【答案】（1）解：由题意得：，
所以，；
（2）解：若为等差数列，设的公差为，
当时，，
①当时，，可得，可得；
②当时，，则；
（3）证明：对于数列，此时，
若存在，
则，其中，
故，
若，不妨设，则，
而，
故为偶数，为奇数，矛盾，
故，故，
故由得到的，彼此相异，
又由在数列中任意取两个数有种取法，
故.
【知识点】集合的表示方法；等差数列概念与表示；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）根据新定义求解集合及的值即可；
（2）若为等差数列，设的公差为，分与两种情况讨论求出集合，进而得到；
（3）利用反证法证明“由得到的，彼此相异”，即可证明.
（1）由题意得：，
所以，
所以.
（2）若为等差数列，设的公差为，
当时，，
①当时，，可得，可得；
②当时，，则.
（3）对于数列，此时，
若存在，
则，其中，
故，
若，不妨设，则，
而，
故为偶数，为奇数，矛盾，
故，故，
故由得到的，彼此相异，
又由在数列中任意取两个数有种取法，
故.
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