重庆市名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学（含答案）

重庆市名校联盟2024-2025学年度第一期第一次联合考试
数学试卷（高2026届）
本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点，若向量，则点B坐标是（）.
A. B. C. D.
2. 过点，且与直线平行直线方程是（）
A. B.
C. D.
3. 已知点，，若是直线l方向向量，则直线l的倾斜角为（）
A. B. C. D.
4. 已知圆与轴相切，则（）
A. 1 B. 0或 C. 0或1 D.
5. 如图，平行六面体的所有棱长均为1，AB，AD，两两所成夹角均为，点E，F分别在棱，上，且，，则（）
A B. C. 3 D.
6. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. ；
7. 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（）
A. ，或 B. ，或
C. D.
8. 点P为圆A：上的一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，则的最小值为（）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，是夹角的单位向量，且，，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. 在方向上的投影向量为 D. 与的夹角为
10. 点P在圆M：上，点，点，则下列结论正确的是（）
A. 直线AB关于点M的对称直线为
B. 点P到直线AB距离的最大值为
C. 圆M关于直线AB对称的圆的方程为
D. 当最大时，
11. 在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（）
A. 当P为中点时，为锐角
B. 存在点P，使得平面APC
C. 的最小值
D. 顶点B到平面APC的最大距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12已知平面向量，若，则_______ .
13. 方程表示圆，且坐标原点在该圆外，则a的取值范围是______．
14. 已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知顶点、、．
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
16. 如图，正方体中，E、F、G分别为，，的中点.
（1）证明：平面ACE；
（2）求与平面ACE所成角的余弦值.
17. 直线的方程为（）.
（1）证明：无论为何值，直线过定点；
（2）已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的截距式方程.
18. 如图所示，等腰梯形中，，，，E为中点，与交于点O，将沿折起，使点D到达点P的位置（平面）.
（1）证明：平面；
（2）若，试判断线段上是否存在一点Q（不含端点），使得直线
与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积，若不存在，说明理由.
19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点，，求的最大值；
（3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
重庆市名校联盟2024-2025学年度第一期第一次联合考试
数学试卷（高2026届）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】D
6.
【答案】C
7.
【答案】A
8.
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】BD
11.
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程；
（2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解.
【小问1详解】
由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
【小问2详解】
当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
16.
【解析】
【分析】（1）先证得，再由线面平行判定定理证明即可；
（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量，利用公式求解即可.
【小问1详解】
证明：连接BD和，设，
连接EO，则O为BD中点，
在中，因为F，G分别为和的中点，
所以，又因为在中，因为E为的中点，
所以，所以
又平面ACE，平面ACE，
所以平面ACE．
【小问2详解】
以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建系如图：
设正方体的棱长为2，
则，，，，
所以，，，
设为平面ACE的一个法向量，
则，所以，取
设直线与平面ACE所成角为，
所以直线与平面ACE所成角的正弦值为：
．
所以与平面ACE所成角的余弦值为.
17.
【解析】
【分析】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可；
（2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式
求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长.
【小问1详解】
直线的方程变形为，
由，得到，
又时，恒成立，
故直线恒过定点
【小问2详解】
由，
依题意，即，
令，得到，令，得到，
由，得到，
所以，
令，得到，
当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为，
又，，，
所以当的面积最小时，的周长为.
18.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得结果，先证明线线垂直，再证明线面垂直；
（2）先建立空间直角坐标系，根据线面夹角正弦值得到点到平面的距离即三棱锥的高，即可求得体积.
【小问1详解】
在原图中，连接，由于，，
所以四边形是平行四边形，由于，所以四边形是菱形，
所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
在翻折过程中，，保持不变，
即，保持不变，
由于，，平面，
所以平面；
【小问2详解】
由上述分析可知，在原图中，，所以，
所以，
折叠后，若，则，
所以，
由于，，，平面，
所以平面，
由于，平面，所以，，
所以，，两两相互垂直，
由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，，，
设，，，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则，
，，，，
所以，即是的中点，
由于轴与平面垂直，所以到平面的距离为，
所以.
19.
【解析】
【分析】（1）代入和的公式，即可求解；
（2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解；
（3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程.
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、．
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值．
因此，点有如下两种可能：
①点为点，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，取，
则．
因为，所以的最大值为．
【小问3详解】
易知，设，则
当时，，则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当时等号成立．
综上，满足条件的直线有且只有两条，和．