1.1锐角的三角函数第2课时正弦与余弦课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角三角函数
第2课时 正弦 余弦
北师版·九年级下册
复习导入
1. 如图，Rt△ABC中，tanA = ，tanB= .
A
B
C
2. 分别求出图中∠A，∠B 的正切值.
10
┐
A
B
C
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，AC＝10，求BC的长.
解：
A
B
C
∠A的对边a
∠A的邻边b
斜边c
┌
如图，当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，它的对边与邻边的比便随之确定.此时，其它边之间的比值也确定吗？
探究新知
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C ＝∠C' ＝90°，∠A ＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
探究新知
正弦与余弦的定义
1
量一量，算一算
因为∠C ＝∠C' ＝ 90°，∠A ＝∠A' ＝ α，所以 △ABC∽△A'B'C'
在 Rt△ABC 中，如果锐角 A 确定，那么 ∠A
的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
A
B
C
A'
B'
C'
证一证
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是_________________.
（2） ________.
（3）如果改变B2在斜边上的位置，
则 __________.
B1
B2
A
C1
C2
探究活动1
如图：
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
B1
B2
A
C1
C2
探究活动1
思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________，根据是___________________.
随之确定
三角形相似的性质
它的邻边与斜边的比值呢？
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
A
B
C
∠A的对边a
∠A的邻边b(相邻的直角边)
斜边c
┌
概念归纳
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即
A
B
C
∠A的对边a
∠A的邻边b(相邻的直角边)
斜边c
┌
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
A
B
C
∠A的对边a
∠A的邻边b(相邻的直角边)
斜边c
┌
概念归纳
A
B
C
∠A的对边a
∠A的邻边b
斜边
┌
概念归纳
锐角A的正弦、余弦、正切，都是∠A的三角函数.
归纳总结
（1）sinA，cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是一个锐角；
（5）sinA，cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然的关系.
（4）sinA，cosA 是一个完整的符号，不表示“sin”，“cos” 乘以 “A” ；
（3）sinA，cosA 没有单位，它表示一个比值；
（2）sinA，cosA 中常省去角的符号“∠”. 但∠BAC的正弦和余弦表示为： sin∠BAC，cos∠BAC. ∠1 的正弦和余弦表示为：sin∠1，cos∠1；
锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数（trigonometric function）.当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
三角函数的定义
2
在图中，梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？
想一想
A
C1
C2
梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？
A
sinA 的值越大，梯子越 ；
cosA 的值越 ，梯子越陡.
陡
小
8
10
6
8
10
6
A
探究活动2
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B=90 °，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.
A
B
C
例题详解
你还能求出cosC吗？
对比sinA和cosC，你发现了什么？
在其他直角三角形中是不是也一样呢？
sinC与cosA呢？
解： 在 Rt△ABC 中，
即
∴ BC = 200×0.6 = 120.
在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
A
B
C
规律小结
在此图中，即：sinA=cosC
sinC=cosA
sinɑ=cos(90°-ɑ）
例2 如图，在等腰 △ABC中，AB = AC =5，BC = 6.
求： sinB，cosB，tanB.
提示：过点 A 作 AD⊥BC 于 D .
5
5
6
A
B
C
┌
D
解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D，则在 Rt△ABD 中
10
┐
A
B
C
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，AC = 10，AB 等于多少？sinB 呢？
思考：关于 cosA 和 sinB，你发现了什么？可以验证吗？
正弦、余弦和正切的相互转化
3
做一做
如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝ 90°，
sinA = cosB
归纳总结
2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，则 tanB的值为_________.
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则下列式子一定成立的是（　　）
A．sinA = sinB B．cosA = cosB
C．tanA = tanB D．sinA = cosB
D
针对训练
1. 在 Rt△ABC 中
2. 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系：
sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.
当堂小结
1. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100 倍，sinA 的值（ ）
A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍
C. 不变 D. 不能确定
2. 已知∠A，∠B 为锐角
(1) 若∠A =∠B，则 sinA sinB；
(2) 若 sinA = sinB，则 ∠A ∠B.
A
B
C
┌
C
=
=
课堂练习
3. 如图， ∠C = 90° 且 CD⊥AB.
4. 在上图中，若BD = 6，CD = 12.
则 cosA =______.
┍
┌
A
C
B
D
5. 如图：P 是边 OA 上一点，且 P 点的坐
标为 (3，4)，则 cosα =____，tanα=____.
x
y
o
3
4
P
α
A
CDBC
ACAB
ADAC
6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB = 10，BC＝6， 求 sinA、cosA、tanA 的值．
解：∵
又∵
A
B
C
6
10
课堂小结
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
┌
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
做一做
如图，Rt△ABC中，∠C=90 °， ， AC=10，
AB等于多少？sinB呢？
A
B
C
解:在Rt △ABC中，
课后作业
P6-7
随堂练习＋习题1.2
全部
1. 在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求： sinB，cosB，tanB.
A
B
C
解：过A点作AD⊥BC，则BD=DC=3， AD=4.
D
2.在△ABC中，∠C=90 °， ，BC=20，
求△ABC的周长和面积.
A
B
C
解:在Rt △ABC中,
由勾股定理可得:AC=15，
∴S△ABC =15×20÷2=150，
C△ABC =20+25+15=60.
1.如图，分别求∠α和∠β的正弦、余弦和正切.
2. 如何用正弦、余弦、正切来刻画梯子的倾斜程度？
3. 在Rt△ABC中，∠C= 90°， sin A 与cos B有什么关系
4. 在Rt△ABC中，∠BCA= 90°，CD是AB边上的中线，BC=8，CD =5，求sin∠ ACD，cos ∠ACD和tan∠ACD.
5. 在△ABC中，∠BAC > 90°，AB =5，BC= 13，AD是BC边上的高，AD = 4，求CD和sinC.如果∠BAC<90°呢
5. 在△ABC中，∠BAC > 90°，AB =5，BC= 13，AD是BC边上的高，AD = 4，求CD和sinC.如果∠BAC<90°呢