1.2 30°，45°，60°角的三角函数值课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
北师版·九年级下册
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
第一章 直角三角形的边角关系
复习导入
如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°.
思考：sinA和cosB，有什么关系
sinA=cosB
tanA和tanB，有什么关系
tanA·tanB=1
b
A
B
C
a
┌
c
tanA和sinA，cosA有什么关系
猜谜语
一对双胞胎，一个高，一个胖，
3个头，尖尖角，我们学习少不了.
思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？
45°
45°
90°
60°
30°
90°
思考：你能用所学知识，算出图中各角度的三角函数值吗？
探究新知
观察一副三角尺,其中有几个锐角 它们分别等于多少度
45°
45°
60°
30°
（1）sin30°等于多少？你是怎样得到的？（2）cos30 °等于多少？ tan30 °呢？
45°
45°
60°
30°
探究新知
想一想
利用45 °角的直角三角尺，测量出30 °角的直角三角尺的三条边的长度，就可以分别计算出sin30 ° 、cos30 °和tan30 °的值.
（1）60 °角的三角函数值分别是多少 你是怎样得到的
（2）45 °角的三角函数值分别是多少 你是怎样得到的
探究新知
45°
45°
60°
30°
做一做
利用求30 °角的三角函数值相同的方法，可以分别求得60 °角和45 °角的三角函数值.
下图两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
30°
60°
45°
45°
30°、45°、60° 角的三角函数值
1
设 30° 所对的直角边长为 a ，那么斜边长为 2a
另一条直角边长＝
30°
设两条直角边长为 a ，则斜边长＝
60°
45°
（3）完成下表：
三角
函数
角α
三
角
函
数
值
sinα
cosα
tanα
30°
45°
60°
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2. 观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 .
增大（或减小）
减小（或增大）
归纳总结
1. 如果∠α 是等边三角形的一个内角，则 cosα = ____.
2. 在 △ABC 中，∠C = 90°，若∠B = 2∠A，则 tanA =____.
练一练
例1 计算：
(1) sin30°+ cos45°； (2) sin260° + cos260° - tan45°.
注意事项:
sin260° 表示 (sin60°)2， cos260° 表示 (cos60°)2
解：(1) sin30° + cos45°
(2) sin260°+ cos260° - tan45°
典例精析
1.求下列各式的值：
(1) cos260°＋sin260° (2)
解： (1) cos260°＋sin260°
＝1
(2)
＝0
练一练
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
逆向思维
由特殊三角函数值确定锐角度数
填一填
2
例2： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，
， 求∠A 的度数．
解： 如图，
A
B
C
典例精析
1. 如图，已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的
倍，求 α .
解： 在图中，
A
B
O
2. sinα＜cosα，则锐角 α 取值范围（ ）
A. 30°＜α ＜45° B. 0°＜α ＜ 45°
C. 45°＜α ＜ 60° D. 0°＜α ＜ 90°
B
练一练
例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆过的角度∠BOD恰好为60 °，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
例题详解
O
B
A
D
C
2.5m
60°
解: 如图，由题意可知，∠AOD= ×60°=30 °，
OD = 2.5m，
∴ OC = OD·cos30 ° =2.5× ≈ 2.165(m).
∴ AC = 2.5－2.165 ≈ 0.34(m).
即最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
随堂练习
1.计算:
（1）sin60 ° －tan45 °;
（2）cos60 ° ＋tan60 °;
（3） sin45 ° ＋sin60 ° －2cos45 °.
2. 在 △ABC 中，若 ，则 ∠C =（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
1. tan(α + 20°)＝1，锐角 α 的度数应是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
D
D
2. 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30 °，高为7m，
扶梯的长度是多少
解： 如图，由题意可知，
即扶梯的长度为14m.
7m
30°
3. 求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
解：
(1)1－2 sin30°cos30°
(2) 3tan30°－tan45° + 2sin60°
4. 如图，在 △ABC 中，∠A = 30°，
求 AB.
A
B
C
D
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∠A = 30°，
课堂小结
在0°～90°内：对于 sinα 与 tanα ，角度越大，函数值也越大；对于 cosα ，角度越大，函数值越小.
课后作业
P10-11
习题1.3
全部
1. 计算:
（1）tan 45°－sin 30°；
（2）cos 60°＋ sin 45°－ tan 30°；
（3）6 tan2 30°－ sin 60°－ 2 cos 45°.
2. 如图，河岸 AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，桥长12 m，在C处看桥两端A，B，夹角∠BCA=60°，求B，C间的距离（结果精确到1 m）.
3. 如图，SO是等腰三角形SAB的高，已知∠ASB =120°，AB=54，求SO的长.
4. 如图，身高1.75 m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度(∠A=30° )，已知她与树之间的距离为5m，那么这棵树大约有多高 (结果精确到0.1 m)
5.如图，一段长1500 m的水渠，它的横截面为梯形ABCD，其中AB//CD，BC=AD，渠深AE=0.8 m，底AB= 1.2 m，坡角为45°，那么该段水渠最多能蓄水多少立方米
解：∵AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，
∴AE//BF .
又∵AB//CD，
∴四边形ABFE为平行四边形.
∵∠AEF=90°，
∴四边形ABFE为矩形，
即AB=EF，且DE=CF.
在△BCF中，∵∠CBF = 45°，BF=0.8m，
∴CF=BFtan45°=0.8（m）
∴CD=DE+EF+FC=2.8（m）
∴四边形ABCD的面积S=1/2（AB+CD） AE =1/2×（1.2+2.8）×0.8=1.6（m ），则该段水渠最多能蓄水1.6×1500=2400（m ）.
6. 某阶梯的形状如图所示，其中线段AB=BC，AB部分的坡角为45°，BC部分的坡角为30°，AD = 1.5 m.如果每个台阶的高不超过20cm，那么这一阶梯至少有多少个台阶 (最后一个台阶的高不足20cm时，按一个台阶计算)