广东实验中学 2024—2025 学年（上）高二级期中考试·数学
参考答案
1.C 2.D 3．C 4．B 5．A 6．A 7. A 8.B
9. 【答案】ACD 10. 【答案】BCD 11．【答案】ACD
1
12. tan 13. = 0 14. 3 ；2+ 15
2 2 2
9. 【答案】ACD【解析】在棱长为 1的正方体 1 1 1 1中，建立如图所示的空间直
角坐标系，
则 (1,0,0), (1,1,0), 1(1,0,1), 1(1,1,1), 1(0,1,1), 1(0,0,1), (1,
1 , 0), ( 1 , 1,0)，
2 2
对于 A， 1 = ( 1,0,1), = (1,
1 , 0), = (0, 1 , 1)，显然
2 1 2 1 = 1 ，
即 1 平行于平面 B1DE，而 BC1 平面 B1DE，因此 BC1 / /平面 B1DE，A正确；
对于 B， 1 = (
1 , 1, 1)， 1 =
1 × 1+ 1 × 1 = 1 ≠ 0，即有D F不垂直于DE，
2 2 2 1
而DE 平面 B1DE，因此D1F不垂直于平面 B1DE，B 错误；
AF ( 1
对于 C， ,1,0), AA1 (0,0,1)
1
，而DE (1, ,0)，显然DE AA1 0，2 2
DE AF 1 ( 1) 1 1 0，即 ⊥ 1, ⊥ , 1 ∩ = , 1, 平面 1 ，2 2
于是 ⊥平面 1 ，而 平面 1 ，因此平面 1 ⊥平面 1 ，C正确；
1
对于 D，D1F ( ,1, 1)， 1 2 1 = (1,0,0)
，设平面 1 1 的一个法向量 = ( , , )，
n
D1A1 x 0
则 1 ，令 y 1
1
，得 n (0,1,1)，又 A1E (0, , 1)，
n D1F x y z 0 2 2
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|1 1 1 1|
所以点 E 到平面 A1D1F的距离 d | n A1E | 2 2 ，D正确.
| n | 2 4
故选：ACD
x2 y2
10. 【答案】BCD【详解】A选项：由椭圆方程 1，所以 a2 8，b2 4，所以
8 4
c2 a2 b2 4 2，所以 F1PF2的面积为 S b tan
F1PF2 4，故 A 错误；
2
B 选项：当 PF1 F1F2 或 PF2 F1F2 时 F1PF2为直角三角形，这样的点 P有 4 个，
1 1
设椭圆的上下顶点分别为S，T ，则 F1F2 4, OS 2, OS F1F2 ,同理 OT F1F2 ，2 2
知 F1SF2 F1TF2 90 ，所以当 P位于椭圆的上、下顶点时 F1PF2也为直角三角形，
其他位置不满足，满足条件的点 P有 6个，故 B正确；
C选项：由于 PF1 2 PF2 2a PF2 2 PF2 4 2 3 PF2 ，
所以当 PF2 最小即 PF2 a c 2 2 2时， PF1 2 PF2 取得最大值6 2 2，故 C 正
确；
D选项：因为 PF1 PM 2a PF2 PM 4 2 PM PF2 ，
PM 5又 PF MF ，则 PF1 PM
5
2 2 的最大、最小值分别为 4 2 和2 2
4 2 5 ，当点 P位于直线MF2与椭圆的交点时取等号，故 D 正确.故选：BCD
2
11．【答案】ACD
【解析】对选项 A，因为 DF1 DF2 2 2 2 2 2 2 4，由定义知D C，故 A 正确；
对选项 B，点M x,1 (x 0)在C上，则 MF1 MF2 2 (x 2) 1 (x 2)
2 1 4，化简
高二上数学期中考试 答案 第 2 页，共 8 页
得 x4 6x2 9 0，所以 x 3， MF1 ( 3 2)
2 1 2 2 ，B错误；对选项 C，椭圆
x2 y2
1上的焦点坐标恰好为 F 2,0 与F 2,0 ，
6 2 1 2
则 F1Q F2Q 2 6，又 F1Q F2Q，所以 F1Q
2 F Q 22 16，故
2FQ F Q FQ 2 21 2 1 F2Q
F ，所以Q C，C正确；对选项 D，设 A 2, y ，1Q F2Q 42
4
则 AB 2 y ，因为 A C，则 AF1 2y ，又 AF1 16 y
2，
16
所以 2 16 y
2 4
y ，化简得 y 16y
2 16 0，故 y2 4 5 8，所以 y2 1 4 5 9 0，
故 y 1，所以 AB 2，故 D 正确，故选 ACD.
1
12.【详解】由点 P 2,1 在角 的终边上可得， tan ，
2
sin 2 π sin 2 2sin cos sin
tan 1
则1 sin π 2 1 cos 2 2cos
2 cos 2 .
2
2 1 1 1
13. [解析]设 = ln ，易知 的定义域为 ∞, ∪ , +∞ ，且
2 +1 2 2
= ln 2 1 = ln 2 +1 = ln 2 1 = ，所以 为奇函数.若 =
2 +1 2 1 2 +1
+ ln 2 1 为偶函数，则 = + 也应为奇函数，所以 = 0 ，（在公共定义域内：
2 +1
奇± 奇= 奇，偶± 偶= 偶，奇×奇= 偶，偶×偶= 偶，奇×偶= 奇）
14．解：①由题意得椭圆与双曲线的焦距为|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为 2a，双曲线的实轴长
为 2m，不妨设点 P在双曲线的右支上，由双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|＝2m，由椭圆的定义：
|PF1|+|PF2|＝2a，可得：|PF1|＝m+a，|PF2|＝a﹣m，又∠F1PF2＝60°，由余弦定理得：
PF 2| 1| +|PF
2 2 2 2 2
2| ﹣|PF1| |PF2|＝|F1F2| ＝4c ，即（m+a） +（a﹣m） ﹣（m+a） （a﹣m）
2 2 2 2
＝4c ，整理得：a +3m ＝4c ，所以： ，即 + ＝4≥2 ＝ ，
可得 e1e2≥ ，当且仅当 ＝ 时等号成立.
②∵I 为△F1PF2的内心，所以 IP2为∠PF1F2的角平分线，则有 ，同理：
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，∴ ＝ ，∴ ＝ ，
即|AI|＝e1|IP|，∵ ＝λ ，∴| |＝|λ|| |，故|λ|＝e1，∵I 为△F1PF2的内心，
F1，I，G 三点共线，即 F1G 为∠PF1B 的角平分线，进而 F2G 是角 PF2B 的平分线，则有
＝ ＝ ，又|BF2|≠|BF1|，∴ ＝ ＝ ＝e2，即| |
＝e2| |，∵ ＝μ ，∴| |＝|μ|| |，∴|μ|＝e2，
2 2 1 1 3 1 15 12 22所以5 + 1=5 12+ 22= (5 12+ 22)( 2+ 2)= (8+ 2 + 2)≥ (8+2 15
15
)=2+ ,当且仅
4 1 + 2 4 2 + 1 4 2
当 22= 15 12时，等号成立.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（13 分）解析：(1) 圆 M的圆心在直线 x y 1 0上,设M m,m 1 ,则
m 1
2 1 ,解得m 2 ,即M 2, 1 ,…………2 分
m
圆的半径为 4 1 5 ,…………3分
圆 M 的标准方程为 x 2 2 y 1 2 5 ;…………5 分
(2)经过点 A 0,2 的直线 l被圆 M 截得的弦长为3 2 ,
当直线 l 的斜率不存在时,直线 l的方程为 x 0 ,
此时直线 l 被圆 M 截得的弦长为 2 5 4 2 ,不符,舍去;…………7分
当直线 l 的斜率存在时,设直线 l的方程为 y kx 2 ,即 kx y 2 0 ,…………8分
2 2
2k 1 2 3 2
5,…………10 分 k 2 1 2
17
解得 k 1或 k , 直线 l 的方程为 x y 2 0或17x 7 y 14 0 .…………13 分
7
（说明：这里少一种结果扣 2 分）
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a b c
16.（15 分）解析：(1)由正弦定理可知 ，
sinA sinB sinC
sin A C sin π B sinB b a c
sinA sinC sinA sinC sinA sinC a c b c .…………2分
b b c a c a c b2 bc a2 c2 b2 c2 a2即 bc .…………3分
2
cosA b c
2 a2 1
由余弦定理知 2bc 2，…………4 分
A 0, π A π
又 3 . …………5分（不写范围扣 1 分）
由 A π π π π π ,B 知C π .又△ABC为直角三角形，
3 6 3 6 2
a 3 2 4 3
sinA , ，故 c . …………7 分
c 2 c 3
(2)点 D 在边 BC上且 AD平分 BAC，所以 S△ABC S△ABD S△ACD ，…………8 分
1
即 AB AC sinA 1 AB AD sin BAD 1 AC AD sin CAD ，…………9分
2 2 2
1
即 bcsin60 1 c 3sin30 1 b 3sin30 ，即bc b c .① …………10 分
2 2 2
又由于b2 c2 a2 bc，即b2 c2 4 bc ，即 (b c)2 4 3bc .② …………11 分
①代入②得到 (b c)2 3 b c 4 0，
所以b c 4或b c 1（舍去），…………14 分
所以△ABC的周长为 a b c 2 4 6 .…………15 分
（说明：解答过程中从头到尾不写“正弦定理、余弦定理”扣 1 分）
17．
e
c 6
a 3 a 6
3 1
（1）由已知可得 2 2 1 ，…………1分 解得 b 2，…………3分
a b
a2 b2 c2 c 2
x2C y
2
所以，椭圆 的标准方程为 1.…………4 分
6 2
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（2）当直线MN与 x轴重合时，不符合题意，…………5分
设直线MN的方程为 x my 2，…………6分
x my 2 2 2
联立 m 3 y 4my 2 0
x
2 3y2 6，可得 ，…………7 分
Δ 16m2 8 m2 3 24 m2 1 0，…………8分
4m 2
设M (x1 , y1),N(x2 , y2 )，由韦达定理可得 y1 y2 2 ， y1y2 2 ，…………9分m 3 m 3
2
2 4m 2 2 6 m2 1 则 y y y y 4y y 4 ，…………11 分1 2 1 2 1 2
m2 3 m2 3 m2 3
1 2 6 m2 1则 S AMN 6 y1 y 2 3 2 3 3 ，…………12 分2 m 3
解得m 1，…………14 分 所以直线MN的方程为 y (x 2) .…………15 分
（说明：这里少一种结果扣 2 分）
ME 1 BC
18．【解答】（1）取 PB中点M ，连接 AM ，EM， E为PC的中点， ME / /BC， 2 ，
1
又 AD / /BC， AD BC， ME / /AD，ME AD， 四边形 ADEM 为平行四边形，
2
DE / /AM ， DE 平面 PAB， AM 平面 PAB， DE / /平面 PAB；…………4分
（2）平面 PAB 平面 ABCD，平面PAB 平面 ABCD AB, BC 平面 ABCD，
BC AB, BC 平面 PAB，…………6 分
取 AB中点G，连接 FG，则 FG / /BC, FG 平面 PAB，
GPF 60 ,GF 1 AD BC 3 3 ， tan60 , PG 3，又
2 PG
PA PB 2, AG GB 4 3 1, AB 2，
①如图以G为坐标原点，GB为 x轴，GF为 y轴，GP为 z轴建立空间直角坐标系，…8分
P 0,0, 3 ,C 1,4,0 ,D 1,2,0 ，
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PC 1,4, 3 ,CD 2, 2,0 ，设平面 PCD的一个法向量， n1 x, y, z ，
n1 PC x 4y 3z 0
则 ，取 y 1，则 n1 1,1, 3 ，………10 分
n1 CD 2x 2y 0
平面 PAB的一个法向量可取 n2 0,1,0 ，………11 分
n n 1 5
设平面PAB与平面 PCD所成锐二面角为 ， cos 1 2 ，
n 51 n2 5
5
所以平面 PAB与平面 PCD所成锐二面角的余弦值 .………12 分
5
②如图，BC∥AD,从而 AD 垂直于 AM，四边形 AMED 为矩形，正三角形 PAB 中，AM 垂直于 PB，
又 AD 垂直于 PM，从而 PM 垂直于平面 AMED.………14 分
2 3
所以四棱锥 P-AMED 体积= ， 又四棱锥 P-ABCD 的体积为 2 3，………16 分
3
4 3
所以五面体 ABCDEM 为 .………17 分
3
b 1 2
19.（17 分）解析：（1）由题意知: 2a 4, ,解得 a 2,b 1,双曲线方程为 x y2 1.
a 2 4
………3 分
（2）因为直线 l 斜率不为 0,设直线 l方程为 x ty 3 ,………4 分
2
易 知 A1 2,0 , A2 2,0 , 设 P x x 21, y1 , Q x2 , y2 , 联 立 y 1 , 得4
t2 4 y2 6ty 5 0,………5分
t 2 4 0
Δ 0
5
则 y 6t y , ………6 分 且 y ,1y2 y1 y2
1 2 t 2 4 6t
y1y
5
2
t 2 4
k1 y1 x2 2 y1 ty2 3 2 ty y y（i） 1 2 1 ………8分
k2 x1 2 y2 ty1 3 2 y2 ty1y2 5y2
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5
y1 y2 y6 1 y1 5y 2 1 ; ………10 分5
y y 5y 5y1 25y2 5
6 1 2 2
（ii）由题可得: A2Q : y k2 x 2 , A1P : y k1 x 2 .
2 k2 kx 1 4 S 4 ,10 k 4 10y 联 立 可 得 : 1s , 即 S , , 同 理k2 k1 3 3 3 1
3 3 x1 2
T 4 10y
2 , . ………12 分
3 3 x2 2
10 y1 y2 10 y1 y2 10 5 y y ST 1 2
3 x1 2 x2 2 3 ty1 5 ty2 5 3 5 t y
6 1
y2 5t y1 y2 25
y1 y
2
4 2
4y1y2 2 t 2 5 , ………14 分
t y1 y2 6 3
故 S 1△A ST ST x
2
A x
2 ,………15 分
2 2 2 S
t 5
9
t 2 0且 t 2 4 ,
2 5 2
S△A ST ,
2
,
2
9 3 3
.………17 分
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数 学
命题：高二数学备课组 校对：高二数学备课组
本试卷共 5页，满分 150 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改
液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
第一部分选择题（共 58 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.已知(1 + ) = 1 + 3 ，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. C. 1 D.
2.一组数据 23，11，31，14，16，17，19，27 的百分之七十五分位数是( )
A. 14 B. 15 C. 23 D. 25
1
3．在四面体 中， = ， = ， = ， 为三角形 的重心， 在 上，且 = ，2
则 为( )
2 a 1
b 1 c 8 1
1 8 1 1 2 1 1
A． B． a b c C． a b c D． a b c
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
4.已知随机事件 和 互斥，且 ( ∪ )＝0.6， ( )＝0.3，则 ( )等于( )
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.2
5.已知直线 过定点 (2，3，1)，且方向向量为 = (0，1，1)，则点 (4，3，2)到 的距离为
( )
3 2 2 10
A． B． C． D． 2
2 2 2
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6．双曲线 与椭圆 有相同的焦点，一条渐近线的方程为 ﹣2 ＝0，则双曲线
的标准方程为( )
A． B． C． D．
x2 y2
7. 已知椭圆 ： 2 2 1(a b 0) 的右焦点为 3,0 ，过点 的直线交椭圆 于 , 两点，a b
若 的中点坐标为(1, 1)，则椭圆 的方程为( )
x2 y2 x2 y2 2 2 2 2
A． 1 B． 1 x y x yC． 1 D． 1
18 9 27 18 36 27 45 36
x2 y2
8.椭圆C : 2 2 1（ a b 0）的左、右焦点分别是 1， 2，斜率为 1的直线 过左焦点 a b 1
，
交 于 ， 两点，且△ 2 22的内切圆的面积是 ，若椭圆 的离心率的取值范围为 , ，
6 3
则线段 的长度的取值范围是( )
A. 6 2, 12 2 B. 6,12 C. 4,8 D. 4 2, 8 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. 在棱长为 1的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是 ， 中点，则( )
A． 1//平面 1
B．直线 1与平面 1 1 所成的角为45
C．平面 1 ⊥平面 1
D．点 到平面 1 1
2
的距离为
4
x2 y2
10. 已知点 是左、右焦点为 1， 2的椭圆 ： 1上的动点，则( )8 4
A. 若∠ 1 2 = 90°，则△ 1 2的面积为 4 2
B. 使△ 1 2为直角三角形的点 P有 6 个
C. 1 2 2 的最大值为 6 2 2
D. 若 ，则 1 + 的最大、最小值分别为 和
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11．如图，曲线 是一条“双纽线”，其 上的点满足：到点 1 2,0 与到点 2 2,0 的距离之
积为 4，据此判断，下列结论正确的是（ ）
A．点 2 2, 0 在曲线 上
B．点 , 1 ( > 0)在 上，则 1 = 2 2
x2 y2
C．点 在椭圆 1上，若
6 2 1
⊥ 2 ，则 ∈
D．过 2作 轴的垂线交 于 , 两点，则 < 2
第二部分非选择题（共 92 分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
sin 2 π
12.已知点 2,1 在角 的终边上，则1 sin π 2
.
2
13.若 为偶函数，则 =
14．如图，椭圆 与双曲线
有公共焦点 1 , 0 ， 2 , 0 > 0 ，椭圆的离心率为 1，双曲线的离心率为 2，点
为两曲线的一个公共点，且∠ 1 2＝60°，Ⅰ为△ ! 2的内心， 1， ， 三点共线，
且 = 0， 轴上点 ， 满足 = ， = ，则 1 2 的最小值
为 ；5 2 + 2的最小值为 ．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
15．（13 分）在平面直角坐标系 中,已知圆 的圆心在直线 x y 1 0 上,且与直线
2x y 0 相切于坐标原点.
(1)求圆 的标准方程;
(2)经过点 0,2 的直线 被圆 截得的弦长为 3 2,求直线 的方程.
16.（15 分）已知三角形 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，若 ，
且 = 2.
(1)若 ，求 ；
(2)点 在边 上且 平分∠ ，若 = 3，求三角形 的周长.
x2 y2
17．（15 分）椭圆 ： 2 2 1 a b 0 过点a b （ 3，1）且离心率为 ， 为椭圆的右焦点，
过 的直线交椭圆 于 ， 两点，定点 ( 4,0)．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若△ 面积为 3 3，求直线 的方程．
18．（17 分）在四棱锥 P ABCD中，底面 为直角梯形， // ， ⊥ ，侧面PAB
1
底面 ， PA PB AD BC 2，且 E， F 分别为PC，CD的中点，
2
(1)证明： //平面 ；
(2)若直线 PF与平面 所成的角为60 ，
①求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
②平面 将四棱锥 ﹣ 分成上、下两部分，求平面 ADE
以下部分几何体的体积.
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19.（17 分）已知双曲线 的实轴长为 4,渐近线方程为 .
(1) 求双曲线 的标准方程;
(2)双曲线的左 右顶点分别为 A1, A2 ,过点 B 3,0 作与 x 轴不重合的直线 与 交于 ,
两点,直线 A1P与 A2Q交于点 ,直线 A1Q与 A2P交于点 .
( )设直线 A1P的斜率为 k1 ,直线 A2Q的斜率为 k2 ,若 k1 k2 ,求 的值;
( )求△A2ST 的面积的取值范围.
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