江苏省苏州市2024-2025学年高三上学期11月期中调研数学试题（含答案）

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2024～2025学年第一学期高三期中调研试卷
数学
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（）
A. B. C. D.
2. 若对于任意的实数都有成立，则的值可能是（）
A. B. C. D. 0
3. 下列说法中不正确的是（）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “若，，，则且”是假命题
D. 设，，则“或”是“”的充要条件
4. 在数列中，，则数列前24项和的值为（）
A. 144 B. 312 C. 288 D. 156
5. 已知实数，则的最小值为（）
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
6. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）
A. B. C. D.
7. 已知，若存在常数，使得为偶函数，则的值可以为（）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若，则最大值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列说法中正确的是（）
A. 若，则或1 B. 若，则或-3
C. 若，则或3 D. 若，则向量，夹角的余弦值为
10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（）
A. 若为锐角三角形，则
B. 若，，则直角三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 若为钝角三角形，且，，，则的面积为
11. 已知，是函数，两个不同的零点，且，，是函数两个极值点，则（）
A B. 或
C. 值可能为11 D. 使得的值有且只有1个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______.
13. 如图，边长为1的正，是以为圆心，以为半径的圆弧上除点以外的任一点，记外接圆圆心为，则______.
14. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足恒成立，则称直线为和的“媒介直线”.已知函数，，若和之间存在“媒介直线”，则实数的范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，.
（1）求数列，的通项公式.
（2）若，求数列前项的和.
16. 已知向量，，.
（1）求函数解析式，写出函数的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标.
（2）试用五点作图法作出函数在一个周期上的简图（要求列表，描点，连线画图）.
（3）根据（2）中的图象写出函数的单调增区间、最小值及取得最小值时相应值的集合.
17. 如图①，在平面四边形中，，，为对角线中点，为中点，为线段上一点，且，，.
（1）求的长.
（2）从下面（i）与（ii）中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分.
（i）在平面四边形中，以为轴将向上折起，如图②，当面面时，求异面直线与所成角的余弦值.
（ii）在平面四边形中，以为轴将向上折起，如图③，当时，求三棱锥的体积.
18. 已知函数，.
（1）如果函数在处的切线，也是的切线，求实数的值.
（2）若在存在极小值，试求范围.
（3）是否存在实数，使得函数有3个零点，若存在，求出所有实数的取值集合，若不存在，请说明理由.
19. 对于任意，向量列满足.
（1）若，，求的最小值及此时的.
（2）若，，其中，，，，若对任意，，设函数，记，试判断符号并证明你的结论.
（3）记，，，对于任意，记，若存在实数和2，使得等式成立，且有成立，试求的最大值.
2024～2025学年第一学期高三期中调研试卷
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】D
7.
【答案】A
8.
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】AC
10.
【答案】AC
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】##
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出；
（2）利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由，且，，成等比数列知：
，整理得：，
即或者，因为公差大于1，故.
且，故.
数列前项和为，并满足①，
且，解得，
故当时，②，
①式减②式得：，
即，故是公比为2的等边数列，
则，
故
【小问2详解】
，
故
则
故
故
则
16.
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换求出，然后利用整体代入法求解即可；
（2）利用五点作图法求解即可；
（3）根据函数图像求解即可.
【小问1详解】
向量，，则，，
故的最小正周期，
当时，，
当时，，
故的对称轴方程为，对称中心为.
【小问2详解】
列表：
0
0 2 0 0
描点，连线，画图得：
【小问3详解】
由图可知，的单调增区间为；
最小值为；取最小值时相应值的集合为：.
17.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理和正弦定理结合三角函数求解即可；
（2）若选（i），利用空间向量求解即可；若选（ii），利用等体积法求解即可.
【小问1详解】
因为，为对角线中点，故,
因为,故，
即，
解得,
故,
则，,
因为，，
则，,
所以,
所以,，
且,
故,则在等腰中，由正弦定理得：，
即，
则.
【小问2详解】
若选（i）：当面面时，因为,
面面,面,
故面，又，
故以点为坐标原点，为轴，为轴，过点做的平行线为轴，可以建如图所示空间直角坐标系，
由（1）知，,故为中点，
则易得
则
设异面直线与所成角为，
则.
若选（ii）：由（1）知，,故为中点，
故,
当时，，
因为，,
故，且，,
故面,
因为为中点，为中点，
故,
则三棱锥的体积:.
18.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）利用极值点的定义，得出，然后构造函数求出的范围即可；
（3）根据的单调性对进行分类讨论，注意，然后转化为在上有唯一零点求解即可.
【小问1详解】
，，
故在处的切线为，
也是的切线，
故方程只有一个解，即只有一个解，
，解得.
【小问2详解】
，
，
当时，，无极值点，不符合题意；
当时，在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
故的极小值点，则，
故，
设，，则，
此时，
设，则，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
，故,
即
【小问3详解】
，，
，
当时，，在单调递减，不存在3个零点；
当时，，在单调递增，不存在3个零点；
当时，，
因为在上单调递增，设，
则在上也是单调递增，且，
当，，
故存在唯一一个，使，
即在，，，单调递减；
在，，，单调递增；
且，故，且，
故在有唯一零点，
，故，
当时，，因为在有唯一零点，故在也有唯一零点，
故当，有3个零点;
综上所述，所有实数的取值集合为.
19.
【小问1详解】
因为对任意成立，
所以有
将上述各式相加得，又因为，,
所以，
所以有，又，
当或时，，此时或.
【小问2详解】
可判定，
（1）因为，所以数列不可能是各项均为0的常数列；
（2）当数列非零常数列时，任意，
若，则，
若，则，
故当数列为非零常数列时，.
（3）当数列为公差不为0的数列时，因，，
若①，
由等差数列性质有，其中
又为奇函数，且在R上单调递增，
则由可得，所以有，
即，，
所以有，
即②，所以由①②知.
同理可证明若，利用函数为奇函数，
且在上单调递增，可证，所以有.
综上可知恒成立.
【小问3详解】
，所以，即为等差数列，
所以，
由题意知
，
构造函数，
则，
，
，
所以函数至少有三个零点:
若使得有三个零点，则存在区间，使得为常数，
且三个零点均在内，所以必为偶数，且，
于是有，故有，
其中，
实际上，
化简得，解得，又为偶数，故的最大值为30.
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