广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·电白期中）如图，直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·电白期中）经过点和的直线的倾斜角为，则（ ）
A．3.5 B．8 C．-2 D．2
3．（2024高二上·电白期中）已知向量，，，则（ ）
A．12 B．-12 C．9 D．-9
4．（2024高二上·电白期中）已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．3
5．（2024高二上·电白期中）袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·电白期中）在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二上·电白期中）在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（ ）
A． B． C． D．1
8．（2024高二上·电白期中）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
9．（2024高二上·电白期中）若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．，，不可能共面
B．若，，则
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．，，一定能构成空间的一个基底
10．（2024高二上·电白期中）设样本空间含有等可能的样本点，且，，．则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二上·电白期中）（多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是
D．平面ABC的一个法向量是
12．（2024高二上·电白期中）已知直线经过点和，且方向向量，则的值为 ．
13．（2024高二上·电白期中）设事件与相互独立，，，则 ， ．
14．（2024高二上·电白期中）如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，且．已知，，，则公垂线段的长为 ．
15．（2024高二上·电白期中）已知：，，，，，求：
（1），，；
（2）
16．（2024高二上·电白期中）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．
（1）证明：；
（2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（2024高二上·电白期中）2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．
（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
（2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．
18．（2024高二上·电白期中）正方体的棱长为2，为棱上一点．
（1）求证：；
（2）若为中点，求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由．
19．（2024高二上·电白期中）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分；
②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率；
（3）选手甲闯关成功的概率．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故答案为：C.
【分析】根据直线的倾斜角的定义，从而得出直线的倾斜角.
2．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：依题意，直线的斜率为，解得.
故答案为：D.
【分析】由两点坐标写出直线的斜率，再根据直线斜率和直线的倾斜角的关系式，从而得出m的值.
3．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用空间向量的线性运算坐标公式和数量积坐标运算公式，从而计算得出答案.
4．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：∵，∴.
故答案为：B.
【分析】因为边上的高线垂直于边，再利用两点求斜率公式得出直线的斜率，再由两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出的边上的高线所在直线的斜率.
5．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设个红球为，个黄球为，
从中有放回地依次随机摸出个球，样本空间为：
，则，
事件“这2个球同色”，则，
则，由古典概率公式，可得.
故答案为：D.
【分析】依题意，设个红球为，个黄球为，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这个球同色”表示的集合，再利用古典概型求概率公式，从而计算出这个球同色的概率.
6．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；直线的方向向量
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】由向量共线的坐标表示和中点的性质以及平行四边形法则，再由直线的方向向量求解方法，则以为空间的一个基底表示直线的一个方向向量.
7．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：设，则，，
因为平面的一个法向量为，
则，即，解得，
故，故=．
故答案为：B.
【分析】设，再结合向量的坐标表示求出，再利用两向量垂直，可得，从而由数量积的坐标表示求出的值，从而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意知，，，，
由于，所以甲与丁相互独立．
故答案为：B.
【分析】根据相互独立事件求概率公式和独立事件的判断方法，即可判断各选项，从而得出正确的选项.
9．【答案】A,C,D
【知识点】共线（平行）向量；利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：对于A，由空间的基底定义，可知，，不可能共面，故A正确；
对于B，如图是底面为等边三角形的直三棱柱，若
则显然有，，但，不满足，故B错误；
对于C，由空间向量基本定理，可知C正确；
对于D，假设，，共面，
则存在，使，则有，
显然方程组无解，即，，不共面，
故，，一定能构成空间的一个基底，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据空间的基底的定义和空间向量基本定理，则判断出选项A和选项C；通过举反例可排除选项B项；运用反证法思路，假设，，共面，经推理引出矛盾，说明假设的反面成立，即可判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：由题意得，
则，，
所以，，，
.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件，易得，从而得到，，再结合独立事件乘法求概率公式，从而判断各选项，进而找出结论正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】单位向量；平面的法向量；空间向量平行的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得，，
若与共线，设，则，方程无解，故不共线，所以A错误；
与同向的单位向量是，所以B正确；
因为在方向上的投影向量是，所以C正确；
设平面ABC的一个法向量是，则，
令，则，所以D正确．
故答案为：BCD．
【分析】由向量共线的坐标表示判断是否存在λ使，则判断出选项A；与同向的单位向量是，再结合向量的坐标表示和向量的模的坐标表示，即可判断选项B；由数量积求投影向量的方法，则判断出选项C；利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面ABC的一个法向量，即可判断选项D，进而找出说法正确的选项．
12．【答案】2
【知识点】斜率的计算公式；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为，∴
故答案为：2.
【分析】利用两点求斜率公式和直线的方向向量与直线的斜率的关系，从而得出k的值.
13．【答案】0.36；0.94
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：因为事件A与B相互独立，
所以，
.
故答案为：0.36；0.94.
【分析】由独立事件乘法求概率公式和交事件、并事件计算公式，从而计算出结果.
14．【答案】或
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】如图所示：
由已知条件，得出或，
设，因为，而，
则
当时，可得，解得：；
当时，可得，解得，
综上可知，即公垂线段的长为或.
故答案为：或.
【分析】根据空间向量基本定理，将用表示出来，再借助数量积求向量模长、夹角公式，再利用空间向量的数量积运算法则和分类讨论的方法，从而列出方程，求解即得公垂线段的长.
15．【答案】（1）解：因为，所以设，即，
故，解得，
，
，
∴，解得，
.
（2）解：，
.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量平行关系，设，再结合向量共线的坐标表示，从而求出，再利用向量垂直数量积为0的等价关系，从而得到.
（2）利用向量的坐标运算和数量积求向量夹角公式，从而得出.
（1）因为，所以设，即，
故，解得，
，
，
∴，解得，
；
（2），
.
16．【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
，
，
又因为不在同一条直线上，
.
（2）解：由已知得，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，，
设平面的法向量，
则，
令，得，，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线定理和不在同一条直线上，从而证出.
（2）由已知条件得出点P的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系，从而求出平面与平面的法向量，再根据数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，
，
又不在同一条直线上，.
（2）由已知得，则，
设平面的法向量，
则，令，得，
，
设平面的法向量，
则，令，得，
，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）解：将2位男教师记为，3位女教师记为，
则样本空间为，共有10个样本点．
（2）解：设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”，则
所以中包含9个样本点，故．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；样本点与有限样本空间
【解析】【分析】（1）利用已知条件，从而写出试验包含的所有可能发生的情况组成样本空间.
（2）利用已知条件和古典概型求概率公式，从而得出选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．
（1）将2位男教师记为，3位女教师记为，
则样本空间，共有10个样本点．
（2）设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”，
则，
中包含9个样本点，故．
18．【答案】（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正方体的棱长为2，
所以，，，
又因为点为棱上一点，
设，则，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）解：由（1）建系可知，，，，
因为为中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，
则即，化简为，
令，则.所以，
所以点到平面的距离.
（3）解：棱上不存在点，使得平面，理由如下：
由（1）建系可知，，，，，
因为为棱上一点，设，则
所以，，，
设面的法向量为，
则即，
令，则，所以，
若平面，则，
所以，解得，
故在棱上不存在点，使得平面.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，再利用点为棱上一点，
设，则，从而得出向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出成立.
（2）由（1）建系可知，，，，利用为中点，从而得出点M的坐标，进而得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求出点到平面的距离.
（3）由（1）建系可知，，，，，利用为棱上一点，设，则，从而得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，再利用平面，可得，再结合向量共线的坐标表示，从而得出a的值，进而得出在棱上不存在点，使得平面.
（1）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正方体的棱长为2，
所以，，，
又为棱上一点，设，则，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）由（1）建系可知，，，，
因为为中点，所以，
所以，，，
设面的法向量为，
则即，化简为，
令，则.所以，
所以点到平面的距离.
（3）棱上不存在点，使得平面，理由如下：
由（1）建系可知，，，，，
因为为棱上一点，设，则
所以，，，
设面的法向量为，
则即，
令，则.所以，
若平面，则，
所以，解得，故在棱上不存在点，使得平面.
19．【答案】解：设为选手答对题，其中.
（1）设挑战结束后，选手甲共答对道题为事件，
选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错，
所以，所以，由事件独立性的定义得
（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了道题为事件，
选手甲恰好作答了道题即选手甲第题答错或第一题答对且第题答错
所以，由概率的加法公式和事件独立性的定义得
.
（3）设选手甲挑战成功为事件，若选手甲挑战成功，
则选手甲共作答了道题且选手甲只可能作答题或道题
所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件，
所以，根据对立事件的性质得.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据“选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错”，再结合相互独立事件乘法求概率公式、对立事件加法求概率公式，从而计算出挑战结束时，选手甲共答对道题的概率.
（2）根据“选手甲恰好作答了道题即选手甲第题答错或第一题答对且第题答错”， 再结合相互独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式、对立事件求概率公式，从而计算出挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率.
（3）根据““选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件”，再结合（2）以及对立事件求概率公式，从而计算出选手甲闯关成功的概率．
1 / 1广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·电白期中）如图，直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故答案为：C.
【分析】根据直线的倾斜角的定义，从而得出直线的倾斜角.
2．（2024高二上·电白期中）经过点和的直线的倾斜角为，则（ ）
A．3.5 B．8 C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：依题意，直线的斜率为，解得.
故答案为：D.
【分析】由两点坐标写出直线的斜率，再根据直线斜率和直线的倾斜角的关系式，从而得出m的值.
3．（2024高二上·电白期中）已知向量，，，则（ ）
A．12 B．-12 C．9 D．-9
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用空间向量的线性运算坐标公式和数量积坐标运算公式，从而计算得出答案.
4．（2024高二上·电白期中）已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：∵，∴.
故答案为：B.
【分析】因为边上的高线垂直于边，再利用两点求斜率公式得出直线的斜率，再由两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出的边上的高线所在直线的斜率.
5．（2024高二上·电白期中）袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设个红球为，个黄球为，
从中有放回地依次随机摸出个球，样本空间为：
，则，
事件“这2个球同色”，则，
则，由古典概率公式，可得.
故答案为：D.
【分析】依题意，设个红球为，个黄球为，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这个球同色”表示的集合，再利用古典概型求概率公式，从而计算出这个球同色的概率.
6．（2024高二上·电白期中）在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；直线的方向向量
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】由向量共线的坐标表示和中点的性质以及平行四边形法则，再由直线的方向向量求解方法，则以为空间的一个基底表示直线的一个方向向量.
7．（2024高二上·电白期中）在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：设，则，，
因为平面的一个法向量为，
则，即，解得，
故，故=．
故答案为：B.
【分析】设，再结合向量的坐标表示求出，再利用两向量垂直，可得，从而由数量积的坐标表示求出的值，从而得出的值.
8．（2024高二上·电白期中）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意知，，，，
由于，所以甲与丁相互独立．
故答案为：B.
【分析】根据相互独立事件求概率公式和独立事件的判断方法，即可判断各选项，从而得出正确的选项.
9．（2024高二上·电白期中）若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．，，不可能共面
B．若，，则
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．，，一定能构成空间的一个基底
【答案】A,C,D
【知识点】共线（平行）向量；利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：对于A，由空间的基底定义，可知，，不可能共面，故A正确；
对于B，如图是底面为等边三角形的直三棱柱，若
则显然有，，但，不满足，故B错误；
对于C，由空间向量基本定理，可知C正确；
对于D，假设，，共面，
则存在，使，则有，
显然方程组无解，即，，不共面，
故，，一定能构成空间的一个基底，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据空间的基底的定义和空间向量基本定理，则判断出选项A和选项C；通过举反例可排除选项B项；运用反证法思路，假设，，共面，经推理引出矛盾，说明假设的反面成立，即可判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高二上·电白期中）设样本空间含有等可能的样本点，且，，．则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：由题意得，
则，，
所以，，，
.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件，易得，从而得到，，再结合独立事件乘法求概率公式，从而判断各选项，进而找出结论正确的选项.
11．（2024高二上·电白期中）（多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．在方向上的投影向量是
D．平面ABC的一个法向量是
【答案】B,C,D
【知识点】单位向量；平面的法向量；空间向量平行的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得，，
若与共线，设，则，方程无解，故不共线，所以A错误；
与同向的单位向量是，所以B正确；
因为在方向上的投影向量是，所以C正确；
设平面ABC的一个法向量是，则，
令，则，所以D正确．
故答案为：BCD．
【分析】由向量共线的坐标表示判断是否存在λ使，则判断出选项A；与同向的单位向量是，再结合向量的坐标表示和向量的模的坐标表示，即可判断选项B；由数量积求投影向量的方法，则判断出选项C；利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面ABC的一个法向量，即可判断选项D，进而找出说法正确的选项．
12．（2024高二上·电白期中）已知直线经过点和，且方向向量，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】斜率的计算公式；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为，∴
故答案为：2.
【分析】利用两点求斜率公式和直线的方向向量与直线的斜率的关系，从而得出k的值.
13．（2024高二上·电白期中）设事件与相互独立，，，则 ， ．
【答案】0.36；0.94
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：因为事件A与B相互独立，
所以，
.
故答案为：0.36；0.94.
【分析】由独立事件乘法求概率公式和交事件、并事件计算公式，从而计算出结果.
14．（2024高二上·电白期中）如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，且．已知，，，则公垂线段的长为 ．
【答案】或
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】如图所示：
由已知条件，得出或，
设，因为，而，
则
当时，可得，解得：；
当时，可得，解得，
综上可知，即公垂线段的长为或.
故答案为：或.
【分析】根据空间向量基本定理，将用表示出来，再借助数量积求向量模长、夹角公式，再利用空间向量的数量积运算法则和分类讨论的方法，从而列出方程，求解即得公垂线段的长.
15．（2024高二上·电白期中）已知：，，，，，求：
（1），，；
（2）
【答案】（1）解：因为，所以设，即，
故，解得，
，
，
∴，解得，
.
（2）解：，
.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量平行关系，设，再结合向量共线的坐标表示，从而求出，再利用向量垂直数量积为0的等价关系，从而得到.
（2）利用向量的坐标运算和数量积求向量夹角公式，从而得出.
（1）因为，所以设，即，
故，解得，
，
，
∴，解得，
；
（2），
.
16．（2024高二上·电白期中）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．
（1）证明：；
（2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
，
，
又因为不在同一条直线上，
.
（2）解：由已知得，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，，
设平面的法向量，
则，
令，得，，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线定理和不在同一条直线上，从而证出.
（2）由已知条件得出点P的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系，从而求出平面与平面的法向量，再根据数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，
，
又不在同一条直线上，.
（2）由已知得，则，
设平面的法向量，
则，令，得，
，
设平面的法向量，
则，令，得，
，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17．（2024高二上·电白期中）2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．
（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
（2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．
【答案】（1）解：将2位男教师记为，3位女教师记为，
则样本空间为，共有10个样本点．
（2）解：设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”，则
所以中包含9个样本点，故．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；样本点与有限样本空间
【解析】【分析】（1）利用已知条件，从而写出试验包含的所有可能发生的情况组成样本空间.
（2）利用已知条件和古典概型求概率公式，从而得出选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．
（1）将2位男教师记为，3位女教师记为，
则样本空间，共有10个样本点．
（2）设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”，
则，
中包含9个样本点，故．
18．（2024高二上·电白期中）正方体的棱长为2，为棱上一点．
（1）求证：；
（2）若为中点，求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正方体的棱长为2，
所以，，，
又因为点为棱上一点，
设，则，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）解：由（1）建系可知，，，，
因为为中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，
则即，化简为，
令，则.所以，
所以点到平面的距离.
（3）解：棱上不存在点，使得平面，理由如下：
由（1）建系可知，，，，，
因为为棱上一点，设，则
所以，，，
设面的法向量为，
则即，
令，则，所以，
若平面，则，
所以，解得，
故在棱上不存在点，使得平面.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，再利用点为棱上一点，
设，则，从而得出向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出成立.
（2）由（1）建系可知，，，，利用为中点，从而得出点M的坐标，进而得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求出点到平面的距离.
（3）由（1）建系可知，，，，，利用为棱上一点，设，则，从而得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，再利用平面，可得，再结合向量共线的坐标表示，从而得出a的值，进而得出在棱上不存在点，使得平面.
（1）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为正方体的棱长为2，
所以，，，
又为棱上一点，设，则，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）由（1）建系可知，，，，
因为为中点，所以，
所以，，，
设面的法向量为，
则即，化简为，
令，则.所以，
所以点到平面的距离.
（3）棱上不存在点，使得平面，理由如下：
由（1）建系可知，，，，，
因为为棱上一点，设，则
所以，，，
设面的法向量为，
则即，
令，则.所以，
若平面，则，
所以，解得，故在棱上不存在点，使得平面.
19．（2024高二上·电白期中）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出道题，编号为，，，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得分，每答错一道题目扣分；
②选手若答对第题，则继续作答第题；选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题；直到道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为分，若挑战结束后，累计得分不低于分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对道题的概率；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率；
（3）选手甲闯关成功的概率．
【答案】解：设为选手答对题，其中.
（1）设挑战结束后，选手甲共答对道题为事件，
选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错，
所以，所以，由事件独立性的定义得
（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了道题为事件，
选手甲恰好作答了道题即选手甲第题答错或第一题答对且第题答错
所以，由概率的加法公式和事件独立性的定义得
.
（3）设选手甲挑战成功为事件，若选手甲挑战成功，
则选手甲共作答了道题且选手甲只可能作答题或道题
所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件，
所以，根据对立事件的性质得.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据“选手甲共答对道即选手甲前题答对且第题答错”，再结合相互独立事件乘法求概率公式、对立事件加法求概率公式，从而计算出挑战结束时，选手甲共答对道题的概率.
（2）根据“选手甲恰好作答了道题即选手甲第题答错或第一题答对且第题答错”， 再结合相互独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式、对立事件求概率公式，从而计算出挑战结束时，选手甲恰好作答了道题的概率.
（3）根据““选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了道题”的对立事件”，再结合（2）以及对立事件求概率公式，从而计算出选手甲闯关成功的概率．
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