第2课时 锐角三角函数
正弦和余弦
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,BC=10,则 cos B的值是 ( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则cos A的值是 ( )
A. B.2 C. D.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,sin A=,则AB的值是 ( )
A.5 B. C.4 D.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,则sin A= .
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,如果AB=14,那么AC= .
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,求sin A,cos A的值.
正弦、余弦与梯子倾斜程度的关系
7.如图,梯子与地面的夹角为α,关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,下列叙述正确的是 ( )
A.sin α的值越小,梯子越陡
B.cos α的值越小,梯子越陡
C.梯子的长度决定倾斜程度
D.梯子的倾斜程度与α的三角函数值无关
锐角三角函数
8.如图,在△ABC中,若∠C=90°,则 ( )
A.sin A= B.sin A= C.cos B= D.cos B=
9.如图,在正方形网格中,△AOC的顶点均在格点(网格线交点)上,则cos∠AOC的值为 .
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值.
1.(2024咸阳秦都区一模)在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,则cos A的值等于 ( )
A. B.
C.或 D.或
2.(2024郑州期末)学过三角函数之后,小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关.如图,请你用∠BAC的正弦值的大小来描述梯子的倾斜程度: .
3.已知正方形ABCD的边长为2,P是直线CD上的一点.若DP=1,则sin∠BPC的值是 .
4.如图,P(12,a)在反比例函数y=的图象上,PH⊥x轴于点H,则tan∠POH的值为 .
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=4,BC=3.
(1)求BD的长;
(2)求∠ACD的正切值.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∠ABC的平分线交边AC于点D,延长BD至点E,且BD=2DE,连接AE.
(1)求线段CD的长;
(2)求△ADE的面积.
7.(几何直观)如图,在锐角三角形ABC中,AB=15,BC=14,S△ABC=84,求:
(1)tan C的值;
(2)sin A的值.
【详解答案】
课堂达标
1.D 解析:∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,BC=10,
∴cos B=,
故选D.
2.D 解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2BC,∴由勾股定理得,
AB=BC.
由余弦函数的定义,得
cos A=,
故选D.
3.C 解析:Rt△ABC中,∠C=90°.
∵BC=3,sin A=,
∴AB=BC÷sin A=4,
故选C.
4. 解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,
∴BC=
=
=6,
∴sin A=.
5.4 解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,AB=14,
∴cos B=,
∴BC=10,
∴AC==4.
6.解:∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=
=
=5,
∴sin A=,cos A=.
7.B 解析:A.∵正弦值随角度的增大而增大,∴α的正弦值越小,α的度数越小,梯子越缓,选项错误;
B.∵余弦值随角度的增大而减小,∴α的余弦值越小,α的度数越大,梯子越陡,选项正确;
C.梯子的长度不能决定梯子的倾斜程度,倾斜程度与梯子与地面的夹角有关,选项错误;
D.由上可知,梯子的倾斜程度与α的三角函数值有关,选项错误;
故选B.
8.A 解析:在△ABC中,若∠C=90°,则sin A=,cos B=,
故选A.
9. 解析:∵正方形网格中,△AOC的顶点均在格点上,
∴∠ACO=90°,OC=2,AC=4,
∴AO==2,
∴cos∠AOC=.
10.解:∵在Rt△BCD中,∠C=90°,CD=3,BD=5,
∴BC==4.
又∵AC=AD+CD=8,
∴AB==4,
∴sin A=,
cos A=,
tan A=.
课后提升
1.C 解析:当△ABC为直角三角形时,存在两种情况:
①当AB为斜边,∠C=90°,
∵AC=8,BC=6,
∴AB==10.
∴cos A=;
②当AC为斜边,∠B=90°,
∵AC=8,BC=6,
∴AB==2,
∴cos A=;
综上所述,cos A的值等于或.
故选C.
2.∠BAC的正弦值越大,梯子越陡
解析:∵∠ACB=90°,
∴sin∠BAC=.
∵AB为定值,
∴BC越大,梯子越陡,
即∠BAC的正弦值越大,梯子越陡.
3.或 解析:如图所示.
在△BP1C中,P1C=1时,
BP1=,
则sin∠BP1C=;
在△BP2C中,P2C=3时,
BP2=,
则sin∠BP2C=.
4. 解析:∵P(12,a)在反比例函数y=的图象上,
∴a==5,
∵PH⊥x轴于点H,
∴PH=5,OH=12,
∴tan∠POH=.
5.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
∵CD⊥AB,
∵S△ABC=AB·CD=AC·BC,
∴CD=.
∵tan B=,
∴,
∴BD=.
(2)∵AB=5,BD=,
∴AD=AB-BD=,
∵CD⊥AB,∴tan∠ACD=.
6.解:(1)如图,过点D作DH⊥AB,垂足为点H,
∵BD平分∠ABC,∠C=90°,
∴设DH=DC=x,
则AD=3-x.
∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∵sin∠BAC=,
∴,
∴x=,经检验,x=是该分式方程的解,即线段CD的长为.
(2)S△ABD=AB·DH=×5×,
∵BD=2DE,
∴=2,
∴S△ADE=.
7.解:(1)如图,过A作AD⊥BC于点D.
∵S△ABC=BC·AD=84,
∴×14×AD=84,
∴AD=12.
又∵AB=15,
∴BD==9.
∴CD=BC-BD=14-9=5.
在Rt△ADC中,AC==13,
∴tan C=.
(2)如图,过B作BE⊥AC于点E.
∵S△ABC=AC·BE=84,
∴BE=,
∴sin∠BAC=.1锐角三角函数
第1课时 正切
正切
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则tan A= ( )
A. B. C. D.
2.如图,在由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,则tan B的值为 ( )
A. B. C. D.
正切与梯子的倾斜程度的关系
3.如图,梯子与地面所成的锐角为∠BAC.对于∠BAC的正切值与梯子倾斜程度的关系,下列叙述正确的是 ( )
A.tan∠BAC的值越大,梯子越缓
B.tan∠BAC的值越小,梯子越陡
C.tan∠BAC的值越大,梯子越陡
D.梯子的倾斜程度与∠BAC的正切值无关
坡度
4.如图,河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶,堤高BC=6 m,则坡面AB的长是 ( )
A.2 m B.6 m C.6 m D.12 m
5.如图,一辆小车沿斜坡向上行驶13 m,斜坡的坡度是1∶2.4,则小车上升的高度是 ( )
A.5 m B.6 m C.65 m D.12 m
6.如图是一斜坡的横截面,某人沿着斜坡从P处出发,走了13 m到达M处,此时在铅垂方向上上升了5 m,那么该斜坡的坡度是 .
1.(2024扬州江都区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若各边都扩大3倍,则tan A的值 ( )
A.缩小为原来的 B.扩大3倍
C.不变 D.不能确定
2.(2024商丘民权县期末)如图,在4×4的正方形网格中,点A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是( )
A. B. C. D.2
3.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是 ( )
A. B. C. D.3
4.(2024济南历城区期末)有6个大小相同的小正方形,恰好如图放置在△ABC中,则tan B的值等于 .
5.在△ABC中,∠C=90°,AB=15,tan A=,则BC= .
6.如图,已知tan α=,如果F(4,y)是射线OA上的点,那么F点的坐标为 .
7.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜坡AB的坡度为,坝顶宽BC=2.8 m,坝高BE=4.2 m,斜坡CD=7.5 m.
(1)斜坡AB和CD谁比较陡
(2)求坝底AD的长(结果精确到0.1 m).
8.如图,有一斜坡AC,其坡度为i=1∶2,顶部A处的高AB为5 m,B,C在同一水平地面上.
(1)求斜坡AC的水平宽度BC的长;
(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图,其中DE=3 m,EF=2 m.将该货柜沿斜坡向上运送,当CF=
4 m,求点D离地面的高.(≈2.236,结果精确到0.1 m)
9.(几何直观)如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE对折,使点D正好落在AB边上,求tan∠AFE的值.
【详解答案】
课堂达标
1.C 解析:由正切的定义知,tan A=,
∴tan A=,故选C.
2.B 解析:由题图得,AC=4,BC=3.
∵∠C=90°,
∴tan B=,故选B.
3.C 解析:由题图知,梯子与地面所成的锐角为∠BAC,∠BAC的正切值越大,∠BAC越大,梯子越陡,故选C.
4.D 解析:∵坡AB的坡度是1∶,∴BC∶AC=1∶,∵BC=6 m,∴AC=6 m,∴AB==12(m),故选D.
5.A 解析:如图,作BC⊥AC.
在Rt△ABC中,∵AB=13 m,BC∶AC=1∶2.4=5∶12,∴设BC=5k m,AC=12k m.
∵AB2=BC2+AC2,
∴132=(5k)2+(12k)2,
∴k=1(负值舍去),∴BC=5 m,故选A.
6.5∶12 解析:如图,由题意可知,
PM=13 m,MC=5 m,
∴PC==12(m),
∴MC∶PC=5∶12.
∴该斜坡的坡度是5∶12.
课后提升
1.C 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,
当各边都扩大3倍,即BC与AC都扩大3倍,
所以BC与AC比值不变,
所以tan A的值不变.
故选C.
2.D 解析:根据网格可得:AC==2,BC=,
AB==5,
∵AC2+BC2=20+5=25,AB2=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,
∴tan∠ABC==2.
故选D.
3.C 解析:如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q,
∵OP∥AB,
∴△OCP∽△BCA,
∴CP∶CA=OC∶BC=1∶2.
∵∠AOC=∠AQP=90°,
∴CO∥PQ,
∴OQ∶AO=CP∶AC=1∶2.
∵P(1,1),
∴PQ=OQ=1,
∴AO=2,
∴tan∠OAP=.
故选C.
4. 解析:如图,
设小正方形的边长为1.
依题意得:FH∥BC,EH=1,FH=2,
∴∠B=∠EFH,
∴tan B=tan∠EFH=.
5. 解析:∵tan A=,
∴设BC=t,AC=3t,
∴AB=t.
∵AB=15,
∴t=15,
解得t=,
即BC=.
6.(4,2) 解析:如图,过F作FC⊥x轴于点C.
∵F(4,y),
∴OC=4,CF=y,
在Rt△OFC中,tan α=,
即,∴CF=2,
即y=2.∴F点的坐标为(4,2).
7.解:(1)由题意,得CF=BE=4.2 m,又知CD=7.5 m,
∴由勾股定理,得DF=≈6.2 m,
则斜坡CD的坡度为4.2∶6.2≈0.7.
∵斜坡AB的坡度==0.4.
∴tan D>tan A,
∴斜坡CD比较陡.
(2)∵AB的坡度为,BE=4.2 m,
∴AE=4.2÷=10.5(m).
∴AD=AE+EF+DF≈10.5+2.8+6.2=19.5(m).
∴坝底AD的长为19.5 m.
8.解:(1)∵i=1∶2,AB=5 m,∴BC=10 m.
(2)如图,作DH⊥BC于点H,DH交AC于点I.
∵AB⊥BC,DH⊥BC,
∴AB∥DH,
∴∠A=∠GID=∠HIC,
∴Rt△DGI∽Rt△CBA∽Rt△CHI.
∴.
∵DG=EF=2 m,
∴,
∴GI=1(m),DI=(m).
∵CF=4 m,GF=DE=3 m,
∴GC=7 m,∴IC=6 m.
∵Rt△CBA∽Rt△CHI,
∴,
∵AB=5 m,BC=10 m,AC==5(m),
∴HI=(m),
∴DH=DI+HI=≈4.9(m).
∴点D离地面的高是4.9 m.
9.解:根据图形有:∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°,
根据折叠的性质,∠EFC=∠EDC=90°,
即∠AFE+∠BFC=90°.
而Rt△BCF中,∠BCF+∠BFC=90°,
∴∠AFE=∠BCF.
∵根据折叠的性质,得CF=CD,
∴在Rt△BFC中,BC=8,CF=CD=10,
由勾股定理,得BF=6,
∴tan∠BCF=,
∴tan∠AFE=tan∠BCF=.
