第3课时 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.下列二次函数图象开口向下的是 ( )
A.y=2x2+1 B.y=2x2-1
C.y=(x-1)2 D.y=-(x+1)2
2.在平面直角坐标系中,函数y=-x+1与y=-(x-1)2的图象大致是 ( )
A B C D
3.函数y=-3(x+2)2的图象开口 ,对称轴是 ,顶点坐标为 .
4.(2024石家庄裕华区期末)已知二次函数y=3(x-a)2的图象上,当x>2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是 .
5.画出二次函数y=-(x+2)2的图象.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
6.(2024武汉期末)二次函数y=-(x+1)2+2的图象大致是 ( )
A B C D
7.已知二次函数y=(x-2)2-4.
(1)在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象;
(2)根据图象,直接写出当y<0时x的取值范围.
二次函数y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系
8.将抛物线y=-3x2向左平移5个单位长度,再向上平移6个单位长度,所得抛物线相应的函数表达式是 ( )
A.y=-3(x+5)2+6
B.y=-3(x+5)2
C.y=-3(x-5)2+6
D.y=-3(x-5)2-6
1.要得到抛物线y=2(x-4)2-1,可以将抛物线y=2x2 ( )
A.向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
2.对于抛物线y=-(x-1)2+2,下列说法中错误的是 ( )
A.对称轴是直线x=1
B.顶点坐标是(1,2)
C.当x>1时,y随x的增大而减小
D.当x=1时,函数y的最小值为2
3.顶点为(-4,1),且开口方向、形状与函数y=-x2的图象相同的抛物线是 ( )
A.y=(x+4)2+1
B.y=-(x+4)2-1
C.y=(x-4)2+1
D.y=-(x+4)2+1
4.同一平面直角坐标系中,二次函数y=(x-a)2与一次函数y=ax+a的图象可能是 ( )
A B C D
5.已知a>0,设函数y1=a(x-1)2,y2=a(x-2)2,y3=a(x-3)2.直线x=m与函数y1,y2,y3的图象分别交于点A(m,c1),B(m,c2),C(m,c3),下列说法正确的是 ( )
A.若m<1,则c2B.若1C.若2D.若m>3,则c36.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象不经过第 象限.
7.如图,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的表达式;
(2)求梯形COBD的面积.
8.(推理能力)如图,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=a(x-2)2+k经过点A,B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P.
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点N,使△ABN是以AB为斜边的直角三角形 若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.D 解析:由选项可知:A、B、C选项开口都是向上的,只有D选项的开口向下.
故选D.
2.D 解析:∵y=-x+1的图象过第一、二、四象限,y=-(x-1)2的图象开口向下,顶点是点(1,0),
∴同时符合条件的图象只有选项D.
故选D.
3.向下 直线x=-2 (-2,0) 解析:函数y=-3(x+2)2的图象开口向下,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,0).
4.a≤2 解析:∵二次函数y=3(x-a)2的图象对称轴为直线x=a,开口向上,
∴当x>a时,y的值随x值的增大而增大.
又∵当x>2时,y随x的增大而增大,
∴a≤2.
5.解:二次函数y=-(x+2)2,
∴该函数图象的顶点坐标为(-2,0),过点(-3,-1),(-1,-1),(-4,-4),(0,-4),
函数图象如图所示.
6.B 解析:∵y=-(x+1)2+2,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1,顶点为(-1,2),
由a=-1<0知抛物线的开口向下,
故选项B正确.
故选B.
7.解:(1)列表:
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
描点、连线如图.
(2)由图象可知:当y<0时x的取值范围是08.A 解析:抛物线y=-3x2向左平移5个单位长度得到抛物线y=-3(x+5)2,再向上平移6个单位长度得到抛物线y=-3(x+5)2+6.
故选A.
课后提升
1.C 解析:∵y=2(x-4)2-1的顶点坐标为(4,-1),y=2x2的顶点坐标为(0,0),
∴将抛物线y=2x2向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度,可得到抛物线y=2(x-4)2-1.故选C.
2.D 解析:∵抛物线y=-(x-1)2+2,
∴a=-1,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2),
当x>1时,y随x的增大而减小,
当x=1时,函数y有最大值为2,D选项错误.
故选D.
3.D 解析:∵顶点坐标为(-4,1),
∴设抛物线表达式为y=a(x+4)2+1.
∵开口方向、形状与函数y=-x2的图象相同,
∴a=-1,
∴抛物线表达式为y=-(x+4)2+1,
故选D.
4.B 解析:当a>0时,抛物线y=(x-a)2的开口向上,顶点在x轴的正半轴上,直线y=ax+a经过第一、二、三象限;
当a<0时,抛物线y=(x-a)2的开口向上,顶点在x轴的负半轴上,直线y=ax+a经过第二、三、四象限;综上,A、C、D错误,B正确;
故选B.
5.D 解析:如图所示,
A.由图象可知,若m<1,则c1B.由图象可知,若1C.由图象可知,若2D.由图象可知,若m>3,则c3故选D.
6.一 解析:根据题意,得抛物线的顶点坐标为(-m,n),且在第四象限,
∴-m>0,n<0,即m<0,n<0,
则一次函数y=mx+n的图象不经过第一象限.
7.解:(1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4,得0=4a+4,
∴a=-1,∴y=-(x-1)2+4;
(2)令x=0,得y=3,∴OC=3.∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1,∴CD=1.∵A(-1,0),∴B(3,0),∴OB=3,
∴S梯形COBD==6.
8.解:(1)在y=-3x+3中,令y=0,得x=1;令x=0,得y=3,
∴A(1,0),B(0,3).
将A(1,0),B(0,3)分别代入y=a(x-2)2+k,
得解得
(2)存在满足条件的点N,使△ABN是以AB为斜边的直角三角形.由题意,可设点N的坐标为(2,n),
则NB2=22+(n-3)2=n2-6n+13,
NA2=(2-1)2+n2=1+n2,
AB2=12+32=10.
当△ABN是以AB为斜边的直角三角形时,
则由勾股定理,得NB2+NA2=AB2.
∴n2-6n+13+1+n2=10,解得n1=1,n2=2,
∴点N的坐标为(2,1)或(2,2).第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质
二次函数y=ax2的图象与性质
1.(2024武威期末)下列图象中,当ab>0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是 ( )
A B C D
2.(2024吕梁文水县月考)下列抛物线中,开口向下并且开口最大的是 ( )
A.y=x2 B.y=-x2
C.y=x2 D.y=-x2
3.抛物线y=2x2,y=-2x2共有的性质是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.都有最低点
D.y随x的增大而减小
4.已知二次函数y=ax2,当x=3时,y=3.
(1)求当x=-2时,y的值;
(2)写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
二次函数y=ax2+c的图象与性质
5.(2024涿州月考)与抛物线y=-5x2-1顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数是 ( )
A.y=-5x2-1 B.y=5x2-1
C.y=-5x2+1 D.y=5x2+1
6.对于二次函数y=3x2+2,下列说法错误的是 ( )
A.最小值为2
B.图象与y轴没有公共点
C.当x<0时,y随x的增大而减小
D.其图象的对称轴是y轴
二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的关系
7.抛物线y=x2向下平移1个单位长度得到抛物线 ( )
A.y=(x+1)2 B.y=(x-1)2
C.y=x2+1 D.y=x2-1
8.不画出图象,回答下列问题:
(1)函数y=4x2+2的图象可以看成是由函数y=4x2的图象通过怎样平移得到的
(2)说出函数y=4x2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)如果要将函数y=4x2的图象经过适当的平移,得到函数y=4x2-5的图象,应怎样平移
1.一次函数y=ax+b的图象如图所示,则二次函数y=ax2+b的图象是 ( )
A B C D
2.(2024武汉期末)关于二次函数y=x2-2,下列说法错误的是 ( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线的顶点坐标为(0,2)
C.抛物线的对称轴为y轴
D.当x>0时,y随x的增大而增大
3.写出一个二次函数,其图象满足:①开口向下;②与y轴交于点(0,-1),这个二次函数的表达式可以是 .
4.如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方形有公共点,则实数a的取值范围是 .
5.已知二次函数y=ax2的图象经过点A、B(3,m).
(1)求a与m的值;
(2)写出该图象上点B的对称点C的坐标;
(3)当x取何值时,y随x的增大而减小;
(4)当x取何值时,y有最大值(或最小值).
6.如图,已知一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(1,m)和B(-2,4),与y轴交于点C.
(1)求两个函数的表达式;
(2)求△AOB的面积.
7.(几何直观)如图,直线AB经过点B(0,6),A(4,0),与抛物线y=ax2+2在第一象限内相交于点P,
△AOP的面积为6.
(1)求a的值;
(2)若将抛物线y=ax2+2沿y轴向下平移,则平移多少个单位长度,才能使得平移后的抛物线经过点A
【详解答案】
课堂达标
1.D 解析:A.对于直线y=ax+b,得a>0,b<0,与ab>0矛盾,所以A选项错误;
B.由抛物线y=ax2开口向上得到a>0,而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a<0,所以B选项错误;
C.由抛物线y=ax2开口向下得到a<0,而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a>0,所以C选项错误;
D.由抛物线y=ax2开口向下得到a<0,则直线y=ax+b经过第二、四象限,由于ab>0,则b<0,所以直线与y轴的交点在x轴下方,所以D选项正确.
故选D.
2.B 解析:∵抛物线开口向下,
∴二次项系数小于0.
∵<|-|,
∴y=-x2的开口更大.
故选B.
3.B 解析:y=2x2开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为原点;
y=-2x2开口向下,对称轴为y轴,有最高点,顶点为原点;
故选B.
4.解:(1)把x=3,y=3代入y=ax2,得
a·32=3,解得a=,
∴这个二次函数的表达式为y=x2;
当x=-2时,y=×(-2)2=.
(2)∵y=x2,a=>0,
∴图象开口向上,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0).
5.B 解析:与抛物线y=-5x2-1顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线,即与抛物线y=-5x2-1只有二次项系数不同.
即所求抛物线的函数表达式为y=5x2-1,
故选B.
6.B 解析:A.开口向上有最小值2,正确;
B.图象与y轴交于点(0,2),错误;
对称轴为y轴,开口向上,所以当x<0时,y随着x的增大而减小,C,D正确,
故选B.
7.D 解析:抛物线y=x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=x2-1.
故选D.
8.解:(1)函数y=4x2+2的图象可以看成是由函数y=4x2的图象向上平移2个单位长度得到的.
(2)函数y=4x2+2的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2).
(3)将函数y=4x2的图象向下平移5个单位长度得到函数y=4x2-5的图象.
课后提升
1.C 解析:∵一次函数y=ax+b的图象过第一、三、四象限,
∴a>0,b<0,
∴二次函数y=ax2+b的图象开口向上,与y轴交点在x轴下方,二次函数y=ax2+b对称轴是y轴;
满足上述条件的函数图象只有选项C.
故选C.
2.B 解析:∵二次函数y=x2-2,
∴抛物线开口向上,对称轴为y轴,顶点为(0,-2),
∴当x>0时,y随x的增大而增大,
∴A、C、D说法正确,不合题意,B说法错误,符合题意.
故选B.
3.y=-x2-1(答案不唯一) 解析:二次函数图象开口向下,并且与y轴交于点(0,-1),
∴a<0,c=-1.
∴该二次函数的表达式可以是y=-x2-1(答案不唯一).
4.≤a≤3 解析:当抛物线经过点(1,3)时,
把点(1,3)代入抛物线y=ax2,得a=3;
当抛物线经过点(3,1)时,
把点(3,1)代入抛物线y=ax2,得1=9a,
解得a=.
观察图象可知,当抛物线y=ax2与正方形有公共点时,a的取值范围为≤a≤3.
5.解:(1)把点A代入函数表达式,得a=-,解得a=-,
∴二次函数表达式为y=-x2.
把点B(3,m)代入函数表达式,得m=-×9=-.
(2)点C的坐标为.
(3)当x>0时,y随x的增大而减小.
(4)当x=0时,y有最大值为0.
6.解:(1)把点B(-2,4)代入二次函数y=ax2,得4a=4,解得a=1,
∴二次函数的表达式为y=x2;
把点A(1,m)代入二次函数表达式,得m=1,
把点A(1,1),B(-2,4)代入一次函数y=kx+b,得
解得
故一次函数的表达式为y=-x+2.
(2)∵一次函数与y轴交于点C(0,2),
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×2×1+×2×2=3.
7.解:(1)设点P(x,y),直线AB的表达式为y=kx+b,
将A(4,0),B(0,6)分别代入y=kx+b,
得k=-,b=6,
故y=-x+6.
∵△AOP的面积=×4×y=6,
∴y=3.
把y=3代入y=-x+6,得x=2,
∴P(2,3),
把P(2,3)代入到y=ax2+2中,得a=.
(2)设向下平移m个单位长度才能使得平移后的抛物线经过点A,则平移后的抛物线为y=x2+2-m,
把A(4,0)代入y=x2+2-m,得m=6,
∴向下平移6个单位长度才能使得平移后的抛物线经过点A.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=±x2的图象与性质
二次函数y=x2图象与性质
1.(2024绥化绥棱县期中)下列图象中,是二次函数y=x2的图象的是 ( )
A B C D
2.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是 ( )
A.y=3x B.y= C.y=- D.y=x2
3.关于函数y=x2的性质表达正确的一项是 ( )
A.无论x为任何实数,y值总为正
B.当x值增大时,y的值也增大
C.它的图象关于y轴对称
D.它的图象在第一、三象限内
4.(2024金华金东区月考)二次函数y=x2的图象的顶点坐标是 .
二次函数y=-x2的图象与性质
5.函数y=-x2的图象大致为 ( )
A B C D
6.对于抛物线y=x2与y=-x2,下列说法错误的是 ( )
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线各自关于y轴对称
D.两条抛物线没有公共点
7.已知二次函数y=-x2,当x>0时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)
8.已知点A(3,m)是抛物线y=-x2上的一点.
(1)m的值为 ;
(2)当x>0时,y随x的增大而 ;(填“增大”或“减小”)
(3)点A关于x轴的对称点B的坐标为 ,点A关于y轴的对称点C的坐标为 ,点A关于原点O的对称点D的坐标为 ;
(4)试判断点B,C,D中,哪些点在抛物线y=-x2上,哪些点在抛物线y=x2上
1.已知点(-5,y1),(3,y2),(4,y3)都在函数y=-x2的图象上,则 ( )
A.y1C.y32.如图,A,B为抛物线y=x2上两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则点A的坐标为 ( )
A.(3,3) B.(3,9)
C.(-3,3) D.(-3,9)
3.如图,图中圆的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 .
4.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2的图象如图所示.点A的坐标为(1,1),连接OA,过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2 025的坐标为 .
5.函数y=ax2(a≠0)与直线y=-3+2x交于点(1,b).
(1)求a,b的值;
(2)写出抛物线y=ax2的关系式,并指出顶点坐标,对称轴、最大(小)值;
(3)当x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小
6.已知一个正方形的边长为x,面积为y.
(1)求y与x之间的函数表达式,并在如图所示的平面直角坐标系中画出图象;
(2)根据图象,求出当y=1时,正方形的边长;
(3)根据图象,求出当x取何值时,y≥4.
7.(推理能力)如图,已知点A(1,a)在抛物线y=x2上.
(1)求点A的坐标;
(2)在x轴上是否存在点P,使得△OAP是等腰三角形 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:二次函数y=x2的图象是开口向上,顶点在原点的一条抛物线,
故A符合题意,
故选A.
2.B 解析:A.y=3x,y随x的增大而增大,故本选项错误;B.y=,当x>0时,y随x的增大而减小,故本选项正确;C.y=
-,当x>0时,y随x的增大而增大,故本选项错误;D.y=x2,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大,故本选项错误.故选B.
3.C 解析:二次函数y=x2的图象开口向上,对称轴为y轴.
故选C.
4.(0,0) 解析:二次函数y=x2的图象的顶点坐标是(0,0).
5.A 解析:二次函数y=-x2的图象对称轴为y轴,开口向下,顶点坐标为(0,0).
故选A.
6.D 解析:两个函数图象的顶点坐标都是(0,0),二次项的系数互为相反数,说明一个开口向上,一个开口向下.故两条抛物线的交点为原点,两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称.
故选D.
7.减小 解析:∵二次函数y=-x2的图象开口向下,对称轴为y轴,
∴当x>0时,y随x的增大而减小.
8.解:(1)-9 (2)减小 (3)(3,9) (-3,-9) (-3,9) (4)点C在抛物线y=-x2上,点B,D在抛物线y=x2上.
课后提升
1.B 解析:∵二次函数y=-x2的图象开口向下,对称轴为y轴,∴当x=±5时,y的值是相等的;当x>0时,y随x的增大而减小,∴y12.D 解析:∵A,B为抛物线y=x2上的两点,线段AB⊥y轴,AB=6,
∴点A与点B关于抛物线y=x2的对称轴y轴对称.
∵点A在第二象限,
∴点A的横坐标标为-3.
当x=-3时,y=(-3)2=9,
∴点A的坐标为(-3,9),
故选D.
3.2π 解析:根据二次函数图象的对称性,x轴下面的阴影部分的面积与上面的空白部分的面积是相等的,所以阴影部分的面积就是圆面积的一半,即S阴影=πr2=π×22=2π.
4.(-1 013,1 0132) 解析:∵点A的坐标为(1,1),∴易得直线OA对应的函数表达式为y=x,点A1的坐标为(-1,1).
∵A1A2∥OA,∴易得直线A1A2对应的函数表达式为y=x+2.联立得或∴点A2的坐标为(2,4).∴易得点A3的坐标为(-2,4).同理,点A4的坐标为(3,9),点A5的坐标为(-3,9),…,照此规律,点A2 025的横坐标为-[(2 025+1)÷2]=-1 013,纵坐标为(-1 013)2=1 0132.∴点A2 025的坐标为(-1 013,1 0132).
5.解:(1)把(1,b)代入y=-3+2x,得-3+2×1=b,b=-1.再把(1,-1)代入y=ax2,得a×12=-1,解得a=-1.
(2)抛物线的关系式为y=-x2,顶点坐标为(0,0),对称轴是y轴,最大值是0.
(3)当x>0时,y随x的增大而减小.
6.解:(1)y与x之间的函数表达式为y=x2(x>0),图象如图所示.
(2)当y=1时,即x2=1,解得x1=1,x2=-1(舍去),故正方形的边长为1.
(3)当x≥2时,y≥4.
7.解:(1)∵点A(1,a)在抛物线y=x2上,
∴a=12=1,
∴点A的坐标为(1,1).
(2)存在点P使△OAP是等腰三角形.
①如图1,OA=AP时,此时OP=1+1=2,即点P的坐标是(2,0);②如图2,此时AP=OP=1,则点P的坐标是(1,0);③如图3,OA=OP,此时符合条件的有点P3,P4,OA=OP3=OP4=,则点P的坐标是(,0)或(-,0).故点P的坐标为(2,0)或(1,0)或(,0)或(-,0).
图1 图2 图3第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
用配方法确定二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴与顶点坐标
1.抛物线y=-x2+6x+8的对称轴是 ( )
A.x=2 B.x=3
C.x=-3 D.x=-4
2.二次函数y=-4x2+16x-19的图象的顶点坐标是 ( )
A.(2,-3) B.(2,3)
C.(3,-2) D.(3,2)
3.已知函数y=(m-2)x|m|+8x-5是二次函数.
(1)求m的值;
(2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其中b>0,c<0,则该函数的图象可能是 ( )
A B C D
5.(2024淄博高青县期末)对二次函数y=x2+2x+3的性质描述正确的是 ( )
A.函数图象开口向下
B.当x<0时,y随x的增大而减小
C.该函数图象的对称轴在y轴左侧
D.该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
6.已知二次函数y=-x2+8x+4,当x>k时,y随x的增大而减小,则k的取值范围是 .
7.已知二次函数的表达式是y=x2-2x-3.
(1)与y轴的交点坐标是 ,顶点坐标是 ;
(2)在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线;
x … …
y … …
(3)结合图象回答:当-2抛物线y=ax2+bx+c的平移
8.将二次函数y=x2-6的图象向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得图象的表达式为 ( )
A.y=x2-2x-5 B.y=x2+2x-9
C.y=x2-2x-8 D.y=x2+2x-5
9.将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过点 ( )
A.(-2,2) B.(-1,1)
C.(0,6) D.(1,-3)
1.一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
A B C D
2.已知二次函数y=ax2+4x+1(a为常数,且a>0),下列结论正确的是 ( )
A.函数图象一定经过第一、二、三象限
B.函数图象可能经过第四象限
C.当x<0时,y随x的增大而减小
D.当x>0时,y随x的增大而增大
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:①2a+b=0;②abc<0;
③9a+3b+c>0;④3a+c<0;⑤若m≠1,则m(am+b)-aA.1 B.2 C.3 D.4
4.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,则一次函数y=acx+b的图象不经过第
象限.
5.若抛物线y=x2-3x+ax+2的对称轴是y轴,则a的值是 .
6.(2024宿迁沭阳县模拟)已知二次函数y=-x2+2mx+1,当x>4时,函数值y随x的增大而减小,则m的取值范围是 .
7.如图,已知二次函数y=-x2+4x+c的图象经过点A(2,0).
(1)求c的值;
(2)若二次函数的图象与y轴交于点B,且该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积.
8.(抽象能力)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x-2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A,B两点,并与x轴的正半轴交于点C.
(1)求a,b满足的关系式及c的值;
(2)当a=时,若点P是抛物线对称轴上的一个动点,求△ABP周长的最小值.
【详解答案】
课堂达标
1.B 解析:由题意,得抛物线y=-x2+6x+8的对称轴为直线x=-=-=3,
故选B.
2.A 解析:∵y=-4x2+16x-19=-4(x-2)2-3,
∴二次函数y=-4x2+16x-19的图象的顶点坐标为(2,-3),
故选A.
3.解:(1)∵函数y=(m-2)x|m|+8x-5是二次函数,
∴
解得m=-2.
(2)由(1),得y=-4x2+8x-5,
∴y=-4x2+8x-5=-4(x2-2x+1)-1=-4(x-1)2-1,
∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-1).
4.D 解析:∵c<0,
∴抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上,
∴A、C排除;
∵B中抛物线开口向上,
∴a>0,
当a>0,b>0时,对称轴在y轴左侧,
∴B排除;
∵D中抛物线开口向下,
∴a<0,
当a<0,b>0时,对称轴在y轴右侧,
∴D符合题意,该函数的图象可能是D.
故选D.
5.C 解析:y=x2+2x+3=(x+2)2+1,对称轴为直线x=-2.
A.a=>0,开口向上,本选项不符合题意;
B.当-2C.该函数图象的对称轴在y轴左侧,本选项符合题意;
D.该函数图象与y轴的交点为(0,3),位于y轴的正半轴,本选项不符合题意;
故选C.
6.k≥4解析:y=-x2+8x+4=-(x-4)2+20,
∴抛物线的对称轴为直线x=4.
∵a=-1<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x>4时,y的值随x值的增大而减小.
∵当x>k时,y随x的增大而减小,
∴k的取值范围是k≥4.
7.解:(1)(0,-3) (1,-4)
(2)列表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
图象如图所示.
(3)-4≤y<5
8.C 解析:根据题意可得表达式为:y=(x-1)2-3-6=x2-2x-8.
故选C.
9.B 解析:∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到抛物线表达式为y=-(x+1-1)2+4-2,即y=-x2+2,
把x=-2代入y=-x2+2,得y=-2,
∴选项A不符合题意;
把x=-1代入y=-x2+2,得y=1,
∴抛物线经过点(-1,1),选项B符合题意;
把x=0代入y=-x2+2,得y=2,
∴选项C不符合题意;
把x=1代入y=-x2+2,得y=1,
∴选项D不符合题意.
故选B.
课后提升
1.B 解析:A选项,根据一次函数图象的位置可知,a>0,b>0,
而抛物线开口向下,故A选项不符合题意;
B选项,根据一次函数图象的位置可知,a<0,b>0,
∴抛物线开口向下,->0,抛物线的对称轴->0,B选项符合题意;
C选项,根据一次函数图象的位置可知,a<0,b<0,
∴抛物线开口向下,-<0,抛物线的对称轴-<0,C选项不符合题意;
D选项,根据一次函数图象的位置可知,a>0,b>0.∴抛物线开口向上,-<0,抛物线的对称轴-<0,D选项不符合题意;故选B.
2.D 解析:∵a>0,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=-<0,与y轴的交点坐标为(0,1),
∴当x>0时,y随x的增大而增大,当x<-时,y随x的增大而减小,函数图象一定不经过第四象限,不一定经过第三象限,
故只有D选项符合题意.
故选D.
3.D 解析:∵抛物线对称轴为直线x=-=1,
∴b=-2a,
∴2a+b=0,①正确,符合题意;
∵抛物线开口向下,
∴a<0.
∵b=-2a,
∴b>0.
∵抛物线与y轴交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,②正确,符合题意;
由图象可得当x=-1时,y<0,根据抛物线对称性可得当x=3时,y<0,
∴9a+3b+c<0,③错误,不符合题意;
∵x=-1,y<0,
∴a-b+c<0.
∵b=-2a,
∴3a+c<0,④正确,符合题意;
∵x=1时,y取最大值,
∴am2+bm+c≤a+b+c,
∴m(am+b)-a故选D.
4.一 解析:由题图可得,
a>0,b<0,c<0,
∴ac<0,
∴一次函数y=acx+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.
5.3 解析:∵抛物线y=x2-3x+ax+2的对称轴是y轴,
∴-=0.∴a=3.
6.m≤4 解析:∵二次函数y=-x2+2mx+1中,a=-1<0,
∴此函数图象开口向下.
∵当x>4时,函数值y随x的增大而减小,
∴二次函数的对称轴x=-≤4,
∴-≤4,即m≤4.
7.解:(1)把A(2,0)代入y=-x2+4x+c,得c=-6.
(2)由(1)可知该二次函数为y=-x2+4x-6.由y=-x2+4x-6,
得点B的坐标为(0,-6),∴OB=6.
∵抛物线的对称轴为直线x=-=4,
∴点C的坐标为(4,0),∴OC=4,∴AC=OC-OA=4-2=2,
∴△ABC的面积为AC·OB=×2×6=6.
8.解:(1)直线y=-x-2中,当x=0时,y=-2,
∴B(0,-2).当y=0时,-x-2=0,
∴x=-2.∴A(-2,0).将A(-2,0).B(0,-2)代入抛物线y=ax2+bx+c(a>0)中,得∴2a-b=1,c=-2.
(2)当a=时,2×-b=1,
∴b=-.∴抛物线的表达式为y=x2-x-2=(x-1)2-.∴抛物线的对称轴是直线x=1.
由对称性可得C(4,0),要使△ABP的周长最小,只需AP+BP最小即可.如图,连接BC交直线x=1于点P.∵点A与点C关于直线x=1对称,∴AP+BP=PC+BP=BC,此时△ABP的周长最小,∴△ABP的最小周长为AB+BC.在
Rt△AOB中,AB==2,在Rt△BOC中,BC==2,
∴△ABP周长的最小值为2+2.
