3 确定二次函数的表达式
第1课时 由两点确定二次函数的表达式
已知任意一点或两点坐标求二次函数的表达式
1.抛物线y=x2+x+c与y轴的交点坐标为(0,-3),则抛物线的表达式为 ( )
A.y=x2+x+3 B.y=x2+x-3
C.y=x2+3x+c D.y=x2-3x+c
2.设二次函数y=ax2+bx+2(a≠0,b是实数),已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示,则该二次函数的表达式为 ( )
x … -1 0 1 2 3 …
y … 5 m n 2 p …
A.y=2x2-x+2 B.y=x2-2x+2
C.y=-2x2-5x+2 D.y=-x2+2x+2
3.(2024绵阳游仙区期中)已知二次函数y=x2+kx-k的图象经过点(2,3),则该二次函数的表达式为 .
4.已知二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象如图所示.
(1)写出c的值;
(2)求出二次函数的表达式.
已知顶点和另一点坐标求二次函数的表达式
5.一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为 ( )
A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4
C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4
6.如图,抛物线的表达式为 ( )
A.y=x2-1 B.y=x2+1
C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2
7.如图是函数y=-(x-h)2+k的图象,则其表达式为 .
8.(2024淮北期末)某二次函数的图象的顶点坐标是(-2,1),且经过点(1,-8),求这个二次函数的表达式.
1.(2024六安霍邱县期中)已知某抛物线与二次函数y=-5x2的图象的开口大小相同,开口方向相反,且顶点坐标为(1,2 025),则该抛物线对应的函数表达式为 ( )
A.y=5(x-1)2+2 025
B.y=-5(x-1)2+2 025
C.y=5(x+1)2+2 025
D.y=-5(x+1)2+2 025
2.形状与抛物线y=-x2-2相同,对称轴是直线x=-2,且过点(0,3)的抛物线是 ( )
A.y=x2+4x+3
B.y=-x2-4x+3
C.y=-x2+4x+3
D.y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
3.已知抛物线的顶点坐标为(2,1),且经过点(1,4),则抛物线的表达式为 .
4.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1,-2)和B(0,-5).
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标;
(2)当y≤-2时,请根据图象直接写出x的取值范围.
5.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线表达式和顶点坐标;
(2)观察图象:
①当0②点P为抛物线上一点,若S△ABP=24,求出此时P点的坐标.
6.(抽象能力)如图,抛物线y=-x2+bx+c经过点,与y轴交于点B(0,5),点E为第一象限内抛物线上一动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直线y=kx-4与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点D,过点E作直线EF⊥x轴,交AD于点F,连接BE.当BE=DF时,求点E的横坐标.
【详解答案】
课堂达标
1.B 解析:∵抛物线y=x2+x+c与y轴的交点坐标为(0,-3),
∴c=-3,
∴抛物线的表达式为y=x2+x-3.
故选B.
2.B 解析:由表格可得,二次函数y=ax2+bx+2的图象过(-1,5)和(2,2),
∴解得
∴该二次函数的表达式为y=x2-2x+2.
故选B.
3.y=x2-x+1 解析:把点(2,3)代入y=x2+kx-k,得4+2k-k=3,
解得k=-1,
∴该二次函数的表达式为y=x2-x+1.
4.解:(1)∵二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象经过点(0,3),
∴将点(0,3)代入y=ax2+2x+c(a≠0),得
c=3.
(2)二次函数的表达式为y=ax2+2x+3(a≠0).
∵函数图象经过点A(3,0),
∴把点A(3,0)代入y=ax2+2x+3(a≠0),得9a+6+3=0,
解得a=-1,
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.
5.C 解析:设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,∵抛物线顶点坐标为(2,4),
∴抛物线表达式为y=a(x-2)2+4.
将(0,-4)代入上式,得-4=a(0-2)2+4,解得a=-2,
故抛物线的表达式为y=-2(x-2)2+4.
故选C.
6.C 解析:由图知抛物线顶点坐标为(1,0),
故设抛物线表达式为y=a(x-1)2.
又∵抛物线交y轴于点(0,1),
∴1=a(0-1)2,
解得a=1,
∴抛物线的表达式为y=(x-1)2,
故选C.
7.y=-(x+1)2+5 解析:由题图可知抛物线的顶点坐标为(-1,5),
∴函数的表达式为y=-(x+1)2+5.
8.解:根据题意,设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+1,
把(1,-8)代入,得a(1+2)2+1=-8,
解得a=-1,
∴二次函数的表达式为y=-(x+2)2+1.
课后提升
1.A 解析:∵抛物线的顶点坐标为(1,2 025),
∴抛物线的表达式为y=a(x-1)2+2 025.
∵抛物线y=a(x-1)2+2 025与二次函数y=-5x2的图象的开口大小相同,开口方向相反,
∴a=5,
∴抛物线的表达式为y=5(x-1)2+2 025.
故选A.
2.D 解析:设所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c,由抛物线过点(0,3),可得c=3,
由抛物线形状与y=-x2-2相同,
分为两种情况:①开口向下,则a=-1,
又∵对称轴为直线x=-2,
∴x=-=-2,∴b=-4,
由此可得出y=-x2-4x+3.
②开口向上,则a=1,
又∵对称轴是直线x=-2,
∴x=-=-2,∴b=4,
由此可得出y=x2+4x+3,
综合上述,符合条件的是选项D,
故选D.
3.y=3(x-2)2+1 解析:∵抛物线的顶点坐标为(2,1),
∴设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+1.
把点(1,4)代入得4=a(1-2)2+1,
∴a=3,
∴抛物线的表达式为y=3(x-2)2+1.
4.解:(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代入y=x2+bx+c,得
解得
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5.
∵y=x2+2x-5=(x+1)2-6,
∴顶点坐标为(-1,-6).
(2)如图:
∵点A(1,-2)关于对称轴直线x=-1的对称点为C(-3,-2),
∴当y≤-2时,x的取值范围是-3≤x≤1.
5.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,
∴解得
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3,
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴顶点坐标为(1,-4).
(2)①当0②∵A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4.
∵S△ABP=24,
∴AB·|yP|=24,
∴|yP|=12,
∵抛物线顶点坐标为(1,-4),
∴yP=12.
∴当yP=12时,x2-2x-3=12,
解得x1=-3,x2=5,
∴点P的坐标为(-3,12)或(5,12).
6.解:(1)把和(0,5)代入y=-x2+bx+c中,得解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+5.
(2)把A(6,0)代入y=kx-4中,得6k-4=0,解得k=,
∴直线的表达式为y=x-4.
令x=0,则y=-4,∴D(0,-4).
如图,分别过E,F向y轴作垂线,垂足为G,H,
根据题意可得EG=FH,
∵EG⊥y轴,FH⊥y轴,
∴△BEG和△DFH均为直角三角形.
在Rt△BEG和Rt△DFH中,
∴Rt△BEG≌Rt△DFH(HL),
∴BG=DH.
设E,
则F,
∴G,H,
∴BG=,
DH=,
则有t2-t=t或t2-t=-t,
解得t=0(舍去),或t=,或t=1.
故点E的横坐标为或1.第2课时 由三点确定二次函数的表达式
设交点式求二次函数表达式
1.如图,该二次函数的表达式为 ( )
A.y=x2- B.y=4-x2 C.y=-x2+3 D.y=(3-x2)
2.已知抛物线过A(-2,0),B(1,0),C(0,2)三点,则其表达式为 .
3.若抛物线y=ax2+c与抛物线y=-x2的形状相同,且经过点A(1,0),则它的表达式为 .
4.已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象过点(-1,0),(3,0).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求当-2≤x≤2时,y的最大值与最小值的差.
设一般式求二次函数表达式
5.如果二次函数y=ax2+bx,当x=1时,y=2;当x=-1时,y=4,则 ( )
A.a=3,b=-1 B.a=3,b=1
C.a=-3,b=1 D.a=-3,b=-1
6.已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1),则其表达式为 ( )
A.y=-6x2+3x+4 B.y=-2x2+3x-4
C.y=x2+2x-4 D.y=2x2+3x-4
7.经过(1,2.6),(4,5),(2,3)三点的二次函数的表达式是 .
8.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,11)和点(-1,-7),则它的表达式为 .
9.(2024绵阳涪城区期中)若二次函数y=ax2+bx-(a+b)的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的两个点,则该二次函数的表达式为 .
10.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
(1)求该二次函数的表达式;
(2)若点A(-1,y1),B(4,y2)在这个函数的图象上,则y1 y2.(填“>”“<”或“=”)
1.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,-2).它与反比例函数y=-(x<0)的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的表达式为 ( )
A.y=x2-x-2 B.y=x2-x+2
C.y=x2+x-2 D.y=x2+x+2
2.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的表达式为 ( )
A.y=x2-x-2 B.y=-x2+x+2
C.y=x2-x-2或y=-x2+x+2 D.y=-x2-x-2或y=x2+x+2
3.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),点P是直线AC下方抛物线上的点(不与A,C重合),连接PA,PC,设点P的横坐标为m,△PAC的面积为S,则S与m之间的函数关系式为 ;当m= 时,S有最大值 ( )
A.S=-2m2+10m,5 B.S=-4m2+20m,
C.S=2m2-10m,5 D.S=-2m2+10m,
4.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=2时,y有最小值-1,且抛物线与x轴两交点间的距离为2,则此二次函数的表达式为 .
5.如图,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(-3,0),与y轴交于点C,点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO,则此抛物线的表达式是 .
6.如图,二次函数的图象过A,B,C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC.
(1)求点C的坐标;
(2)求该二次函数的表达式.
7.(几何直观)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-2,0),C(4,0)两点,和y轴相交于点B,连接AB,BC.
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线BC上方的抛物线上,找一点D,使S△BCD∶S△ABC=1∶4,并求出此时点D的坐标.
【详解答案】
课堂达标
1.C 解析:∵图象过点(-2,0),(2,0)和(0,3),
∴设该二次函数的表达式为y=a(x-2)(x+2).将(0,3)代入,得-4a=3,解得a=-,
∴抛物线表达式为y=-(x-2)(x+2)=-x2+3.
故选C.
2.y=-x2-x+2 解析:设抛物线表达式为y=a(x+2)(x-1),
把C(0,2)代入,得a×2×(-1)=2,解得a=-1,
∴抛物线表达式为y=-(x+2)(x-1),即y=-x2-x+2.
3.y=-x2+或y=x2-
解析:∵抛物线y=ax2+c与抛物线y=-x2的形状相同,对称轴为y轴,且过点(1,0),
∴a=±,与x轴的另一交点为(-1,0).
∴抛物线表达式为y=±(x+1)(x-1),
∴这个二次函数的表达式为y=-x2+或y=x2-.
4.解:(1)由已知可得二次项系数为1,且过点(-1,0),(3,0),则二次函数的表达式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线开口向上,顶点坐标为(1,-4),
∴x=1时,y的最小值为-4,
∵1-(-2)>2-1,
∴x=-2时,y=4+4-3=5为最大值,
∴当-2≤x≤2时,y的最大值与最小值的差为5-(-4)=9.
5.A 解析:根据题意,得二次函数y=ax2+bx的图象过点(1,2),(-1,4),∴将其代入二次函数表达式,
得解得
故选A.
6.D 解析:设所求函数的表达式为y=ax2+bx+c,
把(-1,-5),(0,-4),(1,1)分别代入,
得解得
故所求的函数的表达式为y=2x2+3x-4.
故选D.
7.y=0.2x2-0.2x+2.6 解析:设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,
把(1,2.6),(4,5),(2,3)代入,得解得
∴抛物线表达式为y=0.2x2-0.2x+2.6.
8.y=x2+5x-3 解析:∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,11)和点(-1,-7),
∴解得
∴二次函数的表达式为y=x2+5x-3.
9.y=3x2-2x-1 解析:当x=1时,y=a+b-a-b=0,
∴C(1,1)不在二次函数图象上.
把A(-1,4),B(0,-1)分别代入y=ax2+bx-(a+b),得解得
∴二次函数的表达式为y=3x2-2x-1.
10.解:(1)将点(0,5),(1,2),(2,1)分别代入函数表达式,得
解得
∴该二次函数表达式为y=x2-4x+5.
(2)>
课后提升
1.A 解析:将A(m,4)代入反比例函数表达式,得4=-,即m=-2,
∴点A的坐标为(-2,4).
将A(-2,4),B(0,-2)代入二次函数表达式,
得
解得
则二次函数表达式为y=x2-x-2.
故选A.
2.C 解析:抛物线与y轴交于点C,且OC=2,则C点的坐标是(0,2)或(0,-2).
当C点坐标是(0,2)时,图象经过三点,可以设抛物线表达式是y=ax2+bx+c,
把(2,0),(-1,0),(0,2)分别代入表达式,
得解得
则函数表达式是y=-x2+x+2;
同理可以求得当C点坐标是(0,-2)时,抛物线表达式是y=x2-x-2.
故这条抛物线的表达式为y=-x2+x+2或y=x2-x-2.
故选C.
3.D 解析:设抛物线的表达式为y=a(x-1)·(x-5),
过点P作PQ⊥x轴于点H,交AC于点Q,如图所示.
把(0,4)代入y=a(x-1)(x-5),
∴a=,
∴抛物线的表达式为y=x2-x+4.
设直线AC的表达式为y=kx+b,
把(0,4)和(5,0)代入y=kx+b,
得解得
∴直线AC的表达式为y=-x+4.
把x=m分别代入y=x2-x+4和y=-x+4,
∴Pm,m2-m+4,Qm,-m+4,
∴PQ=-m+4-m2-m+4=-m2+4m,
∴S=S△APQ+S△CPQ
=PQ·OH+PQ·CH
=PQ(OH+CH)
=PQ·OC
=×5
=-2m2+10m
=-2(0又∵a=-2<0,
当m=时,
S的最大值为.
故选D.
4.y=x2-4x+3 解析:根据题意,知抛物线y=ax2+bx+c过点(1,0),(2,-1),(3,0),
∴
解得
故这个二次函数的表达式为y=x2-4x+3.
5.y=-x2+x+4 解析:∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点C,
∴点C的坐标为(0,4),
∴OC=4.
∵A(-3,0),
∴OA=3,
∴AC=5.
∵AB平分∠CAO,
∴∠BAC=∠BAO.
∵BC∥x轴,
∴∠CBA=∠BAO,
∴∠BAC=∠CBA,
∴CB=CA=5,
∴点B的坐标为(5,4).
把A(-3,0),B(5,4)代入y=ax2+bx+4,
得解得
∴抛物线表达式为y=-x2+x+4.
6.解:(1)∵点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),
∴AB=1+4=5.
∵AB=OC,
∴OC=5.
∵点C在y轴正半轴上,
∴C点的坐标为(0,5).
(2)设过A,B,C三点的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,
把A,B,C的坐标代入,得
解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+5.
7.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-2,0),C(4,0)两点,
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+4.
(2)由y=-x2+x+4可知B(0,4),
∵点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(4,0),
∴AC=6,OB=4,
∴S△ABC=×6×4=12.
∵S△BCD∶S△ABC=1∶4,
∴S△BCD=S△ABC=3.
如图所示,设在直线BC上方的抛物线上一点D的坐标为,作DE⊥x轴于点E,则
S△BCD=S梯形BOED+S△DCE-S△BOC=
·x+(4-x)·-×4×4=3,
即x2-4x+3=0,
解得x1=1,x2=3.
∴点D的坐标为或.
