第2课时 利用二次函数解决利润问题
简单销售问题中的最大利润
1.某旅行社要接团去外地旅游,经计算所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y=
-2x2+200x+2 500,要使所获营业额最大,则此旅行团应有 ( )
A.30人 B.40人 C.50人 D.55人
2.某服装店购进一批单价为50元的衬衫,如果按90元销售,那么每天可销售20件.经调查发现,这种衬衫的售价每降低1元,其销售量相应增加2件.当降价 元时,该服装店的销售利润最大.
3.“端午节”期间,某超市销售甲、乙两款粽子,甲、乙两款粽子的进价分别是每袋35元,45元,这个超市用4 300元购进甲、乙两款粽子共100袋.
(1)购进甲、乙两款粽子各是多少袋
(2)市场调查发现:乙款粽子每天的销售量m(袋)与销售单价n(元)满足如下关系:m=-n+105(65≤
n≤105),设乙款粽子每天的销售利润是w元,当乙款粽子的销售单价是多少元时,乙款粽子的销售利润最大 最大利润是多少元
“每……每……”的销售问题
4.(2024周口川汇区月考)将商品按单件利润为20元售出时,能卖出100个.已知该商品单价每上涨1元,其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时,获得的利润为y元,则下列关系式正确的是 ( )
A.y=(20+x)(100-5x) B.y=(20-x)(100-5x)
C.y=(x-20)(100+5x) D.y=(20+x)(100+5x)
5.飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目,只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼.某校公益社团购进一批橡胶飞盘进行销售,将所得全部利润用于开展公益活动,已知该橡胶飞盘进价为每个16元,销售中平均每天销售量y(个)与销售单价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表所示,其中16≤x≤26,且x为整数.
x … 18 20 22 24 …
y … 70 60 50 40 …
(1)求出y与x之间的函数表达式;
(2)在销售过程中,当每个橡胶飞盘售价为多少元时,每天销售利润最大 最大利润是多少
1.某商品现在售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,有下列结论:①设每件涨价x元,则每星期实际卖出(300-10x)件;②在降价的情况下,降价5元,即定价55元时,利润最大,最大利润是6 250元;③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知,定价57.5元时利润最大;
其中,正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.商店出售某品牌护眼灯,每台进价为40元,在销售过程中发现,月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,规定销售单价不低于进价,且不高于进价的2倍,其部分对应数据如下表所示:
销售单价x/元 … 50 60 70 …
月销量y/台 … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大 最大月利润为多少元
3.某超市每天购进一批成本价为4元/kg的大米,以不低于成本价且不超过7元/kg的价格销售.当每千克售价为5元时,每天售出大米950 kg;当每千克售价为6元时,每天售出大米900 kg,通过分析销售数据发现:每天销售大米的数量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系.
(1)请直接写出y与x的函数关系式;
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时,每天销售该大米的利润可达到1 800元
(3)当每千克售价定为多少元时,每天获利最大 最大利润为多少
4.(应用意识)某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售,销售价格不低于22元/kg,不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)当销售价格定为多少时,该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大 最大销售利润是多少 【销售利润=(销售价格-采购价格)×销售量】
【详解答案】
课堂达标
1.C 解析:∵y=-2x2+200x+2 500=-2(x-50)2+7 500,
∴当x=50时,y最大=7 500.
故选C.
2.15 解析:设降价x元,每天所获利润为y元,
则y=(20+2x)(90-x-50)
=(20+2x)(40-x)
=-2x2+60x+800
=-2(x-15)2+1 250,
∵-2<0,
∴当x=15时,y有最大值,
∴当降价15元时,该服装店的销售利润最大.
3.解:(1)设购进甲、乙两款粽子各是x袋,y袋,
根据题意,得
解得
答:购进甲、乙两款粽子各是20袋,80袋.
(2)w=(n-45)(-n+105)=
-n2+150n-4 725,
∴对称轴为n=-=75.
∵抛物线开口向下,
∴当n=75元时,w最大=(75-45)×(-75+105)=900(元).
答:当乙款粽子的销售单价是75元时,乙款粽子的销售利润最大,最大利润是900元.
4.A 解析:根据题意可得,利润为每个(20+x)元,销售量为(100-5x)个,
那么y=(20+x)(100-5x),
故选A.
5.解:(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b,代入点(18,70),(20,60),
可得,解得
∴y与x的函数表达式为y=-5x+160.
(2)设日销售利润为w元,则w=(x-16)·(-5x+160)=-5x2+240x-2 560=
-5(x-24)2+320,
∵-5<0,
∴抛物线开口向下.
∵16≤x≤26,
∴当x=24时,w最大值=320.
答:每个橡胶飞盘售价为24元时,每天销售利润最大,最大利润为320元.
课后提升
1.B 解析:①∵每涨价1元,每星期要在卖出300件的基础上少卖出10件,
∴每件涨价x元,每星期实际可卖出(300-10x)件.
故①正确;
②设每件降价m元,每星期售出商品的利润为w元,则w=(60-40-m)(300+20m)=-20m2+100m+6 000,
∵-20<0,
∴m=-=2.5时,利润最大.最大利润为6 125元.
故②错误;
③设涨价后的利润为y元,
y=(60-40+x)(300-10x)=-10x2+100x+6 000=-10(x-5)2+6 250.
∴在涨价的情况下,每星期售出商品的最大利润是6 250元.
∵6 125<6 250,
∴综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知,定价65元时利润最大.
故③错误.
∴正确结论的个数是1.
故选B.
2.解:(1)设月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系式为y=kx+b,
把(50,90)和(60,80)代入,
得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y=-x+140.
(2)∵规定销售单价不低于进价,且不高于进价的2倍,
∴40≤x≤80.
设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元,
根据题意,得w=(x-40)y=(x-40)·(-x+140)=-x2+180x-5 600=-(x-90)2+2 500,
∵-1<0,∴当x<90时,w随x的增大而增大,
∴当护眼灯销售单价定为80元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大,最大月利润为2 400元.
3.解:(1)y与x的函数关系式为y=-50x+1 200(4≤x≤7).
(2)∵定价为x元,∴每千克利润为(x-4)元.
由(1)知每天销售量y=-50x+1 200(4≤x≤7),
则(x-4)(-50x+1 200)=1 800.
解得x1=22(舍去),x2=6,
∴超市将该大米每千克售价定为6元时,每天销售该大米的利润可达到1 800元.
(3)设利润为w元,
根据题意,得w=(x-4)(-50x+1 200),
即w=-50x2+1 400x-4 800=-50(x-14)2+5 000,
∵a=-50<0,对称轴为x=14,
∴当x<14时,w随x的增大而增大.
又∵4≤x≤7,∴x=7时,w最大值=-50×(7-14)2+5 000=2 550(元),
∴当每千克售价定为7元时,每天获利最大,最大利润为2 550元.
4.解:(1)当22≤x≤30时,设y关于x的函数表达式为y=kx+b,
将(22,48),(30,40)代入函数表达式,得解得
∴y关于x的函数表达式为y=-x+70;
当30将(30,40),(45,10)代入函数表达式,得解得
∴y关于x的函数表达式为y=-2x+100.
综上所述,y关于x的函数表达式为y=
(2)设利润为w元,当22≤x≤30时,w=(x-20)(-x+70)=-x2+90x-1 400=-(x-45)2+625,
∵在22≤x≤30范围内,w随x的增大而增大,
∴当x=30时,w取得最大值为400;
当30当x=35时,w取得最大值为450;
∵450>400,∴当销售价格为35元/kg时,利润最大,为450元.4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决面积问题、抛物线型问题
图形面积的最值问题
1.如图,四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=8,则四边形ABCD的面积最大值是 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.(2024杭州西湖区二模)已知周长为a cm(a为定值)的矩形的一边长y(cm)与它的邻边长x(cm)之间的函数图象如图所示.
(1)写出a的值和y关于x的函数表达式;
(2)当x为何值时,该矩形的面积最大 最大面积是多少
抛物线问题
3.考试前,小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析,发现实心球飞行路线是一条抛物线,如图,若不考虑空气阻力,实心球的飞行高度y(单位:m)与飞行的水平距离x(单位:m)之间具有的函数关系为y=-x2+x+,则小康这次实心球训练的成绩为 ( )
A.14 m B.12 m C.11 m D.10 m
4.桥拱截面可视为抛物线的一部分,在某一时刻,桥拱内的水面宽OA=8 m,桥拱顶点B到水面的距离是4 m.
(1)按如图所示建立平面直角坐标系,求桥拱部分抛物线的函数表达式;
(2)一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来,当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时,桥下水位刚好在OA处,有一名身高1.68 m的工人站立在打捞船正中间,他的头顶是否会触碰到桥拱,请说明理由(假设船底与水面齐平).
1.如图,正方形ABCD中,AB=4,P为对角线BD上一动点,F为射线AD上一点,若AP=PF,则△APF的面积最大值为 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
2.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为
3.05 m,在如图所示的平面直角坐标系中,此抛物线的表达式为 .
3.(2024营口期中)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿边AB以1 cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿边BC以2 cm/s的速度向点C移动.当点P到点B后,运动停止,设运动时间为x(s).
(1)当PQ=4 cm时,求x的值;
(2)当x为何值时,△BPQ的面积最大 最大是多少
4.(应用意识)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机,通过实验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m)、飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的数据如表.
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
问题解决 如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离;
(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
【详解答案】
课堂达标
1.C 解析:设AC=x,则BD=8-x,
则四边形ABCD的面积=AC×BD=×x×(8-x)=-(x-4)2+8,
∴当x=4时,四边形ABCD的面积最大,最大值是8.
故选C.
2.解:(1)由题意a=2(x+y).
∵当x=12时,y=10,
∴a=2×(12+10)=44.
∴2(x+y)=44,
∴y=22-x.
(2)由(1)知,y=22-x,
∴S矩形=xy=x(22-x)=-x2+22x(22>x>0),
∴当x=-=11时,S矩形最大=-112+22×11=121.
答:当x=11 cm时,该矩形的面积最大,最大面积是121 cm2.
3.B 解析:当y=0时,则-x2+x+=0,
解得x=-2(舍去)或x=12.
∴小康这次实心球训练的成绩为12 m,
故选B.
4.解:(1)由题意,得水面宽OA是8 m,桥拱顶点B到水面的距离是4 m,
结合函数图象可知,顶点B(4,4),点O(0,0),
设二次函数的表达式为y=a(x-4)2+4,
将点O(0,0)代入函数表达式,
解得a=-,
∴桥拱部分抛物线的函数表达式为y=-(x-4)2+4,
即y=-x2+2x(0≤x≤8).
(2)工人的头顶不会触碰到桥拱,理由如下:
∵小船距O点0.4 m,小船宽1.2 m,工人直立在小船中间,
由题意,得工人距O点的距离为0.4+×1.2=1(m),
∴将x=1代入y=-x2+2x,
得y=1.75.
∵1.75 m>1.68 m,
∴此时工人的头顶不会触碰到桥拱.
课后提升
1.C 解析:如图,作PM⊥AD于点M.
∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠ADB=45°,
∴△PDM是等腰直角三角形,
∴PM=DM.
设PM=DM=x,则AM=4-x.
∵AP=PF,
∴AM=FM=4-x,
∴AF=2(4-x).
∵S△APF=AF·PM,
∴S△APF=×2(4-x)·x=-x2+4x=-(x-2)2+4,
∴当x=2时,S△APF有最大值4,
故选C.
2.y=-0.2x2+3.5 解析:∵当球运动的水平距离为2.5 m时,达到最大高度为3.5 m,
∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5),
∴设此抛物线的表达式为y=ax2+3.5.
由题图可知,篮圈中心与y轴的距离为4-2.5=1.5(m),且篮圈中心距离地面高度为3.05 m,
∴篮圈中心的坐标为(1.5,3.05),代入y=ax2+3.5,得3.05=a×1.52+3.5,
∴a=-0.2,
∴此抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5.
3.解:(1)由题意,得BP=(6-x)cm,BQ=2x cm,
在Rt△BPQ中,由勾股定理,得BP2+BQ2=PQ2,
则(6-x)2+(2x)2=(4)2,
解得x1=0.4,x2=2,
故满足条件的x的值为0.4或2.
(2)由题意,得△BPQ的面积S△BPQ=PB·BQ=(6-x)·2x=-(x-3)2+9.
∵-1<0,
∴当x=3时,△BPQ的面积最大,最大值是9 cm2.
4.解:探究发现:x关于t的函数表达式为x=5t,y关于t的函数表达式为y=-t2+12t.
问题解决:(1)依题意,得-t2+12t=0.
解得t1=0(舍),t2=24,
当t=24时,x=120.
答:飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m,飞机相对于安全线的飞行高度y'=-t2+12t+n,
∵125∴25在y'=-t2+12t+n中,
当t=25,y'=0时,n=12.5;
当t=26,y'=0时,n=26.
∴12.5答:发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.
