第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
求一元二次方程的近似根
1.下表给出了二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值:
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … -1 -0.67 -0.29 0.14 0.62 …
那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是 ( )
A.1.07 B.1.17 C.1.27 D.1.37
2.如图,以(1,-4)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点,则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的取值范围是 ( )
A.23.如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的一些对应值,则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解x1的取值范围是 ( )
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -11 -5 -1 1 1 …
A.-34.二次函数y=-x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1A.t>-5 B.-55.二次函数y=2x2+4x-1的图象如图所示,若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2,则方程的另一个近似根为 .(结果精确到0.1)
6.(2024鞍山期中)对于抛物线y=x2-4x-6.
(1)将抛物线的表达式化为顶点式;
(2)完善下列表格中的数据,在平面直角坐标系中利用五点法画出此抛物线;
x … 0 2 6 …
y … …
(3)结合图象,当-2(4)结合图象及所学习的知识,估算x2-4x-6=0的两个根为 .(结果精确到0.1)
1.如图,点A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个解可能是 ( )
A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45
2.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=2,则下列说法中正确的有 ( )
①abc<0;②>0;③16a+4b+c>0;④5a+c>0;⑤方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中一个解的取值范围为-2A.1个 B.3个 C.4个 D.5个
3.(2024武汉硚口区模拟)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0.下列结论:①b<0;②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根在-1到0之间;③当x<-1时,y随x的增大而增大;④分式的值小于2.其中正确的结论是 (填写序号).
4.已知二次函数y=x2-2x-3.
(1)请你把已知的二次函数化成y=(x-h)2+k的形式: ,并在平面直角坐标系中画出它的图象;
(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是(1)中图象上的两点,且x1(3)利用(1)中的图象表示出方程x2-2x-1=0的根m,n(m(4)观察(1)中的图象知,当x>0时,y的取值范围是 .
5.(创新意识)某班“数学兴趣小组”对函数y=-x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
x … -4 -3 -2 - -1 0 1 2 3 4 …
y … -5 0 3 4 3 4 m 0 -5 …
其中,m= ;
(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中,直接画出该函数的图象;
(3)观察函数图象,写出一条该函数的性质 ;
(4)已知函数y=-x+4的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出方程-x2+2|x|+3=-x+4的近似解.(保留一位小数)
【详解答案】
课堂达标
1.C 解析:∵当x=1.2时,y=ax2+bx+c=-0.29;
x=1.3时,y=ax2+bx+c=0.14;
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在(1.2,0)和(1.3,0)之间,且更靠近点(1.3,0),
∴方程ax2+bx+c=0有一个根约为1.27.
故选C.
2.C 解析:∵二次函数图象y=ax2+bx+c的图象顶点为(1,-4),
∴对称轴为直线x=1.
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是-3∴右侧交点横坐标的取值范围是4故选C.
3.C 解析:当x=-1时,y=-1,当x=0时,y=1,函数在-1故选C.
4.D 解析:如图,关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标.由题意可知-=-=2,∴m=4,
∴y=-x2+4x,
当x=1时,y=3,
当x=5时,y=-5,
由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4,∴-5故选D.
5.x=0.2 解析:由题意可知抛物线与x轴的一个交点近似为(-2.2,0).
又∵抛物线的对称轴为x=-1,
∴抛物线与x轴另一个交点近似为(0.2,0),
则方程的另一个近似根为x=0.2.
6.解:(1)y=x2-4x-6=(x2-4x+4)-4-6=(x-2)2-10.
∴抛物线的顶点式为y=(x-2)2-10.
(2)列表:
x … -2 0 2 4 6 …
y … 6 -6 -10 -6 6 …
函数图象如图所示.
(3)-10≤y<6
(4)x1=-1.2,x2=5.2
课后提升
1.D 解析:∵图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),
∴当x=2.18时,y=-0.51;当x=2.68时,y=0.54,
∴当y=0时,其中一个解的取值范围为2.18只有选项D符合,
故选D.
2.B 解析:由图象开口向下,可知a<0,
与y轴的交点在x轴的上方,可知c>0,
又-=2,∴b=-4a>0,
∴abc<0,故①正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,
∴b2-4ac>0.
∵a<0,
∴>0,故②正确;
∵16a+4b+c=16a-16a+c=c>0,
∴16a+4b+c>0,故③正确;
当x=5时,y=25a+5b+c<0,
∴25a-20a+c<0,
∴5a+c<0,故④错误;
当x=4时,y=16a+4b+c>0,
∵抛物线对称轴为直线x=2,其中一个交点的横坐标在4∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中一个解的取值范围为-1故选B.
3.①②④ 解析:①将点(-1,m)坐标代入抛物线表达式,得:m=a-b+c>0.
∵a∴b<0,故结论①正确;
②当x=0时,y=c<0,
当x=-1时,y=m>0,
∴抛物线与x轴有1个交点在-1到0之间,即ax2+bx+c=0有1个根在-1到0之间,故结论②正确;
③∵a-b+c=m>0,a∴a-b>0,∴-b>-a.
∵a<0,∴-<-,故结论③错误;
④∵当x=-1时,y=m>0,即a-b+c>0,
∴a+b-3c>2b-4c.
∵a0,∴b-2c<0,
∴<2,故结论④正确.
故正确的结论是①②④.
4.解:(1)y=(x-1)2-4
画出该函数的图象如图所示.
(2)y1>y2
(3)m,n如图所示.
(4)y≥-4
5.解:(1)3
(2)描点,连线得出函数图象如图.
(3)函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y轴(答案不唯一)
(4)方程-x2+2|x|+3=-x+4的近似解为x1=0.4,x2=2.6.5二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程根的关系
1.二次函数y=ax2-bx-5的图象与x轴交于(1,0),(-3,0)两点,则关于x的方程ax2-bx-5=0的根为( )
A.x1=1,x2=3 B.x1=1,x2=-5
C.x1=-1,x2=3 D.x1=1,x2=-3
2.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,若一元二次方程ax2+bx-m=1有实数根,则m的最大值为( )
A.4 B.-4
C.3 D.-3
3.二次函数y=2x2-3x-c(c>0)的图象与x轴的交点情况是 ( )
A.有一个交点 B.有两个交点
C.无交点 D.无法确定
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,当y<0时,x的取值范围是 ( )
A.-12
C.x<-1 D.x<-1或x>2
5.抛物线y=x2+4x-c与x轴只有一个交点,则 ( )
A.c=4 B.c=-4
C.c≤4 D.c≥-4
6.抛物线y=-x2+x+4与x轴的交点坐标为 ( )
A.(4,0),(-2,0) B.(-4,0),(2,0)
C.(0,4),(0,-2) D.(0,-4),(0,2)
7.已知二次函数y=x2+4x+c的图象与x轴的一个交点为(-1,0),则它与x轴的另一个交点的坐标是 .
8.(2024铁岭铁岭县期末)已知二次函数y=kx2-6x-9的图象与x轴有两个不同的交点,则k的取值范围为 .
9.已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,如图,求:
(1)点A,B,C的坐标;
(2)△ABC的面积.
1.关于二次函数y=x2-2x-1的图象与性质说法错误的是 ( )
A.开口方向向上 B.对称轴是直线x=-2
C.顶点坐标是(2,-3) D.与x轴交点坐标是(2+,0),(2-,0)
2.若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2,则二次函数y=a(x+1)2+k的图象与x轴的交点坐标为 ( )
A.(-3,0)、(1,0) B.(-2,0)、(2,0)
C.(-1,0)、(1,0) D.(-1,0)、(3,0)
3.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点分别为A(-2,4),B(1,1),则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为 ( )
A.x1=-4,x2=3 B.x1=-5,x2=2 C.x1=-2,x2=1 D.x1=-3,x2=2
4.已知二次函数y=x2-(m-2)x-m2(m为常数),则函数图象与x轴有 个交点.
5.(2024大连模拟)如图,抛物线y=ax2-3ax+3(a<0)交x轴正半轴于点A,交y轴于点B,线段BD⊥y轴交抛物线于点C,DC=BD,则△ACD的面积是 .
6.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,解决下列问题:
(1)关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解为 ;
(2)求此抛物线的表达式;
(3)若直线y=k与抛物线没有交点,直接写出k的取值范围.
7.(抽象能力)如图,抛物线y=ax2+bx-6交x轴于A(2,0),B(-6,0)两点,交y轴于点C,点Q为线段BC上的动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求QA+QO的最小值;
(3)过点Q作QP∥AC交抛物线的第三象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1,S2,设S=S1+S2,当S=时,求点P的坐标.
备用图
【详解答案】
课堂达标
1.D 解析:∵二次函数y=ax2-bx-5的图象与x轴交于(1,0),(-3,0)两点,
∴关于x的方程ax2-bx-5=0的根为x1=1,x2=-3,
故选D.
2.C 解析:由题图可得,
二次函数y=ax2+bx的最大值是y=4.
∵一元二次方程ax2+bx-m=1有实数根,
即一元二次方程ax2+bx=m+1有实数根,
也就是y=ax2+bx与y=m+1有交点,
∴m+1≤4,
解得m≤3,
∴m的最大值是3,
故选C.
3.B 解析:Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-c)=9+8c,
∵c>0,∴9+8c>0,∴Δ>0,
∴二次函数y=2x2-3x-c(c>0)的图象与x轴有两个交点,
故选B.
4.A 解析:由题图可知,
当y<0时,x的取值范围是-1故选A.
5.B 解析:∵抛物线y=x2+4x-c与x轴只有一个交点,
∴方程x2+4x-c=0有两个相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=42-4×1·(-c)=0,
∴c=-4.
故选B.
6.A 解析:令y=-x2+x+4=0,
即x2-2x-8=0,
解得x=4或x=-2,∴抛物线y=-x2+x+4与x轴的交点坐标为(4,0),(-2,0).
故选A.
7.(-3,0) 解析:∵二次函数y=x2+4x+c=(x+2)2-4+c,
∴该函数图象的对称轴是直线x=-2.
∵二次函数y=x2+4x+c的图象与x轴的一个交点为(-1,0),
∴该函数图象与x轴的另一个交点是(-3,0).
8.k>-1且k≠0 解析:令y=0,则kx2-6x-9=0.
∵二次函数y=kx2-6x-9的图象与x轴有两个不同的交点,
∴一元二次方程kx2-6x-9=0有两个不相等的实数根,
∴
解得k>-1且k≠0.
9.解:(1)令x=0,则y=-3,
∴C(0,-3).
令y=0,则x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0).
(2)∵A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),
∴AB=4,OC=3,
∴S△ABC=AB·OC=6.
课后提升
1.B 解析:∵>0,
∴抛物线开口方向向上,
故A选项正确,不符合题意;
∵y=x2-2x-1=(x-2)2-3,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-3),
故B选项错误,符合题意,C选项正确,不符合题意;
令y=0,则x2-2x-1=0,
解得x=2±,
∴抛物线与x轴交点坐标是(2+,0),(2-,0),
故D选项正确,不符合题意.
故选B.
2.A 解析:∵关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2,
∴4a+k=0,解得k=-4a,
把k=-4a代入y=a(x+1)2+k中,
得y=a(x+1)2-4a,
当y=0时,a(x+1)2-4a=0,
即a(x+1)2=4a,
∵a≠0,∴(x+1)2=4,
解得x=1或x=-3,
∴二次函数y=a(x+1)2+k的图象与x轴的交点坐标为(1,0)和(-3,0),故选A.
3.C 解析:把B(1,1)代入y=ax2,
得a=1.
把A(-2,4),B(1,1)代入y=bx+c,
得解得
∴关于x的方程化为x2+x-2=0,
即(x+2)(x-1)=0,
x1=-2,x2=1,
故选C.
4.两 解析:由题意可得,Δ=(m-2)2+4m2
=m2-4m+4+4m2
=5m2-4m+4
=5.
又≥0,
∴Δ=5≥>0.
∴函数图象与x轴有两个交点.
5.3 解析:当x=0时,y=ax2-3ax+3=3,
∴点B的坐标为(0,3).
∵BD⊥y轴,
∴点C、D的纵坐标都为3.
当y=3时,ax2-3ax+3=3,
解得x1=0,x2=3,
∴C(3,3),∴BC=3.
∵DC=BD,
∴DC=(3+DC),
解得DC=2,
∴△ACD的面积=×2×3=3.
6.解:(1)x1=-1,x2=3
(2)设抛物线表达式为y=-(x-1)2+k,
∵抛物线与x轴交于点(3,0),
∴-(3-1)2+k=0,
解得k=4,
∴抛物线表达式为y=-(x-1)2+4,
即抛物线表达式为y=-x2+2x+3.
(3)若直线y=k与抛物线没有交点,则k的取值范围为k>4.
7.解:(1)将A(2,0),B(-6,0)分别代入y=ax2+bx-6,得解得
∴抛物线的表达式为y=x2+2x-6.
(2)如图1,作点O关于直线BC的对称点为O'.连接BO'、CO'、OO'.
图1
∵OB=OC,OO'⊥BC,∴OO'垂直平分BC.
又∵BC垂直平分OO',且∠BOC=90°,
∴四边形OCO'B是正方形.
∴点O关于直线BC的对称点坐标为O'(-6,-6).
连接O'A,与BC交于点Q.
∵BC是OO'的垂直平分线,
∴QO=QO',
∴QA+QO=QA+QO'=O'A.
在BC上任取一点异于点Q的点Q',连接Q'O,Q'A,Q'O'.
∵Q'A+Q'O=Q'A+Q'O'>O'A(在三角形中,两边之和大于第三边),
∴QA+QO的最小值为O'A==10.
图2
(3)如图2,过点P作PM⊥x轴于点M,连接PC.
∵QP∥AC,
∴S△PAQ=S△PCQ(同底等高),
∴S1+S2=S△PAQ+S△PBQ=S△PBC=S梯形PCOM+SRt△PMB-SRt△BOC.
设点P,
∴S梯形PCOM=(MP+OC)·OM=-m2-2m+6+6(-m)=-m-m2-2m+12,
SRt△PMB=MP·BM=-m2-2m+6·(m+6)=(m+6)-m2-2m+6,
SRt△BOC=OB·OC=×6×6=18.
∴S=S1+S2=-m·(m+6)·-18=,解得m=-1或-5.
∴点P的坐标为或.
