3.5　确定圆的条件课时作业（含答案） 2024-2025学年数学北师大版九年级下册

5 确定圆的条件
确定圆的条件
1.如图,在平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为 (　　)
A.(2,1) B.(2,2) C.(2,0) D.(2,-1)
2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是 (　　)
A.① B.② C.③ D.均不可能
3.经过两点可以作　　　　　个圆,不在同一直线的　　　　个点可以确定一个圆.
4.(2024庆阳期末)平面直角坐标系内的三个点A(2,1),B(-1,3),C(2,-4)　　　　确定一个圆(填“能”或“不能”).
5.(2024盐城滨海县月考)如图,在△ABC中,CE,BD分别是AB,AC边上的高.
求证:B,C,D,E四点在同一个圆上.
三角形的外接圆
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则这个三角形的外接圆的半径是 (　　)
A.10 B.5 C.4 D.3
7.如图,AD是△ABC的外接圆☉O的直径,若∠BCA=50°,则∠BAD=　　　　　.
8.如图,△ABC内接于☉O,若☉O的半径为2,∠A=45°,则BC的长为　　　　　　.
9.如图,AB为☉O的直径,△ACD内接于☉O,∠ADC=45°,CD交AB于点E.
(1)求∠BAC的度数;
(2)若点E为OB的中点,CE=5,求AE的长.
1.如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,BD是☉O的直径,BD与弦AC相交于点E,若∠BAC=40°,则
∠BEC的度数是 (　　)
A.45° B.50° C.55° D.60°
2.如图,☉O是等边三角形ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是 (　　)
A. B.
C. D.
3.如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,∠A=54°,连接BO并延长交☉O于点D,连接CD,则∠ACD的度数为　　　　.
4.如图,☉O是△ABC的外接圆,OD⊥AC于点D,OE⊥BC于点E,连接DE,若AB=4,则DE的长为　　　　.
5.(2024宿迁二模)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在网格线的交点上,则cos∠ACB的值是　　　　　.
6.如图,△ABC内接于☉O且∠ACB=90°,弦CD平分∠ACB,连接AD,BD.若AB=5,AC=4,则BD=　　　　,CD=　　　　.
7.(推理能力)如图,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点O作AC的垂线,垂足为D,分别交直线BC,于点E,F,射线AF交直线BC于点G.
(1)求证:AC=CG;
(2)若点E在CB的延长线上,且EB=CG,求∠BAC的度数;
(3)当BC=6时,随着CG的长度的增大,BE的长度如何变化 请描述变化过程,并说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.C　解析:根据垂径定理的推论,弦的垂直平分线必过圆心,作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.如图所示,则圆心坐标为(2,0).
故选C.
2.A　解析:碎片①出现两条完整的弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径的长.
故选A.
3.无数　三　解析:经过两点可以作无数个圆,不在同一直线的三个点可以确定一个圆.
4.能　解析:∵A(2,1),B(-1,3),C(2,-4),
∴点A,B,C不在同一直线上,
∴三个点A(2,1),B(-1,3),C(2,-4)能确定一个圆.
5.证明:如图,取BC的中点F,连接DF,EF.
∵BD,CE是△ABC的高,
∴△BCD和△BCE都是直角三角形.
∴DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线,
∴DF=EF=BF=CF.
∴B,C,D,E四点在以点F为圆心,BC为半径的圆上.
6.B　解析:∵∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴BA==10.
∵直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半,
∴其外接圆的半径为5.
故选B.
7.40°　解析:∵AD是△ABC的外接圆☉O的直径,
∴点A,B,D,C在☉O上.
∵∠BCA=50°,
∴∠ADB=∠BCA=50°.
∵AD是△ABC的外接圆☉O的直径,
∴∠ABD=90°,
∴∠BAD=90°-50°=40°.
8.2　解析:如图,
连接OB,OC,
由圆周角定理,得∠BOC=2∠A=90°,
∵OB=OC,
∴BC=OB=2.
9.解:(1)如图,连接OC,
∵∠ADC=45°,
∴∠AOC=2∠ADC=90°.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=45°,
∴∠BAC的度数为45°.
(2)设OE=x,
∵点E为OB的中点,
∴OB=2OE=2x,
∴AO=OC=OB=2x.
在Rt△COE中,CE=5,
由勾股定理得OE2+OC2=CE2,
∴x2+(2x)2=52,
解得x=或x=-(舍去),
∴OE=,
∴AE=AO+OE=3x=3,
∴AE的长为3.
课后提升
1.D　解析:如图,连接CD,
∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=∠ACB=×(180°-40°)=70°,∠D=∠A=40°.
∵BD是☉O的直径,
∴∠BCD=90°,
∴∠DBC=50°,
∴∠BEC=180°-∠DBC-∠ACB=60°.
故选D.
2.C　解析:如图,连接OB,过点O作OE⊥BC.
∵☉O是等边三角形ABC的外接圆,
∴OB平分∠ABC,
∴∠OBE=30°.
又∵OE⊥BC,
∴BE=BC=AB=.
在Rt△OBE中,cos 30°=,
∴,
解得OB=.
故选C.
3.27°　解析:∵BD是☉O的直径,
∴∠BCD=90°.
∵∠BDC=∠A=54°,
∴∠DBC=90°-54°=36°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC=(180°-∠A)=63°,
∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=63°-36°=27°.
4.2　解析:∵☉O是△ABC的外接圆,OD⊥AC,OE⊥BC,
∴AD=DC,BE=CE,
∴D,E分别为AC,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∵AB=4,
∴DE=AB=×4=2.
5.　解析:如图,取格点D,连接AD,BD,
由勾股定理,得AB2=32+32=18,BD2=12+12=2,AD2=22+42=20,
∴AB2+BD2=AD2=20,
∴△ABD是直角三角形,且∠ABD=90°.
∵点D、点C都在☉O上,
∴∠ADB=∠ACB.
∴cos∠ACB=cos∠ADB=.
6.　　解析:∵△ABC内接于☉O且∠ACB=90°,∴AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAC+∠DBC=180°.
∵弦CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴AD=BD.
∵AB=5,AC=4,
∴CB=3,AD=BD=,
如图,把△DCA绕D逆时针旋转90°得到△DBE,∴∠DBE=∠DAC,BE=AC,
∴∠DBC+∠DBE=180°,
∴C、B、E三点在同一条直线上,
∴△DCE为等腰直角三角形,
∴CE=AC+BC=7,
∴CD=DE=.
7.解:(1)证明:如图1,过A作直径AM,
图1
∵AB=AC,
∴AM⊥BC,
∴∠E+∠EOM=90°.
∵AC⊥EF,
∴∠OAD+∠AOD=90°.
∵∠EOM=∠AOD,
∴∠E=∠OAD.
∵OA=OF,
∴∠OAD+∠DAF=∠AFO=∠E+∠G,
∴∠DAF=∠G,
∴AC=CG.
(2)如图2,过A作直径AM交☉O于点M,交BC于点H,连接AE.
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴∠BAM=∠CAM.
设∠BAM=∠CAM=2α,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)=90°-2α.
∵AC=CG,
∴∠CAG=∠CGA=45°-α,
∴∠BAG=2α+2α+45°-α=45°+3α.
图2
∵EF⊥AC,又EF过圆心,
∴EF垂直平分AC,
∴EC=AE.
∵BH=HC,又EB=CG,
∴HE=HG,
∴AM垂直平分EG,
∴AE=AG,
∴EC=AG.
∵EB=CG,
∴EB+BC=BC+CG,
∴EC=BG,∴AG=BG,
∴∠BAG=∠ABG,
∴45°+3α=90°-2α,
∴α=9°,
∴∠BAC=4α=36°.
(3)当CG=6时,BE=0;
当CG>6时,BE随CG的增大而增大;
当3理由:①当BE=0,即点E与B重合时,如图3,过A作直径AM交☉O于M,交BC于H.
图3
在△BOH和△AOD中,
∴△BOH≌△AOD(AAS),
∴AD=BH=3,
∴AC=2AD=6,
∴AB=AC=BC=6,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠CAG+∠G=60°,
∴∠G=∠CAG=30°,
∴CA=CG=6.
②当CG>6时,如图4,过A作直径AM交☉O于M,交BC于H.
图4
∵∠E=∠CAH,∠EDC=∠AHC=90°,
∴△ACH∽△ECD,
∴,
∴,
∴,
∴BE=CG2-6,
∴BE随CG的增大而增大.
图5
③当3∵∠ACM=∠DCE,
∠EDC=∠AMC=90°,
∴△AMC∽△EDC,
∴,
∴,
∴,
∴BE=-CG2+6,
∴BE随CG的增大而减小.
综上所述,
当CG=6时,BE=0;
当CG>6时,BE随CG的增大而增大;
当3