6 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
直线和圆的位置关系
1.已知☉O的直径为6 cm,点O到直线l的距离为4 cm,则l与☉O的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.相切或相交
2.在平面直角坐标系中,以点(-3,4)为圆心,3为半径的圆 ( )
A.与x轴相离,与y轴相切 B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交 D.与x轴相切,与y轴相离
3.如图,在矩形ABCD中,BC=6,AB=3,☉O是以BC为直径的圆,则直线AD与☉O的位置关系是 .
切线的性质
4.如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,OP与☉O相交于点C,若∠P=40°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
5.如图,PM与☉O相切于点M,OP=4,∠OPM=30°,则OM长为 ( )
A.2 B.4
C.4 D.2
6.如图,PA是☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,tan P=,OB=6,则PB的长为 .
7.如图,AB为☉O的切线,点A为切点,OB交☉O于点C,点D在☉O上,连接AD,CD,OA,若∠ADC=
25°,则∠ABO的度数为 .
8.如图,AB为☉O的直径,半径OD⊥AB,☉O的切线CE交AB的延长线于点E,☉O的弦CD与AB相交于点F.
(1)求证:EF=EC;
(2)若OE=10,且B为EF的中点,求☉O的半径长.
1.在同一平面内,已知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,点P为圆上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是 ( )
A.2 B.5 C.6 D.8
2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,若以C为圆心,r为半径的圆C与边AB有交点,则r的取值范围是 ( )
A.5≤r≤12或r= B.5C.3.已知平面内有☉O和点A,B,若☉O的半径为3 cm,线段OA=4 cm,OB=3 cm,则直线AB与☉O的位置关系为 ( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.相交或相切
4.如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 ( )
A. B.1.5
C.1 D.
5.(2024德州齐河县模拟)如图,AB是☉O的直径,延长AB至C,CD切☉O于点D,过点D作DE∥AB交☉O于点E,连接BE.若AB=12,∠ABE=15°,则BC的长为 ( )
A.3 B.4
C.6 D.4-6
6.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠C=30°,以AB为直径作☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AC于点E.则DE的长为 .
7.如图,已知△ABC内接于☉O,CO的延长线交AB于点D,交☉O于点E,交☉O的切线AF于点F,且AF∥BC.
(1)求证:AO∥BE;
(2)求证:AO平分∠BAC.
8.(几何直观)如图1,点A,B,C在☉O上,AC是☉O的直径,AD平分∠BAC,与☉O相交于点D.连接OD,与BC相交于点E.
(1)求∠OEC的度数;
(2)如图2,过点A作☉O的切线,与CB的延长线相交于点F,过点D作DG∥FA,与AC相交于点G.若AD=2,DE=4,求DG的长.
图1 图2
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:∵☉O的直径为6 cm.
∴☉O的半径为3 cm,
∵点O到直线l的距离为4 cm,
∴d>r,
∴l与☉O的位置关系是相离.
故选A.
2.A 解析:点(-3,4)到x轴的距离为4,大于半径3,
点(-3,4)到y轴的距离为3,等于半径3,
故该圆与x轴相离,与y轴相切.
故选A.
3.相切 解析:如图,作OE⊥AD于点E.
则OE=AB=3,
∵BC=6,
∴OB=BC=3,
∴OE=OB,即圆心到直线的距离=半径,
∴直线AD与☉O相切.
4.B 解析:∵PA与☉O相切于点A,
∴OA⊥AP,即∠OAP=90°.
∵∠P=40°,
∴∠AOC=90°-40°=50°.
∵∠AOC=2∠ABC,
∴∠ABC=25°.
故选B.
5.A 解析:∵PM与☉O相切于点M,
∴OM⊥PM.
∵∠OPM=30°,
∴OM=OP.
∵OP=4,∴OM=2.
故选A.
6.4 解析:∵PA是☉O的切线,A为切点,
∴OA⊥AP,
∴∠OAP=90°.
在Rt△OAP中,
∵tan P=,OA=OB=6,
∴,
∴AP=8,
∴OP==10,
∴PB=OP-OB=10-6=4.
7.40° 解析:∵AB为☉O的切线,
∴∠OAB=90°,
∵∠ADC=25°,
∴∠BOA=2∠ADC=50°,
∴∠ABO=90°-∠BOA=40°.
8.解:(1)证明:如图,连接OC,
∵☉O的切线CE交AB的延长线于点E,
∴OC⊥CE,
∴∠OCE=90°,
即∠OCF+∠ECF=90°.
∵OC=OD,
∴∠OCF=∠ODF.
∵OD⊥AB,
∴∠DOF=90°,
∴∠ODF+∠OFD=90°,
∴∠ECF=∠OFD.
∵∠OFD=∠EFC,
∴∠ECF=∠EFC,
∴EF=EC.
(2)设☉O的半径为r,
则OB=OC=r,
∵OE=10,B为EF的中点,
∴BE=BF=10-r,
EC=EF=20-2r.
在Rt△OCE中,OC2+CE2=OE2,
∴r2+(20-2r)2=102,
解得r=6或r=10(舍去),
∴☉O的半径长为6.
课后提升
1.B 解析:如图,由题意,得OA=2,OB=3,
当点P在BO的延长线与☉O的交点时,点P到直线l的距离最大,
此时,点P到直线l的最大距离是3+2=5.
故选B.
2.D 解析:作CD⊥AB于点D,如图,
∵∠ACB=90°,AC=12,BC=5,
∴AB==13,
∵CD·AB=BC·AC,即CD×13=×5×12,
∴CD=,
∴以C为圆心,r为半径作的圆与斜边AB有交点时,r的取值范围为≤r≤12.
故选D.
3.D 解析:∵☉O的半径为3 cm,OA=4 cm,OB=3 cm,
即点A到圆心O的距离大于圆的半径,点B到圆心O的距离等于圆的半径,
∴点A在☉O外,点B在☉O上,
∴直线AB与☉O的位置关系为相交或相切.
故选D.
4.A 解析:∵OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,且BC=2,OA⊥BC于点D,
∴CD=BD=BC=1,∠ODC=90°.
∵∠AOC=45°,
∴∠DCO=∠DOC=45°,
∴OD=CD=1,
∴OA=OC=.
∵AE是☉O的切线,
∴AE⊥OA,
∴∠OAE=90°,
∴∠E=∠AOC=45°,
∴AE=OA=.
故选A.
5.D 解析:连接OD,如图,
∵DE∥AB,
∴∠E=∠ABE=15°,
∴∠DOC=2∠E=30°.
∵CD切☉O于点D,
∴OD⊥CD.
∵AB=12,AB是☉O的直径,
∴OD=OB=AB=6.
在Rt△ODC中,
∵cos ∠DOC=,
∴OC==4,
∴BC=OC-OB=4-6.
故选D.
6.3 解析:如图,连接AD,OD,则OD=OB,
∴∠ODB=∠B.
∵AB=AC,∴∠C=∠B=30°,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,=cos B=cos 30°=,
∴CD=BD=AB=×4=6.
∵DE与☉O相切于点D,
∴DE⊥OD,
∴∠CED=∠ODE=90°,
∴DE=CD=×6=3.
7.证明:(1)∵AF是☉O的切线,
∴AF⊥OA,
即∠OAF=90°.
∵CE是☉O的直径,
∴∠CBE=90°,
∴∠OAF=∠CBE.
∵AF∥BC,
∴∠BAF=∠ABC,
∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,
即∠OAB=∠ABE,
∴AO∥BE.
(2)∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角,
∴∠ABE=∠ACE.
∵OA=OC,
∴∠ACE=∠OAC,
∴∠ABE=∠OAC.
由(1)知,∠OAB=∠ABE,
∴∠OAB=∠OAC,
∴AO平分∠BAC.
8.解:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠OAD.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,
∴∠BAD=∠ODA,
∴AB∥OD,
∴∠B=∠OEC.
∵AC是☉O的直径,
∴∠B=90°,
∴∠OEC=90°.
(2)连接DC,如图.
∵AC是☉O的直径,
∴∠ADC=90°.
设半径为r,则OA=OD=OC=r,OE=r-4,AB=2OE=2r-8,AC=2r,
在Rt△ADC中,DC2=AC2-AD2=CE2+DE2=OC2-OE2+DE2,
∴(2r)2-(2)2=r2-(r-4)2+42,
解得r=7或r=-5(舍去),
∴AC=14,DC=.
∵AF是切线,
∴AF⊥AC.
∵DG∥FA,
∴DG⊥AC,
∴S△ADC=×AD×DC=×AC×DG,
∴×2×14×DG,
解得DG=2.第2课时 切线的判定与三角形的内切圆
圆的切线的判定
1.如图,△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是 ( )
A.∠O+∠P=90°
B.∠O+∠P=∠OMP
C.OM2+PM2=OP2
D.点N是OP的中点
2.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM= cm时,☉M与OA相切.
3.如图,AB是☉O的弦,OC⊥OA,交AB于点P,且PC=BC.
求证:BC是☉O的切线.
三角形的内切圆
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是△ABC的内切圆,连接BO并延长与AC交于点D,则
∠AOD的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.65°
5.在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差,即R-r= .
6.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∠DEF=50°.求∠A的大小.
1.(2024大庆杜尔伯特县期末)如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,O为△ABC的内心,若△ABO的面积为20,则△ACO的面积为 ( )
A.20 B.15 C.18 D.12
2.如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=37°,则∠OBC的度数为 ( )
A.37° B.20° C.16° D.14°
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向以0.5个单位长度/s的速度平移,使☉P与y轴相切,则平移的时间为 s.
4.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆☉O相交于点D,过D作直线DG∥BC.
(1)求证:DG是☉O的切线;
(2)求证:DE=CD;
(3)若DE=2,BC=8,求☉O的半径.
5.如图,AB是☉O的直径,过点A作CA⊥AB,D是☉O上的一点,且CD=CA,延长CD,交AB的延长线于点E,连接BD.
(1)判断CE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=6,DE=4,BE=2,求BD的长.
6.(几何直观)如图,AB是☉O的直径,点C是直线AB上方的☉O上一点,点M是△ABC的内心.连接AM,BM,CM,延长CM交☉O于点D.
(1)若AB=10,AC=6,求BC的长;
(2)求∠AMB的度数;
(3)当点C在直线AB上方的☉O上运动时,求证:DM=AB.
【详解答案】
课堂达标
1.D 解析:A.∵∠O+∠P+∠OMP=180°,且∠O+∠P=90°,
∴∠OMP=90°,可知PM是☉O的切线,
故选项A不符合题意;
B.∵∠O+∠P+∠OMP=180°,且∠O+∠P=∠OMP,
∴∠OMP=90°,可知PM是☉O的切线,
故选项B不符合题意;
C.∵OM2+PM2=OP2,
∴△OMP是直角三角形,且∠OMP=90°,可知PM是☉O的切线,
故选项C不符合题意;
D.点N是OP的中点不能得出∠OMP=90°,即不能判断出PM是☉O的切线,
故选项D符合题意;
故选D.
2.4 解析:作MH⊥OA于点H,如图,
当MH=2 cm时,☉M与OA相切.
∵∠O=30°,
∴此时OM=2MH=4 cm,
即OM=4 cm时,☉M与OA相切.
3.证明:∵PC=BC,
∴∠CPB=∠CBP.
而∠APO=∠CPB,
∴∠CBP=∠APO.
∵OC⊥OA,
∴∠A+∠APO=90°.
∵OA=OB,
∴∠A=∠ABO,
∴∠CBP+∠ABO=90°,
∴OB⊥BC,
∵OB是☉O的半径,
∴BC是☉O的切线.
4.B 解析:∵∠ACB=90°.
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵☉O是△ABC的内切圆,
∴AO平分∠CAB,BO平分∠ABC,
∴∠OAB=∠CAB,∠OBA=∠CBA,
∴∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=45°,
∴∠AOD=∠OAB+∠OBA=45°.
故选B.
5.1.5 解析:∵∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
∴R=AB=2.5,
∵S△ABC=·AC·BC=AC·r+BC·r+AB·r,
∴r==1,
∴R-r=2.5-1=1.5.
6.解:连接ID,IF,如图,
∵∠DEF=50°,
∴∠DIF=2∠DEF=100°.
∵☉I是△ABC的内切圆,与AB,CA分别相切于点D,F,
∴ID⊥AB,IF⊥AC,
∴∠ADI=∠AFI=90°,
∴∠A+∠DIF=180°,
∴∠A=180°-100°=80°.
课后提升
1.B 解析:∵O为△ABC的内心,
∴点O到AB,AC的距离相等,
∴S△AOB∶S△AOC=AB∶AC=8∶6=4∶3.
∵△ABO的面积为20,
∴△ACO的面积为15.
故选B.
2.C 解析:如图,连接OC,则OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB,
∴2∠OBC+∠BOC=180°.
∵点I是△ABC的内心,∠CAI=37°,
∴AI平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠CAI,
∴∠BOC=2∠BAC=4∠CAI=4×37°=148°,
∴2∠OBC+148°=180°,
∴∠OBC=16°.
故选C.
3.2或10 解析:当☉P位于y轴的左侧且与y轴相切时,平移的距离为1,则平移的时间为1÷0.5=2(s);
当☉P位于y轴的右侧且与y轴相切时,平移的距离为5,则平移的时间为5÷0.5=10(s).
综上,当☉P与y轴相切时,平移的时间为2 s或10 s.
4.解:(1)证明:连接OD交BC于点H,如图1.
图1
∵点E是△ABC的内心,
∴AD平分∠BAC,
即∠BAD=∠CAD,
∴,
∴OD⊥BC,BH=CH.
∵DG∥BC,
∴OD⊥DG,
∵OD是☉O的半径,
∴DG是☉O的切线.
图2
(2)证明:连接BD,如图2,
∵点E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE.
∵∠DBC=∠BAD,
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE,
即∠BED=∠DBE,
∴BD=DE,
∵,
∴BD=CD,
∴DE=CD.
(3)连接OD,OB,如图2,
由(1),得OD⊥BC,BH=CH,
∵BC=8,
∴BH=CH=4.
∵DE=2,BD=DE,
∴BD=2,
在Rt△BHD中,BD2=BH2+HD2,
∴(2)2=42+HD2,解得HD=2.
设☉O的半径为r,
在Rt△BHO中,
r2=42+(r-2)2,解得r=5.
即☉O的半径为5.
5.解:(1)CE与☉O相切,
理由:如图,连接OD,AD.
∵CD=CA,
∴∠CAD=∠CDA.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD+∠DAO=∠CDA+∠ADO,
即∠CAO=∠CDO.
∵CA⊥AB,
∴∠CAB=90°,
∴∠CDO=90°.
∵OD是☉O的半径,
∴CE与☉O相切.
(2)∵AC=CD=6,DE=4,
∴CE=10,
∴AE==8,
∴AB=AE-BE=6.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵∠ADO+∠ODB=90°,
∠ODB+∠BDE=90°,
∴∠ADO=∠BDE.
∵OA=OD,
∴∠DAB=∠ADO,
∴∠BDE=∠DAB.
∵∠E=∠E,
∴△ADE∽△DBE,
∴,
∴=2,
设AD=2x,BD=x,
∴AB=x,
∴x=6,
∴x=,
∴BD=.
6.解:(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵AB=10,AC=6,
∴BC==8,
∴BC的长为8.
(2)∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵点M是△ABC的内心,
∴AM平分∠CAB,BM平分∠CBA,
∴∠MAB=∠CAB,∠MBA=∠CBA,
∴∠MAB+∠MBA=(∠CAB+∠CBA)=45°,
∴∠AMB=180°-(∠MAB+∠MBA)=135°,
∴∠AMB的度数为135°.
(3)证明:如图,连接AD,BD,则∠ADB=90°.
∵点M是△ABC的内心,∠ACB=90°,
∴CM平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°,
∴,
∴AD=BD,
∴AB=AD.
∵∠DAB=∠ACD=45°,∠MAB=∠MAC,
∴∠DAB+∠MAB=∠ACD+∠MAC,
∵∠DAM=∠DAB+∠MAB,
∠DMA=∠ACD+∠MAC,
∴∠DAM=∠DMA,∴DM=AD,
∴AB=DM,∴DM=AB.
