3.7　切线长定理 课时作业（含答案） 2024-2025学年数学北师大版九年级下册

*7切线长定理
切线长定理
1.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=10,AC=6,则BD的长是 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图,四边形ABCD外切于☉O,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为 (　　)
A.60 B.55 C.45 D.50
3.如图,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为　　　　.
4.如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,若∠APB=60°,PO=2,则☉O的半径等于　　　　.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是△ABC的内切圆,三个切点分别为D,E,F,若BF=2,AF=3,则△ABC的面积是　　　　.
6.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=20°,求∠P的度数.
7.如图,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB=6 cm,OC=8 cm.求:
(1)∠BOC的度数;
(2)BE+CG的长;
(3)☉O的半径.
1.如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为 (　　)
A.12 B.13 C.14 D.15
2.(2024滨州滨城区期中)如图,☉O内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交BC,CD于点N,M,若CM+CN=10,则☉O的面积为　　　　.
3.如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接AO,BO,CO,DO,记△AOD,△AOB,△COB,△DOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1,S2,S3,S4的数量关系为　　　　　　　　　.
4.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,AC为弦,BC为☉O的直径,若∠P=60°,PB=2 cm.
(1)求证:△PAB是等边三角形;
(2)求AC的长.
5.如图,AB为☉O的直径,∠DAB=∠ABC=90°,CD与☉O相切于点E,EF⊥AB于点F,EF交BD于点G,若AD=2,BC=6.
(1)求CD的长度;
(2)求EG的长度;
(3)求BF的长度.
6.(几何直观)如图,AB为☉O的直径,PA,PC分别与☉O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.
(1)求证:OQ=PQ;
(2)连接BC并延长交PQ于点D,若PA=AB,且CQ=6,求BD的长.
【详解答案】
课堂达标
1.B　解析:∵AC,AP为☉O的切线,
∴AC=AP=6,
∵BP,BD为☉O的切线,
∴BP=BD,
∴BD=BP=AB-AP=10-6=4.
故选B.
2.D　解析:如图,∵四边形ABCD外切于☉O,设切点分别为E,G,H,F,
∴AE=AF,BE=BG,CG=CH,DH=DF,
∴AD+BC=AF+DF+BG+CG=AE+DH+BE+CH=AB+CD=10+15=25,
∴四边形ABCD的周长为AD+BC+AB+CD=25+25=50.
故选D.
3.7　解析:∵AB,AC,BC都是☉O的切线,
∴AD=AE,BD=BF,CE=CF.
∵AB=4,AC=5,AD=1,
∴AE=1,BD=BF=3,CE=CF=4,
∴BC=BF+CF=3+4=7.
4.1　解析:∵PA、PB是☉O的两条切线,
∴∠APO=∠BPO=∠APB,∠PAO=90°.
∵∠APB=60°,
∴∠APO=30°.
∵PO=2,
∴AO=1.
5.6　解析:连接DO,EO,如图.
∵☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,
∴OE⊥AC,OD⊥BC,CD=CE,BD=BF=2,AF=AE=3.
又∵∠C=90°,
∴四边形OECD是矩形.
设EC=CD=x,
在Rt△ABC中,BC2+AC2=AB2,
故(x+2)2+(x+3)2=52,
解得x=1(负值舍去),
∴BC=3,AC=4,
∴S△ABC=×3×4=6.
6.解:根据切线的性质,得∠PAC=90°,
∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-20°=70°.
根据切线长定理,得PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA=70°,
∴∠P=180°-70°×2=40°.
7.解:(1)如图,连接OE,OF.
∵直线AB,BC分别与☉O相切于点E,F,
∴OE⊥AB,OF⊥BC,BE=BF.
又∵OB=OB,
∴Rt△OBE≌△Rt△OBF(HL),
∴∠OBE=∠OBF.
同理,∠OCF=∠OCG.
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠OBF+∠OCF=90°,
∴∠BOC=90°.
(2)由切线长定理,得BE=BF,CF=CG,
∴BE+CG=BF+CF=BC.
∵∠BOC=90°,OB=6 cm,OC=8 cm,
∴BC==10 cm,∴BE+CG=10 cm.
(3)∵OF⊥BC,OB⊥OC,
∴OF==4.8 cm.
即☉O的半径为4.8 cm.
课后提升
1.C　解析:设AE的长为x,
∵CE与半圆O相切于点F,
∴AE=EF,BC=CF.
∵EF+FC+CD+ED=12,
∴AE+ED+CD+BC=12.
∵AD=CD=BC=AB,
∴正方形ABCD的边长为4.
在Rt△CDE中,ED2+CD2=CE2,即(4-x)2+42=(4+x)2,解得x=1,
∴AE+EF+FC+BC+AB=14,
∴直角梯形ABCE的周长为14.
故选C.
2.25π　解析:如图,设☉O与正方形ABCD的边CD切于点E,与BC切于点F,
连接OE,OF,
则四边形OECF是正方形,
∴CF=CE=OE=OF,
∠OEM=∠OFN=∠EOF=90°.
∵∠MON=90°,
∴∠FON+∠FOM=∠FOM+∠EOM,
∴∠EOM=∠FON,
∴△OEM≌△OFN(ASA),
∴EM=NF,
∴CM+CN=CE+CF=10,∴OE=5,
∴☉O的面积为25π.
3.S1+S3=S2+S4　解析:如图,设切点分别为E,F,G,H,连接OE,OF,OG,OH,
由切线性质可知,OE⊥AD,OF⊥CD,OG⊥BC,OH⊥AB,设OE=OF=OG=OH=r,
DE=DF=a,AE=AH=b,BH=BG=c,CG=CF=d,
则S1=r(a+b),S2=r(b+c),S3=r(c+d),S4=r(a+d),
∴S1+S3=r(a+b)+r(c+d)=r(a+b+c+d),
S2+S4=r(b+c)+r(a+d)=r(a+b+c+d),
∴S1+S3=S2+S4.
4.解:(1)证明:∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴PA=PB,
∵∠P=60°,
∴△PAB是等边三角形.
(2)∵△PAB是等边三角形,
∴PB=AB=2 cm,∠PBA=60°.
∵BC是直径,PB是☉O的切线,
∴∠CAB=90°,∠PBC=90°,
∴∠ABC=30°,
∴tan∠ABC=,
∴AC=2×(cm),
故AC的长为 cm.
5.解:(1)∵AB为☉O的直径,∠DAB=∠ABC=90°,
∴DA,CB都是☉O的切线.
∵CD与☉O相切于点E,
∴DE=DA=2,CE=CB=6,
∴CD=DE+CE=8.
(2)∵∠ABC=90°,EF⊥AB,
∴EG∥BC,
∴△DEG∽△DCB,
∴,即,
解得EG=.
(3)如图,过点D作DH⊥BC于点H,
则四边形DABH为矩形,
∴BH=AD=2,
∴CH=BC-BH=4,
∴DH==4,
∴AB=DH=4.
∵∠DAB=∠ABC=90°,EF⊥AB,
∴AD∥EG∥BC,
∴,即,
解得BF=3.
6.解:(1)证明:如图,连接OP.
∵PA,PC分别与☉O相切于点A,C,
∴PA=PC,OC⊥PC,OA⊥PA.
∵OA=OC,OP=OP,
∴△OPA≌△OPC(SSS),
∴∠AOP=∠POC.
∵QP⊥PA,∴QP∥BA,
∴∠QPO=∠AOP,∴∠QOP=∠QPO,
∴OQ=PQ.
(2)设OA=r.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∵OB∥QD,∴∠QDC=∠B.
∵∠OCB=∠QCD,∴∠QCD=∠QDC,
∴QC=QD=6.∵QO=QP,
∴OC=DP=r.
∵PC是☉O的切线,
∴OC⊥PC,∴∠OCP=∠PCQ=90°.
在Rt△PCQ中,∵PQ2=PC2+QC2,
∴(6+r)2=(2r)2+62,
∴r=4或r=0(舍去),
∴OP==4.
∵OB=PD,OB∥PD,
∴四边形OBDP是平行四边形,
∴BD=OP=4.