3.9弧长及扇形的面积课时作业 (含详解)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

9 弧长及扇形的面积
弧长的计算
1.如图,点A,B,C在半径为3的☉O上,∠ACB=30°,则的长为 (　　)
A.3 B. C.π D.
2.如图1是一把扇形书法纸扇,图2是其完全打开后的示意图,外侧两竹条OA和OB的夹角为150°,OA的长为30 cm,贴纸部分的宽AC为18 cm,则的长为 (　　)
图1 　　　　图2
A.5π cm B.10π cm C.20π cm D.25π cm
3.如图,点A,B,C在半径为4的☉O上,AC∥OB.若∠AOB=130°,则长为　　　　.
4.(2024葫芦岛连山区期中)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.
(1)求证:AE=ED;
(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.
扇形面积公式的应用
5.已知一个扇形的圆心角为150°,半径是6,则这个扇形的面积是 (　　)
A.15π B.10π C.5π D.2.5π
6.已知扇形的圆心角为120°,面积为12π,则扇形的半径是　　　　.
7.如图,☉A、☉B、☉C两两不相交,且半径都是0.5 cm,则图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为　　　　　.
8.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图,折扇的骨柄OA长为35 cm,扇面的宽AC的长为20 cm,折扇完全展开时的圆心角为135°,求此时扇面的面积.(结果保留π)
1.如图,已知AB是☉O的弦,C为☉O上的一点,OC⊥AB于点D,若☉O的半径为3,∠ABC=25°,则的长为 (　　)
A.π B.π C.π D.π
2.(2024武威三模)如图,两个半径均为4的圆形纸片完全重合叠放在一起,让其中的一张圆形纸片绕着直径AB的一端A按逆时针方向旋转30°后得到直径为AC的圆,则图中阴影部分的面积为(　　)
A.-2 B.-2 C.-4 D.-4
3.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,C,D均在小正方形的顶点上,点C,A,D,B均在所画的弧上,若∠CAB=75°,则的长为　　　　　.
4.如图,折线AOBC是一段固定的栅栏,其上方为草场.已知OA⊥OB,OB=6 m,∠OBC=120°.一根长度为12 m的绳子,一头固定在点O处,另一头P拴着小羊.则小羊活动的最大区域面积为　　　　
m2.(结果保留π)
5.如图,某校准备修建一块铅球场地,场地由圆形投掷区和扇环形落地区两部分组成,投掷区半径OA的长度为r(单位:m),落地区边界线AB的长度是投掷区半径的5倍,扇形OBD的圆心角度数为40°.
(1)请直接用含r的式子表示落地区的面积;
(2)若r=2,求整个铅球场地的面积是多少平方米(π取3,结果精确到个位);
(3)在(2)的条件下,若投掷区采用混凝土铺设,落地区采用草坪铺设,混凝土每平方米成本a元,比草坪每平方米成本低20%,用含a的式子表示此次修建铅球场地共需资金多少元.
6.(应用意识)如图,在矩形ABCD中,是以A为圆心,AF为半径的一段圆弧,是以C为圆心,CD为半径的一段圆弧,两弧相切,AF=x,CE=y,AD=4且x(1)用代数式表示图中阴影部分的面积;
(2)当x=2,y=3时,求阴影部分的面积(结果保留π).
【详解答案】
课堂达标
1.C　解析:∵∠ACB=30°,
∴∠AOB=2∠ACB=60°,
∴的长==π.
故选C.
2.D　解析:∵OA的长为30 cm,OA和OB的夹角为150°,
∴的长为=25π(cm).
故选D.
3.π　解析:如图,连接OC,
∵AC∥OB,
∴∠A+∠AOB=180°,∠C=∠BOC.
∵∠AOB=130°,∴∠A=50°.
∵OA=OC,
∴∠A=∠C=50°,
∴∠COB=50°,
∴的长为π.
4.解:(1)证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵OC∥BD,
∴∠AEO=∠ADB=90°,
即OC⊥AD,
∴AE=ED.
(2)∵OC⊥AD,
∴,
∴∠ABC=∠CBD=36°,
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,
∴的长==2π.
5.A　解析:∵扇形的圆心角为150°,半径是6,
∴S扇形==15π.
故选A.
6.6　解析:根据扇形的面积公式,得
R==6.
7. cm2　解析:S阴影=(cm2).
8.解:由题意可知,OC=OA-AC=35-20=15(cm),
∴S扇面=-=375π(cm2),
即扇面的面积是375π cm2.
课后提升
1.C　解析:∵OC⊥AB,
∴,
∴∠BOC=2∠ABC=50°,
∴的长为π.
故选C.
2.C　解析:如图,连接BD,OD,作OG⊥AD于点G,
由旋转知∠BAC=30°,
∴OG=AO×sin 30°=4×=2.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°.
∵AB=8,∠BAC=30°,
∴AD=AB·cos 30°=8×=4,
∴S△AOD=×AD×OG=×4×2=4.
∵AO=OD,
∴∠DAO=∠ADO=30°,
∴∠AOD=180°-∠DAO-∠ADO=120°,
∴S扇形AOD=×π×42=π,
∴阴影部分的面积为π-4,
故选C.
3.2π　解析:如图,取CD的中点O,连接OB,OA,AD.
∵小正方形的边长为1,
∴CD=6,
即CO=OD=3.
由勾股定理,得AC=AD==3,
∴AC2+AD2=(3)2+(3)2=18+18=36=62=CD2,
∴AC2+AD2=CD2,
∴△CAD是等腰直角三角形,
∴∠ADC=45°,∠CAD=90°,
∴CD是☉O的直径,半径OA=3,
∴∠ABC=∠ADC=45°.
∵∠CAB=75°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-45°-75°=60°,
∴∠AOB=2∠ACB=120°,
∴的长是=2π.
4.42π　解析:由题可知,小羊活动的最大区域面积是扇形EOF和扇形EBM的面积和,如图:
∴OP=12 m,BE=OP-OB=12-6=6(m).
∵∠OBC=120°,
∴∠EBM=180°-∠OBC=180°-120°=60°,
∴S扇形EOF+S扇形EBM=×π×122+×π×62=42π(m2),
∴小羊活动的最大区域面积为42π m2.
5.解:(1)落地区的面积为πr2 m2.
(2)3×22+×3×22≈59(m2).
答:整个铅球场地的面积是59 m2.
(3)π×22·a+×π×22×a÷(1-20%)=πa(元),
∴此次修建铅球场地共需资金πa元.
6.解:(1)∵AF=x,CE=y,AD=4且x∴图中阴影部分的面积为4y-x2-y2.
(2)当x=2,y=3时,
4y-x2-y2
=4×3-×22-×32
=12-π.
∴阴影部分的面积为12-π.