专题训练三 二次函数的最值及自变量的取值范围
由自变量的取值范围求函数值的取值范围
1.二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>3,则x的取值范围是 ( )
A.-4B.-2C.x<-4或x>1
D.x<-2或x>0
2.二次函数y=-x2+bx+c,若y≥2时,x的取值范围为n-3≤x≤n+1(n为常数),则当n-4≤x≤n时,y的取值范围为( )
A.-3≤y≤5 B.-3≤y≤6
C.0≤y≤5 D.0≤y<6
3.已知二次函数y=-x2+2x+3,当-1≤x≤2时,y的取值范围为 .
4.已知二次函数y=-x2+bx+c,函数值y与自变量x之间的部分对应值如表:
x … -4 -1 0 1 …
y … -2 1 -2 -7 …
(1)写出二次函数图象的对称轴;
(2)求二次函数的表达式;
(3)当-4由自变量取值范围下的函数最值求字母系数
5.(2024西安临潼区二模)已知抛物线y=-(x-n)2-1(n为常数),当1≤x≤4时,其对应的函数值最大为
-10,则n的值为 ( )
A.4 B.-2或7
C.1或7 D.-2或4
6.如图,抛物线y=x2-x-的顶点为D点,与y轴交于C点,点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,m的值是 ( )
A. B. C. D.
7.(2024苏州期末)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,P,Q两点同时出发,当一点到达终点时另一点也停止运动,设运动时间为t(s).
(1)若P,Q两点的距离为4 cm时,求t的值;
(2)当t为何值时,△BPQ的面积最大 并求出最大面积.
8.(2024廊坊大城县期中)已知抛物线y=x2+ax+a+1经过点A(-2,3).
(1)求a的值;
(2)已知点P(m,yP),Q(m-4,yQ)均在该抛物线上.
①若m=0,请比较yP与yQ的大小关系;
②当-3≤x≤m时,函数y的最大值是6,最小值是2,求m的取值范围.
9.(2024葫芦岛绥中县月考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴相交于点C.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不与点B、C重合),过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,设点P的横坐标为m.
①用含有m的代数式表示线段PD的长;
②连接PB,PC,求△PBC的面积最大时点P的坐标.
【详解答案】
1.B 解析:由题图可得:抛物线对称轴为直线x=-1,当x=0时,y=3,
根据抛物线的对称性可得:当x=-2时,y=3,
∴若y>3,则x的取值范围是-2故选B.
2.B 解析:由题意知,当y≥2时,x的取值范围为n-3≤x≤n+1,且抛物线开口向下,
∴对称轴是直线x==n-1=-.
∴b=2(n-1).
∴抛物线为y=-x2+2(n-1)x+c.
又当x=n+1时,y=-(n+1)2+2(n-1)·(n+1)+c=2,
∴c=-n2+2n+5.
∴二次函数为y=-x2+2(n-1)x-n2+2n+5.
∵抛物线开口向下,
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大.
∵n-1-(n-4)=3>n-(n-1)=1,n-4又n-4≤x≤n,
∴当x=n-1时,y取最大值为y=-(n-1)2+2(n-1)2-n2+2n+5=6;
当x=n-4时,y取最小值为y=-(n-4)2+2(n-4)(n-1)-n2+2n+5=-3.
∴当n-4≤x≤n时,-3≤y≤6.
故选B.
3.0≤y≤4 解析:∵二次函数y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴该函数图象开口向下,对称轴为直线x=1.
∵-1≤x≤2,
∴当x=-1时,y取得最小值0;当x=1时,y取得最大值4;
∴当-1≤x≤2时,y的取值范围为0≤y≤4.
4.解:(1)∵x=-4和x=0时的函数值相等,都是-2,
∴此函数图象的对称轴为直线x==-2.
(2)将(-1,1),(0,-2)代入y=-x2+bx+c,
得
解得
∴二次函数的表达式为y=-x2-4x-2.
(3)∵y=-x2-4x-2=-(x+2)2+2,
∴当x=-2时,y取得最大值2.
由表可知当x=-4时y=-2,当x=-1时y=1,
∴当-45.B 解析:①当n≥4时,当x=4,y=-10时,代入抛物线y=-(x-n)2-1(n为常数),得-10=-(4-n)2-1,
整理,得n2-8n+7=0,
解得n=7或1(舍去),
②当n≤1时,当x=1,y=-10时,代入抛物线y=-(x-n)2-1(n为常数),得
-10=-(1-n)2-1,
整理,得n2-2n-8=0,
解得n=-2或4(舍去).
故n的值为7或-2.
故选B.
6.D 解析:当x=0时,y=x2-x-=-,则点C的坐标为,
∴C点关于x轴的对称点C'的坐标为.
∵y=x2-x-(x-1)2-2,
∴点D的坐标为(1,-2).
连接C'D交x轴于M,如图,
∵MC+MD=MC'+MD=C'D,
∴此时MC+MD的值最小.
设直线C'D的表达式为y=kx+,
把D(1,-2)代入,得-2=k+,解得k=-,
∴直线C'D的表达式为y=-x+,
当y=0时,-x+=0,解得x=,
∴此时M点的坐标为,即m=.
故选D.
7.解:(1)由题意知,BP=(6-t)cm,BQ=2t cm.
在Rt△BPQ中,
PQ2=PB2+BQ2=(6-t)2+(2t)2.
又∵P,Q两点的距离为4 cm,
∴(6-t)2+(2t)2=(4)2,
解得t1=2,t2=.
又∵0≤t≤4,
∴上述两解都符合题意,
故t的值为2或.
(2)由(1)知,BP=(6-t)cm,BQ=2t cm,
∴S△BPQ=BP·BQ=·2t(6-t)=t(6-t)=-t2+6t=-(t2-6t+9)+9=-(t-3)2+9.
又∵0≤t≤4,且-1<0,
∴当t=3时,S△BPQ有最大值为9 cm2.
8.解:(1)将点A(-2,3)代入y=x2+ax+a+1中,
得3=4-2a+a+1,
解得a=2.
(2)①∵a=2,
∴抛物线为y=x2+2x+3,
当m=0时,点P(m,yP),Q(m-4,yQ)为P(0,yP),Q(-4,yQ),
∴yP=0+0+3=3,yQ=16-8+3=11,
∴yP与yQ的大小关系为yP②y=x2+2x+3=(x+1)2+2.
当x2+2x+3=6时,x1=-3,x2=1.
如图,根据图象和题意可得m的取值范围是-1≤m≤1.
9.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),∴将A,B点坐标代入,得
解得
∴抛物线表达式为y=x2-4x+3.
(2)①由y=x2-4x+3可知,抛物线对称轴为直线x=2,点C(0,3),设直线BC的表达式为y=kx+c.
将点B(3,0),C(0,3)代入直线BC表达式y=kx+c,
则解得
∴直线BC的表达式为yBC=-x+3.
设P(m,m2-4m+3),如图,
过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,
∴点D的坐标为(m,-m+3),
∴PD=(-m+3)-(m2-4m+3)=-m2+3m;
②S△PBC=S△CPD+S△BPD
=OB·PD
=-m2+m
=-,
∴当m=时,S有最大值.
当m=时,m2-4m+3=-.
∴点P的坐标为.
∴△PBC的面积最大时点P的坐标为.专题训练五 二次函数的图象与字母系数的关系
二次函数的图象与字母系数a的关系
1.(2024重庆武隆区期末)如图是抛物线y=ax2+bx+c的示意图,则a的值可以是 ( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
2.已知抛物线y=(3m-1)x2的开口向下,则m的取值范围是 ( )
A.m< B.m≤
C.m> D.m≥
3.若关于x的函数y=(m+2)是二次函数,其图象开口向下,求m的值.
二次函数的图象与字母系数a,b的关系
4.抛物线y=-x2+2x-3的对称轴是直线 ( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
5.抛物线y=2x2+bx+3的对称轴是直线x=1,则b的值为 ( )
A.-4 B.4 C.1 D.-1
6.写出一个对称轴是y轴的二次函数的表达式 .
7.二次函数y=ax2-6ax+3(a是常数),该函数图象的对称轴是直线 .
二次函数的图象与字母系数c的关系
8.关于抛物线y=-(x+2)2+3,下列说法中错误的是 ( )
A.开口向下 B.对称轴是直线x=-2
C.顶点坐标(-2,3) D.与y轴交点坐标(0,3)
9.如果将抛物线y=(x-1)2向下平移2个单位长度,那么平移后抛物线与y轴的交点坐标是 ( )
A.(-1,0) B.(0,-1)
C.(-2,0) D.(3,0)
10.(2024合肥期末)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-2x2+8x+5.
(1)它的顶点坐标是 ,当x 时,y随x的增大而减小;
(2)将抛物线y=-2x2+8x+5向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,求所得新抛物线与y轴的交点坐标.
二次函数的图象与字母系数a,b,c的关系
11.一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
A B C D
12.二次函数y=ax2+bx-c的图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0
C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<0
13.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)如图所示,以下结论:①ab<0,
②b2>4ac,③4a+2b+c>0,④3a+c>0,⑤a+b14.(2024南京玄武区一模)已知二次函数y=-x2+2(m-4)x+m2-1(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点;
(2)求证:当-115.已知抛物线y=ax2+bx+c,如图所示,直线x=-1是其对称轴,
(1)确定a,b,c,Δ=b2-4ac的符号;
(2)求证:a-b+c>0;
(3)当x取何值时,y>0,当x取何值时,y<0.
16.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线对应的函数表达式,并直接写出顶点P的坐标;
(2)求△BCP的面积.
【详解答案】
1.A 解析:∵抛物线的开口向上,
∴二次项系数a大于0,
∴只有A选项符合题意,
故选A.
2.A 解析:∵抛物线y=(3m-1)x2的开口向下,∴3m-1<0,解得m<,
故选A.
3.解:∵函数y=(m+2)是二次函数,其图象开口向下,
∴m+2<0,m2+m-4=2,
∴m2+m-6=0,m<-2,
解得m=-3,
∴m=-3.
4.A 解析:对称轴为直线x=-=-=1,
即对称轴是直线x=1.
故选A.
5.A 解析:∵抛物线的对称轴是直线x=1,∴-=1,
∴b=-4,
故选A.
6.y=x2+2(答案不唯一)
解析:∵抛物线对称轴为y轴,即直线x=0,只要函数表达式的一般式缺少一次项即可,如y=x2+2,答案不唯一.
7.x=3 解析:∵二次函数y=ax2-6ax+3(a是常数),
∴该函数图象的对称轴是直线x=-=3.
8.D 解析:y=-(x+2)2+3中,
∵a=-1,h=-2,k=3,
∴抛物线的开口向下,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,3),
∴选项A,B,C均不符合题意.
令x=0,得y=-1,
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,-1),
∴选项D符合题意.
故选D.
9.B 解析:抛物线y=(x-1)2向下平移2个单位长度后的表达式为y=(x-1)2-2,
∵当x=0时,y=(0-1)2-2=-1,
∴平移后抛物线与y轴的交点坐标是(0,-1).
故选B.
10.解:(1)(2,13) >2
(2)由(1)知,y=-2x2+8x+5=-2(x-2)2+13,
∴抛物线y=-2x2+8x+5向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得新抛物线的表达式为y=-2(x-2+2)2+13-3=-2x2+10,
∴当x=0时,y=10,
∴所得新抛物线与y轴的交点坐标为(0,10).
11.C 解析:观察A,C,D中二次函数图象,可知a<0,b<0,
∴一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限,A,D不符合题意,C符合题意;
观察B中二次函数图象,可知a>0,b<0,
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,B不符合题意.
故选C.
12.B 解析:∵抛物线开口向上,
∴a>0.
∵抛物线的对称轴在y轴右侧,
∴->0,∴b<0.
∵抛物线交y轴于负半轴,
∴-c<0,∴c>0.
故选B.
13.①②④⑥ 解析:①∵图象开口向上,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右侧,∴a>0,c<0,-=1>0,b<0,
∴ab<0,故①正确;
②图象与x轴有两个交点,依据根的判别式可知b2-4ac>0,即b2>4ac,故②正确;
③∵抛物线的对称轴为直线x=1,由图象对称性可知x=2时与x=0时函数值相等,当x=0时,y<0,
∴x=2时,y<0,
∴4a+2b+c<0,故③错误;
④∵抛物线的对称轴为直线x=-=1,
∴b=-2a.
∵当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,
∴a+2a+c>0,即3a+c>0,故④正确;
⑤∵图象开口向上,对称轴为直线x=1,
∴当x=1时,y=a+b+c为最小值,对于任意实数m均有a+b+c≤am2+bm+c,即a+b≤m(am+b),故⑤错误;
⑥∵a>0,对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随着x的增大而减小,
∴当x<-1时,y随x的增大而减小,故⑥正确.
故结论正确的是①②④⑥.
14.证明:(1)∵Δ=4(m-4)2-4×(-1)×(m2-1)=8(m-2)2+28,
而8(m-2)2≥0,
∴Δ>0,
∴不论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点.
(2)当x=0时,y=-x2+2(m-4)x+m2-1=m2-1,
∴二次函数图象与y轴的交点坐标为(0,m2-1).
∵-1∴m2-1<0,
∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,
即当-115.解:(1)∵抛物线开口向下,
∴a<0.
∵对称轴为x=-=-1<0,
∴b<0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,
∴c>0.
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴Δ=b2-4ac>0.
(2)证明:∵抛物线的顶点在x轴上方,对称轴为x=-1,
∴当x=-1时,y=a-b+c>0.
(3)根据题图可知,
当-30;当x<-3或x>1时,y<0.
16.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),
∴
解得
∴抛物线的表达式为y=x2-3x-4.
P.
(2)如图,连接OP,
∵A(-1,0),B(4,0),
C(0,-4),P,
∴S△OPC=×4×=3,
S△BOP=×4×,
S△BOC=×4×4=8,
∴S△BPC=S△OPC+S△BOP-S△BOC=3+-8=.专题训练四 二次函数在实际生活中的常见应用
抛物线问题
1.一名运动员在10 m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点,当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为
7 m.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
2.城建部门计划修建一条喷泉步行通道.图1是项目俯视示意图.步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置,另一侧是方形水池.图2是主视示意图.喷水装置OA的高度是2 m,水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内.当水流在与喷头水平距离为2 m时达到最高点B,此时距路面的最大高度为3.6 m.为避免溅起的水雾影响通道上的行人,计划安装一个透明的倾斜防水罩.防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处,另一端与路面的垂直高度NC为1.8 m,且与喷泉水流的水平距离ND为0.3 m.点C到水池外壁的水平距离CE为0.6 m,求步行通道的宽OE.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41)
图1 图2
最大利润问题
3.某超市购进一款洗衣液,由于原材料价格上涨,今年每瓶洗衣液的进价比去年上涨4元,今年用
1 440元购进这款洗衣液的数量与去年用1 200元购进这款洗衣液的数量相同,当每瓶洗衣液的现售价为36元时,每周可卖出600瓶,为了薄利多销,该超市决定降价销售,经市场调查发现,每降价1元,每周销量可增加100瓶,规定每瓶的售价不低于进价.
(1)求今年这款洗衣液每瓶进价是多少元
(2)当每瓶售价定为多少元时,每周的销售利润最大 最大利润是多少元
面积最大(或最小)值问题
4.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,AB∥DE,AB与DE之间的距离为2 m,AB=3 m,AF=BC=1 m,∠A=∠B=90°,∠C=∠F=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是多少
5.【发现问题】由(a-b)2≥0,得a2+b2≥2ab;如果两个正数a,b,即a>0,b>0,则有下面的不等式:a+b≥2,当且仅当a=b时取到等号.
【提出问题】若a>0,b>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢
【分析问题】例如:已知x>0,求式子x+的最小值.
解:令a=x,b=,则由a+b≥2,得x+≥2=4,当且仅当x=时,即x=2时,式子有最小值,最小值为4.
【解决问题】请根据上面材料回答下列问题:
(1)2+3 2;6+6 2;(用“=”“>”或“<”填空)
(2)当x>0时,式子x+的最小值为 ;
【能力提升】
(3)当x<0,则当x= 时,式子4x+取到最大值;
(4)用篱笆围一个面积为32 m2的矩形花园,使这个矩形花园的一边靠墙(墙长20 m),问这个矩形的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少
(5)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB、△COD的面积分别是8和14,求四边形ABCD面积的最小值.
【详解答案】
1.解:(1)根据题意可得,抛物线过点(0,10)和(3,7),对称轴为直线x=1,
设y关于x的函数表达式为y=ax2+bx+c,
∴解得
∴y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10.
(2)在y=-x2+2x+10中,令y=0,得0=-x2+2x+10,
解得x=+1或x=-+1(舍去),
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(+1)m.
2.解:如图,以点O为坐标原点,OC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
由题意知:A(0,2),B(2,3.6),
∵抛物线的最高点为B,
∴设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+3.6,
把A(0,2)代入得4a+3.6=2,
解得a=-0.4,
∴抛物线的表达式为y=-0.4(x-2)2+3.6.
当y=1.8时,-0.4(x-2)2+3.6=1.8,
解得x=2+(负值舍去),
∴D,
∴OE=xD-DN-CE≈2+-0.3-0.6≈3.2(m).
答:步行通道的宽OE的长约为3.2 m.
3.解:(1)设今年这款洗衣液每瓶进价是m元,
根据题意,得,
解得m=24,
经检验,m=24是原方程的解,也符合题意,
∴今年这款洗衣液每瓶进价是24元.
(2)设洗衣液每瓶的售价为x元,每周的销售利润为w元,
根据题意,得w=(x-24)[600+100(36-x)]=-100x2+6 600x-100 800=-100(x-33)2+8 100,
∵-100<0,
∴当x=33时,w取最大值8 100,
∴当这款洗衣液每瓶的售价定为33元时,这款洗衣液每周的销售利润最大,最大利润是8 100元.
4.解:连接CF,分别交HM,GN于点Q,P,如图,
∵AF=BC=1 m,∠A=∠B=90°,
∴AF∥BC,
∴四边形ABCF是矩形,
∴∠AFC=∠BCF=90°,AB∥CF.
∵四边形MNGH是矩形,
∴∠HMN=∠MNG=90°,MH=NG,
∴∠HQF=∠GPC=90°,MQ=AF=NP=BC=1 m,
∵∠BCG=∠AFH=135°,
∴∠HFQ=∠GCP=45°,
∴FQ=HQ,CP=GP,
∴FQ=HQ=MH-MQ=MH-1,
同理得:CP=MH-1,
∴AM=NB=MH-1,
∴MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH,
∴S矩形MNGH=MN·MH
=(5-2MH)·MH
=5MH-2MH2
=-2
=-2,
∴当MH= m时,铁皮的面积最大,最大值为 m2.
5.解:(1)> = (2)2 (3)-3
(4)设这个矩形垂直于墙的一边的长为x m,平行于墙的一边长为y(0则xy=32,
∴y=,∴所用篱笆的长为m.
∵+2x≥2=16,
∴当且仅当=2x时,+2x的值最小,
∴x=4或x=-4(舍去).
∴这个矩形的长、宽分别为8 m,4 m时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是16 m.
(5)设点B到AC的距离为h1(h1>0),点D到OC的距离为h2(h2>0).
∵△AOB、△COD的面积分别是8和14,
∴OA=,OC=,
∴AC=OA+OC=,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=AC·h1+AC·h2
=AC·(h1+h2)
=(h1+h2)
=22+
≥22+2
=22+8.
当且仅当时,取等号,
∴四边形ABCD面积的最小值为22+8.专题训练六 二次函数背景下的综合题
二次函数与几何图形周长的最值问题
1.如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值 最大值是多少
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.
二次函数与几何图形面积的最值问题
2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx-c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D,若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点,求△MCD面积的最大值;
(3)如图2,点P是直线AC上的一个动点,过点P的直线l与BC平行,则在直线l上是否存在点Q,使点B与点P关于直线CQ对称 若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1 图2
二次函数与三角形的存在性问题
3.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0),交y轴于点B(0,3).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)设二次函数图象的顶点为P,对称轴与x轴交于点Q,求四边形AOBP的面积(请在图1中探索);
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M,使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形 若存在,请求出满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由(请在图2中探索).
图1 图2
二次函数与四边形的存在性问题
4.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标为(1,0),对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点,PM⊥x轴,交直线AC于点M,交抛物线于点N.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合),求四边形ABCN面积的最大值,并求出此时点P的坐标;
(3)若点P在x轴上运动,则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形是菱形 若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
1.解:(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10),
∵当t=2时,BC=4,
∴点C的坐标为(2,-4),
∴将点C坐标代入函数表达式,得2a(2-10)=-4,
解得a=,
∴抛物线的函数表达式为y=x2-x.
(2)由抛物线的对称性,得AE=OB=t,
∴AB=10-2t.
当x=t时,点C的纵坐标为t2-t,
∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)
=2
=-t2+t+20
=-(t-1)2+,
∵-<0,
∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为.
(3)如图,连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ,
∵直线GH平分矩形ABCD的面积,
∴直线GH过点P.
由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,
∴PQ=CH.
∵四边形ABCD是矩形,
∴点P是AC的中点,
∵Q是OC的中点,
∴PQ=OA.
∵t=2时,点A的坐标为(8,0),
∴OA=8,CH=PQ=OA=4,
∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度.
2.解:(1)由题意,得
二次函数的表达式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.
(2)如图1,
图1
连接MC,MD,作MQ⊥AC于点Q,作ME⊥AB于点F,交AC于点E.
∵OA=OC=3,∠AOC=90°,
∴∠CAO=∠ACO=45°,
∴∠MEQ=∠AEF=90°-∠CAO=45°.
∵抛物线的对称轴是直线x==-1,
∴当x=-1时,y=x+3=-1+3=2,
∴点D的坐标为(-1,2).
∵点C的坐标为(0,3),∴CD=.
故只需△MCD的边CD上的高最大时,△MCD的面积最大,
设过点M与AC平行的直线的表达式为y=x+m,
当直线y=x+m与抛物线相切时,△MCD的面积最大.
由x+m=-x2-2x+3,得
x2+3x+(m-3)=0,
由Δ=0,得
32-4(m-3)=0,得
m-3=,
∴x2+3x+=0,
∴x1=x2=-,
∴y=--2-2×-+3=,
y=x+3=-+3=,
∴ME=-,
∴MQ=ME·sin ∠MEQ=ME·sin 45°=,
∴S△MCD最大=.
(3)存在.点Q的坐标为(1-,-)或(1+,).
解析:如图2,
图2
当点P在线段AC上时,连接BP,交CQ于点R,
∵点B和点P关于CQ对称,
∴CP=CB.
设点P坐标为(t,t+3),
由CP2=CB2,得t2+(3-t-3)2=32+12,
即2t2=10,
∴t1=-,t2=(舍去),
∴点P的坐标为(-,3-).
∵PQ∥BC,
∴=1,
∴CR=QR,
∴四边形BCPQ是平行四边形.
设Q(p,q),
∴
解得
∴点Q的坐标为(1-,-);
如图3,
图3
当点P在AC的延长线上时,由上可知:P(,3+),
同理可得:点Q的坐标为(1+,),
综上所述,存在点Q,点Q的坐标为(1-,-)或(1+,).
3.解:(1)由题意,得
∴
∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)如图,连接OP,
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴点P的坐标为(-1,4),
∴PQ=4,OQ=1.
由-x2-2x+3=0,得
x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),
∴OA=3,
∴S四边形AOBP=S△AOP+S△BOP=OA·PQ+OB·OQ=×3×4+×3×1=.
(3)存在.设点M的坐标为(-1,m),
由AM2=BM2得,
[(-3)-(-1)]2+m2=(-1)2+(m-3)2,
∴m=1,
∴点M的坐标为(-1,1).
4.解:(1)∵抛物线对称轴是直线x=-1,点B的坐标为(1,0),
∴点A的坐标为(-3,0),
∴二次函数表达式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.
(2)连接ON,如图.
设P(m,0),则
N(m,m2+2m-3),
在y=x2+2x-3中,令x=0,得y=-3,
∴点C的坐标为(0,-3),
∴OC=3,
∴S四边形ABCN=S△AON+S△BOC+S△CON
=×3(-m2-2m+3)+×1×3+×3(-m)
=-m2-m+6
=-,
∵-<0,-3∴当m=-时,S四边形ABCN取最大值,
此时点P的坐标为.
∴四边形ABCN面积的最大值是,此时点P的坐标为.
(3)在y轴上存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形是菱形,点Q的坐标为(0,-1)或(0,-1-3)或(0,-1+3).
解析:由A(-3,0),C(0,-3)得直线AC的表达式为y=-x-3.
设Q(0,t),P(n,0),则M(n,-n-3),N(n,n2+2n-3).
∵MN∥CQ,
∴当以M,N,C,Q为顶点的四边形是菱形时,MN,CQ是一组对边;
①当MC,NQ为对角线时,MC,NQ的中点重合,且CN=CQ,
∴,
解得(此时M,N与C重合,舍去)或
∴点Q的坐标为(0,-1);
②当MQ,CN为对角线时,MQ,CN的中点重合,且CQ=CM,
∴
解得(舍去)
或或
∴点Q的坐标为(0,-1-3)或(0,-1+3);
综上所述,存在点Q,点Q的坐标为(0,-1)或(0,-1-3)或(0,-1+3).
