专题训练七 与圆的基本性质有关的辅助线作法
遇弦心距、弧中点添半径
1.(2024邯郸峰峰矿区模拟)如图是一个半圆形桥洞的截面示意图,圆心为O,直径AB是河底截线,弦CD是水位线,CD∥AB,AB=20 m,OE⊥CD于点E.
(1)当测得水面宽CD=10 m时,求此时水位的高度OE;
(2)当水位的高度比(1)上升1 m时,有一艘宽为10 m,船舱顶部高出水面2 m的货船要经过桥洞(船舱截面为矩形MNPQ),请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞.
2.如图,AB是☉O的直径,C,P是上两点,AB=13,AC=5.
(1)如图1,若点P是的中点,求PA的长;
(2)如图2,若点P是的中点,求PA的长.
图1 图2
利用圆的对称性添加辅助线
3.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则所对的圆心角的度数是 .
4.(2024黄石大冶期中)如图,在半径为1的☉O中有三条弦,它们所对的圆心角分别为60°,90°,120°,那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 .
利用圆的旋转不变性补形
5.已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E.
(1)如图1,当∠A为锐角时,判断∠BAC与∠CBE的关系,并证明你的结论;
(2)若图1中的边AB不动,边AC绕点A按逆时针旋转,当∠BAC为钝角时,如图2,CA的延长线与圆O相交于点E.请问:∠BAC与∠CBE的关系是否与(1)中你得出的关系相同 若相同,请加以证明;若不同,请说明理由.
图1 图2
6.如图,在矩形ABCD中,将△ABD绕点D逆时针旋转,使点A的对应点F落在BD上(点B的对应点为E),EF,DE分别交边BC于点G,H,△CDH的三个顶点都在☉O上,且☉O交线段BD于点M.
(1)求证:M是BD的中点;
(2)若BG=CH=4,求GH的长;
(3)连接EM,交线段GH于点P,若GP∶HP=3∶2,求cos∠ADB的值.
圆的对称性引起的多解性
7.已知☉O的半径为5,P为☉O内一点,且OP=3,则过点P的所有弦中,弦长是整数的共有 ( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
8.已知等腰三角形ABC的三个顶点都在半径为5的☉O上,如果底边BC的长为8,求BC边上的高.
9.在经过等腰三角形ABC三个顶点的☉O中,圆心O到底边BC的距离为3 cm,☉O的半径为
7 cm,求腰AB的长.
【详解答案】
1.解:(1)∵OE⊥CD,CD=10 m,
∴DE=CD=5 m.
又∵OD=OB=AB=10 m,
∴此时水位的高度OE==5(m).
(2)该货船能顺利通过桥洞.
理由:由(1)中水位高度为5 m可知,此时OE=5+1=6(m),
如图,延长OE交MQ于点F,连接OM,则OF⊥MQ,
∵货船宽为10 m,船舱顶部高出水面2 m,
∴OF=6+2=8(m),货船居中行驶时MF=×10=5(m),
∴OM=(m)<10 m,
∴该货船能顺利通过桥洞.
2.解:(1)如图1,连接PB.
∵AB是☉O的直径且P是的中点,∴∠PAB=∠PBA=45°,∠APB=90°.
又∵在等腰直角三角形APB中有AB=13,∴PA=.
(2)如图2,连接BC,OP相交于点M,作PN⊥AB于点N,
∵点P为的中点,∴OP⊥BC,
∴∠OMB=90°.
又∵AB为直径,∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠OMB,∴OP∥AC,
∴∠CAB=∠POB.
又∵∠ACB=∠ONP=90°,
∴△ACB∽△ONP,∴.
又∵AB=13,AC=5,OP=,
∴ON=,
∴AN=OA+ON==9,
∴在Rt△OPN中,NP2=OP2-ON2=36.
在Rt△ANP中,PA==3,
∴PA=3.
图1 图2
3.30° 解析:如图,作半径OM⊥AB于点N,
由折叠的性质得到ON=MN=OM.
∵OA=OM,∴ON=OA,
∴sin A=,∴∠A=30°.
∵AB∥CD,∴∠AOC=∠A=30°,
∴所对的圆心角的度数是30°.
4. 解析:如图,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,作OM⊥EF于点M,
∴OA=OB=OC=OD=OE=OF=1,
∵∠AOB=60°,∠COD=90°,
∴△AOB是等边三角形,△COD是等腰直角三角形,
∴AB=OA=1,CD=,
∵∠EOF=120°,OE=OF,
∴∠OFE=30°,FM=EF,
∴OM=OF=,
由勾股定理,得FM=,
∴EF=,
∴三条弦组成的三角形的三条边的长分别为1,,.
∵12+()2=3=()2,
∴该三角形是以1,为直角边的直角三角形,
∴面积为.
5.解:(1)∠BAC=2∠CBE.
证明如下:如图1,
图1
连接AD,∵AB为直径,
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD.
又∵∠CAD=∠CBE,
∴∠BAC=2∠CBE.
(2)关系相同.
证明如下:如图2,连接AD,
图2
∵AB为直径,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵四边形ADBE内接于☉O,
∴∠CAD=∠CBE=∠BAD,
∴∠BAC=2∠CBE.
6.解:(1)证明:如图1,连接HM,
图1
由旋转可得,
∠ADB=∠FDE.
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∠DCH=90°,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠FDE=∠DBC,
∴DH=BH.
∵∠DCH=90°,点D,H在☉O上,
∴DH为☉O的直径,
∴∠DMH=90°,即HM⊥BD,
∴BM=DM,即M是BD的中点.
(2)设BD=x,AD=BC=y,则DM=x,DH=BH=y-4,
由旋转可得,DF=AD=y,DE=BD=x,∠DFE=∠A=90°,
∴BF=x-y.
∵∠BFG=90°,
∴∠BFG=∠C=90°,
又∵∠FBG=∠CBD,
∴△BFG∽△BCD,
∴,
即①,
∵∠DMH=∠DFE=90°,∠MDH=∠FDE,
∴△DMH∽△DFE,
∴,即②,
由①②化简得,y2-20y+72=0,
解得y=10+2或10-2(舍去),
∴BC=10+2.
∴GH=BC-BG-CH=10+2-4-4=2+2.
(3)如图2,连接MH,过点H作HN⊥EF于点N,则∠HNF=∠NFM=∠FMH=90°,
图2
∴四边形MHNF是矩形,
∴MH=FN,FM=NH.
∵∠DMH=∠DFE=90°,
∴MH∥EF,
∴△EPG∽△MPH,
∴.
设GE=3a,则HM=2a,
∴FN=2a.
∵∠ABD+∠FBG=90°,∠BGF+∠FBG=90°,
∴∠ABD=∠BGF.
∵∠BGF=∠HGE,
∴∠ABD=∠HGE.
由旋转可知,∠ABD=∠DEF,AB=FE,
∴∠HGE=∠DEF,
∴HG=HE,
∴NG=GE=a,
∴FG=FN-GN=2a-a=a.
∵∠BFG=∠HNG=90°,∠FGB=∠NGH,
∴△BFG∽△HNG,
∴,
∴.
设BF=b,则FM=3b,
∴BM=4b,
∴DM=4b,
∴DF=4b+3b=7b,BD=8b,
∴AD=7b,
∴cos ∠ADB=.
7.A 解析:如图,过P作弦AB⊥OP,交☉O于A,B,连接OA,
Rt△OAP中,OP=3,OA=5,
根据勾股定理,得AP==4,
由垂径定理,得AB=2AP=8,
∵最长的弦是直径,长度是10,
∴过点P的弦的长度都在8~10之间,
∴弦长为8,9,10.
当弦长为8、10时,过点P的弦分别为弦AB和过点P的直径,分别有1条;
当弦长为9时,根据圆的对称性知,符合条件的弦应该有2条;
故弦长为整数的弦共有4条.
故选A.
8.解:如图,连接AO并延长交BC于D点,
∵AB=AC,∴,
根据垂径定理得AD⊥BC,
则BD=4,∵OB=5,
∴根据勾股定理得OD=3,
①圆心在三角形内部时,三角形底边BC上的高=5+3=8;
②圆心在三角形外部时,三角形底边BC上的高=5-3=2.
∴BC边上的高是8或2.
9.解:分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论,
如图1,若∠A是锐角,△ABC是锐角三角形,
连接OA,OB,
∵OD=3 cm,OA=OB=7 cm,
∴AD=10 cm,
∴BD==2(cm).
∵OD⊥BC,
∴BD=CD.
∵AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴AB==2(cm);
如图2,若∠A是钝角,则△ABC是钝角三角形,
此时AD=7-3=4(cm),
∴AB==2(cm).
综上可得,腰长AB为2 cm或2 cm.
图1 图2专题训练九 求图形阴影面积的常用方法
和差法
1.如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC是☉O的直径,BD平分∠ABC,AC长6 cm,则阴影部分的面积为 ( )
A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2
2.如图,☉O是等边三角形ABC的内切圆,分别与AB,BC,AC切于点D,E,F,AB=2,点P是上一点,且DP过圆心O,则阴影部分的面积为 ( )
A.+ B.+ C. D.
3.如图,正方形的边长为4,以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆,以正方形的顶点为圆心,边长为半径在正方形内部作弧,则阴影部分的面积为 ( )
A.6 B.12 C.4π D.3.5π
4.(2024临沂郯城县一模)如图,CD是☉O的直径,AE与☉O相切于点B,连接BC,BD,过圆心O作OE∥BC,连接EB并延长,交DC的延长线于点A.
(1)求证:∠D=∠E;
(2)若F是OE的中点,☉O的半径为2,求阴影部分的面积.
5.如图,在平面直角坐标系中,已知☉D经过原点O,与x轴,y轴分别交于A,B两点,点A的坐标为(4,0),OC与☉D相交于点C,∠OCA=30°.
(1)求OB的长.
(2)☉D经过怎样平移,使得☉D与y轴相切 (写出一种平移方法即可)
(3)求阴影部分面积和.
割补法、等积法
6.如图,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若CD=CE,则图中阴影部分面积为 ( )
A. B. C. D.
7.如图,在边长为6的正方形ABCD中,以BC为直径画半圆,则阴影部分的面积是 ( )
A.9 B.6 C.3 D.12
8.如图,在扇形AOB中,∠AOB=120°,OA=5,C是的中点,D为半径OA上一点,则图中阴影部分的面积为 .
9.(2024蚌埠固镇县三模)如图,C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,CD=3,则阴影部分的面积是 .
平移法
10.如图,将边长为5的正方形ABCD沿BC的方向平移至正方形DCEF,则图中阴影部分的面积是( )
A.25 B.30 C.35 D.50
11.如图,把☉O1向右平移8个单位长度得☉O2,两圆相交于A,B,且O1A⊥O2A,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.4π-8 B.16π-16 C.16π-32 D.8π-16
旋转型
12.(2024潍坊二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,若进行下列操作:①将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到Rt△AB'C',点B经过的路径为;②以C为圆心,线段CB为半径得到,求图中阴影部分的面积.
【详解答案】
1.A 解析:连接OD,如图,
∵AC是☉O的直径,AC长6 cm,
∴∠ADC=∠ABC=90°,OA=OC=3 cm.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=45°,
∴∠DCO=45°.
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD=45°,
∴∠DOC=90°,
∴阴影部分的面积为-=
π-(cm2).
故选A.
2.B 解析:如图,连接OB,OE,过P作PG⊥OE于点G,
∵☉O是等边三角形ABC的内切圆,AB=2,
∴BD=AD=AB=,OD⊥AB,∠DBO=30°,
∴OD=BD=1.
∵OE⊥BC,
∴∠DOE=120°,
∴∠EOP=60°.
∵OE=OP=1,
∴△EOP为等边三角形,
∴PG=OP=,
∴阴影部分的面积=S扇形DOE+S△EOP
=×1×
=.
故选B.
3.B 解析:如图,取CD中点O,连接OF,
∵正方形的边长为4,
∴CD=4,
∴OC=OD=2.
∵扇形OFC的面积==π,△OFC的面积=OF·OC=×2×2=2,
∴弓形CMF的面积=扇形OFC的面积-△OFC的面积=π-2.
∵△ABC的面积=AB·BC=×4×4=8,半圆的面积=π×22=2π,S1=S2,
∴阴影部分的面积=△ABC的面积+半圆的面积-弓形CMF的面积×2=8+2π-2(π-2)=12.
故选B.
4.解:(1)证明:如图1,连接OB,
∵CD是☉O的直径,
∴∠CBD=90°.
∵OE∥BC,
∴∠BGE=∠CBD=90°,
∴∠E+∠EBG=90°.
∵AE与☉O相切于点B,
∴OB⊥AE,
∴∠OBD+∠EBG=90°,
∴∠E=∠OBD.
∵OB=OD,
∴∠D=∠OBD,
∴∠D=∠E.
图1 图2
(2)如图2,连接BF,
∵∠OBE=90°,F是OE的中点,
∴BF=OF.
∵OB=OF,
∴OB=OF=BF,
∴△OBF是等边三角形,
∴∠BOE=∠OBF=60°.
∵∠OGD=90°,
即OF⊥BD,
∴∠OBD=∠OBF=30°,
∴OG=OB=1,BG=,
∴阴影部分的面积为S扇形BOF-S△BOG=-×1×-.
5.解:(1)如图,连接AB,
∵∠OCA=30°,
∴∠OBA=∠OCA=30°.
∵AO⊥BO,
∴∠BOA=90°.
∵点A的坐标为(4,0),
∴OA=4,
∴OB==4.
(2)如图,过点D作DM⊥OB,垂足为M.
∵∠BOA=90°,
∴AB为圆的直径.
∵∠OBA=30°,OA=4,
∴AB=8,
∴BD=4,
∴DM=2,
∴☉D向右平移BD-DM=2(个)单位长度,即可使得☉D与y轴相切.
(3)如图,连接OD.
∵S扇形BDO=,S△BDO=DM·BO=×2×4=4,S扇形ODA=,S△ODA=×4×2=4,
∴阴影部分面积和=-4-4=8π-8.
6.B 解析:连接OC,如图,
∵∠AOB=90°,CD⊥OA,CE⊥OB,
∴∠AOB=∠ODC=∠OEC=90°,
∴四边形OECD是矩形.
∵CD=CE,
∴四边形OECD是正方形,
∴∠DCE=90°,△DCE和△OEC全等,
∴S阴影=S△DCE+S半弓形BCE
=S△OEC+S半弓形BCE
=S扇形COB
=
=.
故选B.
7.A 解析:如图,设AC与半圆交于点E,半圆的圆心为O,连接BE,OE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠OCE=45°.
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE=45°,
∴∠EOC=90°,
∴OE垂直平分BC,
∴BE=CE,
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积,
∴S阴影=S△ABE=S△ABC-S△BCE=×6×6-×6×3=9.故选A.
8.π 解析:如图,连接OC,BC,
由题意,得∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.
∵OB=OC,∴△BOC是等边三角形,
∴∠OCB=∠AOC=60°,∴BC∥OA,
∴S△BCD=S△BCO,
∴S阴影=S扇形BOC=π.
9.π 解析:如图,连接OC,OD.
∵C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°.
又∵OC=OD,
∴△OCD是等边三角形,
∴∠OCD=∠AOC=60°,OC=CD=3,
∴CD∥AB,
∴S△ACD=S△OCD,
∴S阴影=S扇形OCD=π.
10.A 解析:由平移的性质可知,把题图中左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度,与右边阴影部分凑成一个完整的正方形,
所以阴影部分的面积=52=25.
故选A.
11.D 解析:如图,连接AB交O1O2于点C,
∵把☉O1向右平移8个单位长度得☉O2,
∴O1O2=8,
∴O1C=8÷2=4.
易得△AO1O2为等腰直角三角形,
∴AO1=4,
∴阴影部分的面积=2×-4×4÷2=8π-16.
故选D.
12.解:∵∠ACB=90°,AC=BC=4,
∴AB=AC=4.
根据题意,得AB'=AB=4,∠BAB'=90°,AC'=AC=BC=B'C'=4,∠C'=90°,
∴阴影部分的面积=S△ABC+S扇形ABB'-S扇形CAB-S△AB'C'
=×4×4+--×4×4
=-
=8π-4π
=4π.
∴图中阴影部分的面积为4π.专题训练八 圆的切线的性质与判定的综合应用
切线的一般证明方法
1.(2024凉州区校级三模)如图,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上,==,DE⊥AC.
求证:DE是☉O的切线.
2.(2024赣州二模)如图,△ABC的顶点A,B在☉O上,AC交☉O于点D,连接BD,已知∠A=45°.
(1)若☉O的半径为3,求弦BD的长;
(2)若∠ABC+∠ADB=180°,求证:BC是☉O的切线.
3.如图,△ABC内接于☉O,AC为直径,延长BC至点D,连接AD,E为AB上方圆上一点,连接ED.若AB=4,AC=8,BD=6.
(1)求sin∠DAB的值;
(2)若ED=2,求证:ED为☉O的切线.
4.如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,∠ABD=∠CAD.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F,若DB平分∠ADC,AC=AD,求证:CF为☉O的切线.
切线的判定与性质的综合应用
5.如图,AB是☉O的直径,点C,E在☉O上,∠CAB=2∠EAB,点F在线段AB的延长线上,且∠AFE=∠ABC.
(1)求证:EF与☉O相切;
(2)若BF=1,sin∠AFE=,求BC的长.
6.如图,已知AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,点P是☉O外的一点,PC⊥AB,垂足为点C,PC与BD相交于点E,连接PD,且PD=PE,延长PD交BA的延长线于点F.
(1)求证:PD是☉O的切线;
(2)若DF=4,PE=,cos∠PFC=,求BE的长.
7.如图,以AB为直径的☉O上有两点E,F,=,过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过点C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)求证:EM=EN;
(3)如果N是CM的中点,且AB=9,求EN的长.
【详解答案】
1.证明:如图,连接OD,
∵,
∴∠BOD=×180°=60°,
∵,
∴∠EAD=∠DAB=∠BOD=30°,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAB=30°,
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°,
∴∠EAD+∠EDA=90°,
∴∠EDA=60°,
∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°,
∴OD⊥DE,
∵OD是☉O的半径,
∴DE是☉O的切线.
2.解:(1)如图1,连接OB,OD,
图1
∴OB=OD=3,
∵∠A=45°,
∴∠DOB=90°,
∴△OBD是等腰直角三角形,
∴BD==3.
(2)证明:如图2,连接BO并延长交☉O于点E,连接AE.
图2
∵BE为直径,
∴∠EAB=90°,
∴∠E+∠ABE=90°.
∵∠ABC+∠ADB=180°,
∠E+∠ADB=180°,
∴∠E=∠ABC,
∴∠ABC+∠ABE=90°,
∴∠CBE=90°,即EB⊥BC,
∵BE是☉O的直径,
∴BC是☉O的切线.
3.解:(1)∵AC为直径,
∴∠ABC=90°.
∵AB=4,BD=6,
∴AD==2,
∴sin ∠DAB=.
(2)证明:如图,连接OE,过点O作OH⊥BC于点H,
∴CH=BH.
∵CO=OA,
∴OH是△CAB的中位线,
∴OH=AB=2.
在Rt△CAB中,AC=8,AB=4,
由勾股定理,得BC==4,
∴CD=BD-BC=2,CH=BH=2,
∴DH=DC+CH=2+2=4,
∴OE=DH.
∵ED=2,
∴ED=OH,
∴四边形EOHD为平行四边形.
∵∠OHD=90°,
∴平行四边形EOHD为矩形,
∴∠OED=90°,
∵OE为☉O的半径,
∴ED为☉O的切线.
4.证明:(1)∵,
∴∠CAD=∠DBC.
∵∠ABD=∠CAD,
∴∠DBC=∠ABD,
∴BD平分∠ABC.
(2)∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
∵∠DBC=∠ABD,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(ASA).
∴AD=CD.
∵AC=AD,
∴△ACD是正三角形,
∴∠ABD=∠CAD=60°.
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠ADB+∠DBA=90°,
∴∠DAB=90°,
∴BD是圆的直径.
∵CF∥AD,
∴∠F=90°.
取BD的中点O,连接OC,如图.
∵OB=OC,∠CAD=∠DBC=60°.
∴△OBC是正三角形,
∴∠BOC=60°,
∵∠ABD=60°,
∴OC∥AF,
∴∠OCF=∠F=90°,
∴OC⊥CF,
∵OC为☉O的半径,
∴CF与☉O相切.
5.解:(1)证明:如图,连接OE,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE.
∵∠CAB=2∠EAB,
∴∠CAB=∠FOE.
又∵∠AFE=∠ABC,
∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°=∠FOE+∠AFE,
∴∠OEF=90°,
即OE⊥EF.
∵OE是☉O的半径,
∴EF是☉O的切线.
(2)在Rt△EOF中,设半径为r,即OE=OB=r,则OF=r+1,
∵sin ∠AFE=,
∴r=4,∴AB=2r=8.
在Rt△ABC中,sin∠ABC==sin∠AFE=,AB=8,
∴AC=×8=,
∴BC=.
6.解:(1)证明:连接OD,如图,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD.
∵PD=PE,
∴∠PDE=∠PED.
∵PC⊥AB,∴∠BCE=90°,
∴∠OBD+∠BEC=90°.
∵∠PED=∠BEC,
∴∠BEC=∠PDE,
∴∠PDE+∠BDO=90°,
∴∠PDO=90°.
∵OD是☉O的半径,
∴PD是☉O的切线.
(2)∵PD=PE=,
∴PF=PD+DF=.
在Rt△PFC中,∵cos∠PFC=,
∴CF=6.
在Rt△ODF中,∵cos∠PFC=,
∴OF=5,
∴OC=CF-OF=1,OD==3,
∴OB=OD=3,
∴BC=OB-OC=2.
∵PC=,
∴CE=PC-PE=1,
∴BE=.
7.解:(1)证明:连接OE,如图,
∵,
∴∠FAE=∠EAB.
∵OA=OE,
∴∠AEO=∠EAB,
∴∠FAE=∠AEO,
∴AF∥OE.
∵CD⊥AF,
∴OE⊥CD.
∵OE是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.
(2)证明:由(1)知,CD是☉O的切线,
∴∠OEC=90°,
又∵∠AEB=90°,∴∠AEO+∠OEB=∠CEB+∠OEB,∴∠AEO=∠CEB,
∴∠CEB=∠EAC.
∵CM平分∠ACD,
∴∠ECM=∠ACM,
∴∠CEB+∠ECM=∠EAC+∠ACM,
∴∠ENM=∠EMN,
∴EM=EN.
(3)由(2)知EM=EN,∠EMN=∠ENM,
∴∠EMN=∠BNC.
∵∠ECM=∠BCN,
∴△EMC∽△BNC,
∴.
∵N是CM的中点,
∴=2,
∴EM=2BN,CE=2BC.
∵∠BEC=∠EAB,∠BCE=∠ECA,
∴△BEC∽△EAC,
∴,
∴AE=2BE.
在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,
∴(2BE)2+BE2=(9)2,
∴BE=9.
∵EN=EM=2BN,
∴EN=BE=6.
∴EN的长为6.
