第2课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
二次函数与一元二次方程的关系
1.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的解为 ( )
A.x1=0,x2=3 B.x1=1,x2=3
C.x1=1,x2=0 D.x1=-1,x2=3
2.(2024防城港期末)抛物线y=x2+2x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为 ( )
A.-1 B.1
C.-4 D.4
3.二次函数y=ax2-bx-5的图象与x轴交于点(1,0)、(-3,0),则关于x的方程ax2-bx=5的根为 ( )
A.1,3 B.1,-5
C.-1,3 D.1,-3
4.已知二次函数y=x2-4x+3图象的顶点为C,求其函数图象与x轴的交点A、B(A在B的左侧)的坐标及△ABC的面积.
二次函数与一元二次不等式的关系
5.如图,由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是 ( )
A.-31
C.x<-3或x>1 D.x<-3
6.如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象,使y≤1成立的x的取值范围是 ( )
A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥1 D.x≤-1或x≥3
7.(2024宿迁沭阳县一模)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-2,p),B(4,q)两点,则不等式ax2+c8.利用函数的图象,求方程x2+2x-3=0的解,并直接写出不等式x2+2x-3>0的解集.
1.如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,它的对称轴是直线x=1,若抛物线与x轴的一个交点为A(3,0),则不等式ax2+bx+c<0的解集是 ( )
A.x>3 B.x<3
C.02.(易错题)若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为 ( )
A.0 B.0或2
C.2或-2 D.0,2或-2
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列结论:①a>0;②b2-4ac>0;③4a+b=1;④不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1A.1 B.2
C.3 D.4
4.二次函数y=2x2+4x-1的图象如图所示,若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2,则方程的另一个近似根为x= .(结果精确到0.1)
5.(2024北京顺义区期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,写出一个满足不等式ax2+bx+c<-1的x的值,这个值可以是 .
6.二次函数y=(x-m)2-(x-m)(07.已知抛物线y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个不同的交点.
(1)求m的取值范围;
(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上;
(3)当m=1时,求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标.
8.(几何直观)如图,直线y1=x+1与抛物线y2=x2-4x+8交于B、C两点(B在C的左侧).
(1)求B、C两点的坐标;
(2)直接写出y1(3)抛物线的顶点为A,求△ABC的面积.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.B 3.D
4.解:∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴顶点C(2,-1).由x2-4x+3=0,得x1=3,x2=1,即点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,0).
过点C作CD⊥AB于点D(图略).
∵AB=2,CD=1,
∴S△ABC=AB·CD=×2×1=1.
5.C 6.D 7.-28.解:二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,当y=0时,x=-3或1,即方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.不等式x2+2x-3>0的解集为x<-3或x>1.
课后提升
1.D 解析:设抛物线与x轴的另一个交点为B(x1,0),则=1,∴x1=-1,∴点B(-1,0).结合题中图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是-12.D 解析:分为两种情况:①当函数是二次函数时,
因为函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,
所以Δ=(m+2)2-4m=0且m≠0,解得m=±2;②当函数是一次函数时,m=0,此时函数表达式是y=2x+1,其图象与x轴只有一个交点.故选D.
3.C 解析:①由题图可知抛物线开口向上,则a>0,故①正确;②由题图可知抛物线与x轴无交点,∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根,即Δ=b2-4ac<0,故②错误;③抛物线过(1,1),(3,3),即当x=1时,y=a+b+c=1,当x=3时,y=9a+3b+c=3,∴8a+2b=2.∴4a+b=1.故③正确;④易知点(1,1),(3,3)在直线y=x上,由题图可知,点(1,1),(3,3)也在抛物线y=ax2+bx+c上,∴点(1,1),(3,3)是抛物线与直线y=x的交点.如图,观察图象可知,ax2+bx+c4.0.2 解析:由题意可知抛物线与x轴的一个交点近似为(-2.2,0),
又∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1,
∴另一个交点坐标近似为(0.2,0).
则方程的另一个近似根为x=0.2.
5.1(答案不唯一) 解析:由题图可知,当y=-1时,x1=0,x2=2.8,
∴当0∴不等式ax2+bx+c<-1的解集为0∴满足不等式ax2+bx+c<-1的x的值可以是1.(答案不唯一)
6.m≥1或m≤-1 解析:∵二次函数表达式为y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)(x-m-1),
∴当y=0时,x=m或x=m+1.
∴二次函数y=(x-m)2-(x-m)的图象与x轴的交点坐标为(m+1,0),(m,0).
∵y=(x-m)2-(x-m)=x2-2mx+m2-x+m(00,
∴该二次函数的图象开口向上.
∴当xm+1时,y>0,即此时二次函数图象都在x轴的上方,
∴m≥1或m+1≤0,即m≥1或m≤-1.
综上所述,m≥1或m≤-1.
7.解:(1)根据题意,得Δ>0,即b2-4ac=(3-2m)2-4m(m-2)>0,解得m<且m≠0.
(2)把x=1代入,得y=m+(3-2m)+m-2=1,点P(1,1)的坐标符合函数表达式,
所以点P(1,1)在抛物线上.
(3)因为m=1,所以y=x2+x-1=,
所以Q.
根据对称性,令x2+x-1=1,解得x1=-2,x2=1,
所以P'(-2,1).
8.解:(1)令x+1=x2-4x+8,
解得x1=2,x2=7,
将x1=2,x2=7分别代入y=x+1,得y1=2,y2=,
∴点B坐标为(2,2),点C坐标为.
(2)当y17或x<2.
(3)如图,作AD∥y轴交BC于点D,
∵y=x2-4x+8=(x-4)2,
∴抛物线顶点A的坐标为(4,0).
将x=4代入y=x+1,得y=3,
∴点D的坐标为(4,3),AD=3.
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AD·(xA-xB)+·AD·(xC-xA)=·AD(xC-xB)=×3×(7-2)=.26.3 实践与探索
第1课时 二次函数的应用
二次函数的应用
1.(2024淮南月考)把一个小球以20 m/s的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=20t-5t2.当h=10时,小球的运动时间为 ( )
A.1 s B.(2-)s C.2 s D.(2±)s
2.小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形,若该抛物线的表达式为y=-(x-3)2+,其中y(m)是实心球飞行的高度,x(m)是实心球飞行的水平距离,则小明此次掷球过程中,实心球的最大高度是 ( )
A.3 m B. m C. m D. m
3.有一座形状大小相同的双孔石拱桥,每个孔内侧呈抛物线型,如图1,当一个孔的水面宽度为10 m时,拱顶离水面的高度为5 m,若以一个孔的拱顶为坐标原点,桥面为x轴(不考虑拱部顶端的厚度),竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2,可计算出当一个孔的水面宽度为12 m时,拱顶离水面的高度为 ( )
图1 图2
A.7.2 m B.6.5 m C.5.6 m D.6 m
4.如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线y=-0.2x2+x+2.25运行后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m,则他距篮筐中心的水平距离OH是 m.
5.有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度为4 m,跨度为12 m.现将它放在如图所示的直角坐标系中.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)一艘宽为4 m,高出水面3 m的货船能否从此桥洞通过
1.(跨学科)某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究,如图1,将变阻器R的滑片从一端滑到另一端,绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象,如图2所示,且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分,则变阻器R消耗的电功率P最大为 ( )
图1 图2
A.160 W B.180 W C.200 W D.220 W
2.(易错题)如图是抛物线形拱桥,当拱桥顶端C离水面2 m时,水面AB的宽度为4 m.有下列结论:①当水面宽度为5 m时,水面下降了1.125 m;②当水面下降1 m时,水面宽度为2m;③当水面下降2 m时,水面宽度增加了(4-4)m.其中,正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.如图,某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的,且关于y轴对称.其中半圆与y轴相交于点D,两支抛物线的顶点分别为E,C,与x轴分别相交于点A、B.已知CE=2,OD=1.9,AB=5,则图案中AE这段抛物线的函数表达式为 .
4.如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16 m,AE=8 m,抛物线的顶点C到ED的距离是11 m.以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知从某时刻开始的40 h内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足函数关系h=-(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5 m时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行
5.(模型观念)手榴弹在战争中能发挥重要作用,然而想把手榴弹扔远,并不是一件容易的事.军训中,借助小山坡的有利地势,小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投,如图所示,把小刚投出的手榴弹的运动路线看成一条抛物线,手榴弹飞行的最大高度为12 m,此时它的水平飞行距离为6 m,山坡OA的坡度为1∶3(山坡OA的竖直高度AE与水平宽度OE的比=1∶3).
(1)求这条抛物线的表达式.
(2)已知OE=9 m,A处有一棵树,树高5 m,则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树 请说明理由.
(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.B 3.A 4.4
5.解:(1)由题图可知抛物线的顶点坐标为(6,4),过点(12,0),设抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4,
则0=a(12-6)2+4,解得a=-,
即这条抛物线的表达式为y=-(x-6)2+4.
(2)当x=×(12-4)=4时,y=-×(4-6)2+4=>3,
所以货船能通过此桥洞.
课后提升
1.D 解析:由题图是经过原点的一条抛物线的一部分,设抛物线的表达式为P=aI2+bI(a≠0),
把(1,165),(4,0)代入,得
解得
∴抛物线的表达式为P=-55I2+220I=-55(I-2)2+220.
∵-55<0,
∴当I=2时,P取最大值220.
∴变阻器R消耗的电功率P最大为220 W.
故选D.
2.D 解析:如图,以线段AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
由题意,得点C的坐标为(0,2),点B的坐标为(2,0).
设抛物线的表达式为y=ax2+k(a≠0).
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+2.
①当水面宽度为5 m时,x=2.5.
∴y=-+2=-1.125.
∵|-1.125|=1.125,
∴当水面宽度为5 m时,水面下降了1.125 m.
故①正确,符合题意;
②当水面下降1 m时,y=-1.
∴-x2+2=-1,
解得x=±.
∴水面宽度为-(-)=2(m).
故②正确,符合题意;
③当水面下降2 m时,y=-2.
∴-x2+2=-2.
解得x=±2,
∴水面宽度为2-(-2)=4(m).
∴水面宽度增加了(4-4)m.
故③正确,符合题意.
∴正确的有3个.
故选D.
3.y=-(x+1)2+ 解析:如图,记CE与y轴的交点为F.
∵CE=2,且半圆关于y轴对称,
∴EF=CF=DF=1.
∵OD=1.9,
∴OF=0.9.
∴左侧抛物线的顶点E的坐标为(-1,0.9).
设AE这段抛物线的表达式为y=a(x+1)2+.
∵AB=5,∴A.
将A点坐标代入抛物线的表达式,得a=-,
∴y=-(x+1)2+,其中x的取值范围为-≤x≤-1.
4.解:(1)依题意可得,顶点C的坐标为(0,11),设抛物线的表达式为y=ax2+11.
由抛物线的对称性可得,点B(8,8),代入表达式,得8=64a+11,
解得a=-,
故抛物线的表达式为y=-x2+11.
(2)当水面到顶点C的距离不大于5 m时,h≥6,
把h=6代入h=-(t-19)2+8(0≤t≤40),得-(t-19)2+8=6,
解得t1=35,t2=3.
所以禁止船只通行的时间为|t1-t2|=32(h).
答:禁止船只通行的时间为32 h.
5.解:(1)由题意,得抛物线的顶点为C(6,12),且抛物线经过原点,
设抛物线的表达式为
y=a(x-6)2+12,
把(0,0)代入,得0=a(0-6)2+12,
解得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-(x-6)2+12,即y=-x2+4x.
(2)能.理由如下:
∵AE∶OE=1∶3,OE=9 m,
∴AE=3 m.
当x=9时,y=-×81+36=9,
∵3+5<9,
∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树.
(3)设直线OA的表达式为y=kx(k≠0),把A(9,3)的坐标代入可得k=,
∴直线OA的表达式为y=x.
如图,作直线MN∥y轴,交抛物线于点M,交OA于点N.
设M,N,
则MN=t=-t2+t=-,
∴当t=时,MN取最大值.
答:飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是 m.
