第2课时 垂径定理
垂径定理
1.如图,已知AB、AC都是☉O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,若MN=,则BC等于 ( )
A.5 B.
C.2 D.
2.如图,在☉O中,直径AB=10,弦DC⊥AB于点E.若OE∶OB=3∶5,则CD的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.8
3.如图,在☉O中,AB是弦,∠E=30°,半径为4,OE=6,则AB的长为 ( )
A. B.
C.2 D.2
4.如图,A、B、C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为 .
5.(2024南京开学)如图,AB、AC是☉O的两条弦,且AB=AC.
求证:AO⊥BC.
垂径定理的推论
6.如图,OA、OB、OC都是☉O的半径,AC、OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 ( )
A.5 B.4
C.3 D.2
7.如图,在半径为5 cm的☉O中,弦AB的长为8 cm,D是AB的中点,连结OD,则OD的长为 .
1.如图,AB为半圆O的一条弦(非直径),连结OA、OB,分别以A、B为圆心,大于AB一半的长为半径画弧,两弧交于点P,连结OP,交AB于点Q,下列结论不一定正确的是 ( )
A.AB⊥OQ B.AQ=BQ
C.∠ABO=60° D.∠AOB=2∠AOQ
2.如图,☉O的半径为10,若OP=8,则经过点P的弦长可能是 ( )
A.10 B.6
C.19 D.22
3.(2024西安模拟)人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具,图1是一个竹筒水容器,图2是该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10 cm,开口AB宽为12 cm,则这个水容器所能装水的最大深度是 ( )
图1 图2
A.12 cm B.18 cm
C.16 cm D.14 cm
4.如图,CD是圆O的弦,直径AB⊥CD,垂足为点E,若AB=12,BE=3,则四边形ACBD的面积为( )
A.36 B.24
C.18 D.72
5.(2024瑞安二模)如图1是圆形置物架,示意图如图2所示.已知置物板AB∥CD∥EF,且点E是BD的中点.测得AB=EF=12 cm,CD=18 cm,∠BAC=90°,∠ABG=60°,则该圆形置物架的半径为
cm.
图1 图2
6.小明在学习圆的相关知识时,看到书本上提到可以用一把丁字尺(如图1)来找圆心,他想到爸爸的工具箱里有丁字尺,于是想利用丁字尺还原一个破损的圆,已知尺头AB=4 cm,尺身刻度线l垂直平分AB,他摆出的情况如图2,发现两次测量丁字尺的尺身刻度线交于刻度为6 cm的位置,则这个破损的圆的直径是 cm.
图1 图2
7.如图,在☉O中,弦AB的长为8,点C在BO延长线上,且cos∠ABC=,OC=OB.
(1)求☉O的半径;
(2)求∠BAC的正切值.
8.(几何直观)如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,且OC⊥PC,垂足为C,弦CD垂直平分半径OA,垂足为E,PA=6.
(1)求☉O的半径;
(2)求弦CD的长.
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.D 3.C 4.7
5.证明:如图所示,过O作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,
则∠AMO=∠ANO=90°,
∵OM、ON过O,
∴AM=AB,AN=AC.
∵AB=AC,
∴AM=AN.
在Rt△AMO和Rt△ANO中,由勾股定理得OM=ON,
∵OM⊥AB,ON⊥AC,
∴AO平分∠BAC.
∵AB=AC,
∴AO⊥BC.
6.B 7.3 cm
课后提升
1.C 解析:由作法得OQ⊥AB,故A选项不符合题意;
∴AQ=BQ,故B选项不符合题意;
∵AB不一定等于OA,
∴△OAB不一定为等边三角形,
∴∠ABO不一定为60°,故C选项符合题意;
∵OA=OB,OQ⊥AB,
∴OQ平分∠AOB,
∴∠AOB=2∠AOQ,故D选项不符合题意.
故选C.
2.C 解析:如图,过点P作弦CE⊥OP,连结OC,由勾股定理,得CP==6,则CE=2CP=12,
∴过点P的最短的弦长为12.∵☉O的半径为10,∴☉O的直径为20,即过点P的最长的弦长为20.∴12≤过点P的弦长≤20.故选C.
3.B 解析:如图,连结AB、OB,过点O作OC⊥AB于点C,延长CO交☉O于点D,
∵OC⊥AB,
∴AC=CB=6 cm.
由题意可知,OB=10 cm,
在Rt△OBC中,OC==8(cm),
∴CD=OC+OD=8+10=18(cm),
即这个水容器所能装水的最大深度是18 cm.
故选B.
4.A 解析:如图,连结OC.
∵AB=12,∴OB=OC=6.
又∵BE=3,
∴OE=3.
∵AB⊥CD,
∴EC==3.
∴CD=2EC=6.
∴S四边形ACBD=AB·CD=×12×6=36.
故选A.
5.14 解析:如图,延长FE交AC于点J,过点B作BH⊥CD于点H.
∵AB∥EJ∥CD,BE=ED,
∴AJ=JC,∠CJO=∠CAB=90°.
∴FJ垂直平分线段AC.
∴圆心O在EJ上,连结AO,设AO=OF=r cm.
∵EJ=(AB+CD)=×(12+18)=15(cm),
∴FJ=EJ+EF=15+12=27(cm).
∵∠CAB=∠ACD=∠BHC=90°,
∴四边形ACHB是矩形.
∴AB=CH=12 cm.
∴DH=CD-CH=18-12=6(cm).
∵AB∥CD,
∴∠BDH=∠ABG=60°.
∴BH=DH=×6=6(cm).
∴AC=BH=6 cm.
∴AJ=CJ=3 cm.
在Rt△AOJ中,r2=(3)2+(27-r)2,
∴r=14.
6.4 解析:如图,设两次测量丁字尺的尺身刻度线的交点为O,则O为圆心,连结OA,设l与AB交于点C,∵尺身刻度线l垂直平分AB,
∴AC=AB=2 cm.
∵在Rt△AOC中,OA2=AC2+OC2,
∴OA==2(cm).
∴这个破损的圆的直径是4 cm.
7.解:(1)如图,过点O作OD⊥AB,垂足为点D.
∵AB=8,∴AD=BD=AB=4.
在Rt△OBD中,cos∠ABC=,
∴OB==5.
∴☉O的半径为5.
(2)如图,过点C作CE⊥AB,垂足为点E.
∵OC=OB,OB=5,
∴BC=OB=7.5.
∵OD⊥AB,CE⊥AB,
∴OD∥CE.
∴,即.
∴BE=6.∴AE=AB-BE=8-6=2.
在Rt△BCE中,CE==4.5.
在Rt△ACE中,tan∠BAC=,
∴∠BAC的正切值为.
8.解:(1)设OC=x.
∵弦CD垂直平分半径OA,
∴OE=OA=x.
∵PC⊥OC,CD⊥OP,
∴∠PCO=∠CEO=90°.
∴∠P+∠COP=90°,∠ECO+∠COP=90°.
∴∠P=∠ECO.∴△CEO∽△PCO,
∴.∴.
∴x=6,经检验x=6是方程的解,
∴☉O的半径为6.
(2)由(1),得OC=6,OE=3,∠OEC=90°.
在Rt△COE中,由勾股定理,得CE==3.
∵CD⊥OA,∴CD=2CE=6.2.圆的对称性
第1课时 圆心角、弧、弦之间的关系
圆的对称性
1.(易错题)下列说法中,不正确的是 ( )
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆有无数条对称轴
C.圆的每一条直径都是它的对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
2.如图所示,三个圆是同心圆,则图中阴影部分的面积为 .
圆心角、弧、弦之间的关系
3.(2024亳州利辛县开学)下列说法正确的是 ( )
A.等弧所对的弦相等
B.相等的弦所对的弧相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弦相等
4.如图,在☉O中,,∠AOB=40°,则∠COD的度数为 ( )
A.20° B.40°
C.50° D.60°
5.如图,点A在半圆O上,BC是直径,.若AB=2,则BC的长为 .
6.如图,AB是☉O的直径,,,则∠COE= .
7.如图,AB为☉O的直径,半径OC∥弦BD,判断与是否相等,并说明理由.
1.(易错题)如图,在☉O中,=2,则下列结论正确的是 ( )
A.AB>2CD B.AB=2CD C.AB<2CD D.以上都不正确
2.如图,A、B是☉O上的点,∠AOB=120°,C是的中点,若☉O的半径为2,则四边形ACBO的面积为 ( )
A. B.2 C.4 D.2
3.如图,已知AB、CD是☉O的直径,,∠AOE=32°,则∠COE的度数为 °.
4.如图,在☉O中,,则下列结论:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④.其中正确的是 .(填序号)
5.如图,在☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连结AD、BC.
求证:(1);
(2)AE=CE.
6.如图,在☉O中,直径为MN,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及☉O上,并且∠POM=45°,若AB=1.
(1)求OD的长;
(2)求☉O的半径.
7.(抽象能力)如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是的中点,P是直径MN上一动点,☉O的半径为1,则AP+BP的最小值为多少
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.π 3.A 4.B 5.2 6.84°
7.解:相等.理由如下:如图,连结OD,
∵OC∥BD,
∴∠AOC=∠B,∠COD=∠D.
∵OB=OD,∴∠D=∠B.
∴∠AOC=∠COD,∴.
课后提升
1.C 解析:如图,取的中点E,连结AE、BE,
∵在☉O中,=2,
∴.∴AE=BE=CD.
∵AE+BE>AB,∴2CD>AB.故选C.
2.D 解析:连结OC,如图,∵C是的中点,∠AOB=120°,∴∠AOC=
∠BOC=60°.又∵OA=OC=OB,∴△OAC和△OBC都是等边三角形.∴S四边形ACBO=2××2×2×=2.故选D.
3.64 解析:∵,∴∠AOE=∠COA.又∵∠AOE=32°,
∴∠COA=32°.
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.
4.①②③④ 解析:在☉O中,,
∴AB=CD,.
∴AC=BD,∠AOC=∠BOD.故①②③④均正确.
5.证明:(1)∵AB=CD,∴,即,∴.
(2)连结AC、BD(图略).
∵,∴AD=BC.
又∵AB=CD,AC=CA,BD=DB,
∴△ADC≌△CBA,△ADB≌△CBD.
∴∠ADC=∠CBA,∠DAB=∠BCD.
又∵AD=BC,
∴△ADE≌△CBE.∴AE=CE.
6.解:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴DC=BC=AB=1,∠DCO=∠ABC=90°.
∵∠POM=45°,∴CO=DC=1.
∴OD=CO=×1=.
(2)由(1)知BO=BC+CO=1+1=2.
如图,连结AO,则△ABO为直角三角形,
故AO=,
即☉O的半径为.
7.解:如图,作A关于MN的对称点A',根据圆的对称性,A'必在圆上.连结BA'交MN于点P,
则此时PA+PB的值最小为PA'+PB=A'B.
连结OA、OA'、OB.
∵,
∴∠A'ON=∠AON=60°.
∵,∴∠BON=∠AON=30°.
∴∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90°.∴A'B=.
∴AP+BP的最小值是.
