3.圆周角
第1课时 圆周角定理
圆周角的定义
1.如图,∠APB是圆周角的是 ( )
A B C D
圆周角定理
2.(2024宿迁期末)如图,A、B、C是☉O上的三个点,若∠AOB=58°,则∠ACB的度数为 ( )
A.58° B.61° C.32° D.29°
3.如图,AB是☉O的直径,C、D是☉O上的两点,若∠CAB=65°,则∠ADC的度数为 ( )
A.25° B.35°
C.45° D.65°
4.如图,在☉O中,,∠BDC=20°,则∠AOB的度数是 .
5.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB,E为上一点,若∠CEA=34°,则∠ABD= °.
6.如图,已知△ABC中,AB=AC,∠A=45°,AB为☉O的直径,AC交☉O于点E,连结BE.
(1)求∠EBC的度数;
(2)求证:BD=CD.
1.(2024聊城东昌府区一模)如图,点A、B、C在☉O上,☉O的半径为2,BC∥OA,连结BO并延长,交☉O于点D,连结AC、CD,若∠A=30°,则CD的长为 ( )
A.2 B.2 C.3 D.
2.如图,☉A经过平面直角坐标系的原点O,交x轴于点B(-4,0),交y轴于点C(0,3),点D为第二象限内圆上一点,则∠CDO的正弦值是 ( )
A. B.- C. D.
3.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF=65°,则∠AOD的度数为 ( )
A.70° B.65°
C.50° D.45°
4.(易错题)如图,A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上,且平分,则CD的长为 ( )
A.2 B.
C.2 D.
5.如图,A、B、C、D是☉O上的四点,且点B是的中点,BD交OC于点E,∠AOC=100°,∠OCD=35°,则∠OED= .
6.(易错题)如图,AB是☉O的直径,C、D两点在圆上,连结AD、CD,且,∠CAB=25°,P为上一动点,在运动过程中,DP与AC相交于点M,当△CDM为等腰三角形时,∠PDC的度数为 .
7.如图,OA、OB、OC都是☉O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,OA=,求BC的长.
8.(推理能力)如图,AB是☉O的直径,BD是弦,C是弧BD的中点,CH⊥AB,H是垂足,BD交CH、CA于点F、E.
(1)求证:CF=EF;
(2)若CD=5,AC=12,求CH的长.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.D 3.A 4.40° 5.34
6.(1)解:∵AB为☉O的直径,
∴∠AEB=90°.
∴∠ABE=90°-45°=45°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB==67.5°.
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°.
(2)证明:如图,连结AD,∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∵AB=AC,∴BD=CD.
课后提升
1.B 解析:∵BC∥OA,∠A=30°,
∴∠ACB=∠A=30°,∠B=∠AOB.
∵∠AOB=2∠ACB=60°,
∴∠B=60°.
由题知BD为☉O的直径,
∵☉O的半径为2,
∴BD=4,∠BCD=90°.
∴CD=BD·sin 60°=2.
故选B.
2.A 解析:连结BC,如图,
∵B(-4,0),C(0,3),
∴OB=4,OC=3.
∴BC==5.
∴sin∠OBC=.
∵∠CDO=∠OBC,
∴sin∠CDO=sin∠OBC=.
故选A.
3.C 解析:∵OF⊥BC,∴∠BFO=90°.
∵∠BOF=65°,
∴∠B=90°-65°=25°.
∵弦CD⊥AB,AB为☉O的直径,
∴.
∴∠AOD=2∠B=50°.故选C.
4.D 解析:∵BC是☉O的直径,
∴∠BAC=∠D=90°.
∵AC=2,AB=4,
∴BC2=AB2+AC2=42+22=20.
∵点D在☉O上,且平分,
∴.∴CD=BD.
在Rt△BDC中,CD2+BD2=BC2,
∴2CD2=20.∴CD=.故选D.
5.60° 解析:如图,连结OB,
∵点B是的中点,
∴.
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=50°.
∴∠BDC=∠BOC=25°.
∴∠OED=∠OCD+∠BDC=60°.
6.40°或70°或100° 解析:连结BD(图略),∵,∠CAB=25°,
∴∠CAD=∠CAB=25°.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.∴∠ABD=90°-50°=40°,
∴∠C=40°.
当△CDM为等腰三角形时,
①当MD=MC时,∠PDC=∠C=40°;
②当CD=CM时,∠PDC=
=70°;
③当DM=DC时,∠PDC=180°-2×40°=100°.
综上所述,∠PDC的度数为40°或70°或100°.
7.(1)证明:∵∠ACB=∠AOB,
∠BAC=∠BOC,∠ACB=
2∠BAC,
∴∠AOB=2∠BOC.
(2)解:如图,过点O作半径OD⊥AB于点E,连结DB,
∴AE=BE.
∵∠AOB=2∠BOC,∠DOB=∠AOB,
∴∠DOB=∠BOC,∴BD=BC.
设BC=x,则DB=x.∵AB=4,
∴BE=2,
在Rt△BDE中,∠DEB=90°,
∴DE=.
在Rt△BOE中,∠OEB=90°,OA=OB=,
∴OB2=(OB-DE)2+22,
即+22,
解得x=,即BC的长为.
8.(1)证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵CH⊥AB,∴∠A=∠HCB.
∵C是弧BD的中点,∴∠A=∠DBC.
∴∠HCB=∠DBC.
∵∠DBC+∠CEB=90°,∠HCB+∠ECF=90°,
∴∠CEB=∠ECF.∴CF=EF.
(2)解:∵C是弧BD的中点,
∴BC=CD=5.
∵AC=12,∠ACB=90°,
∴AB==13.
∵CH⊥AB,
∴S△ABC=AC·BC=AB·CH.∴CH=.第2课时 圆周角定理的推论
圆周角定理推论1
1.一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作如图所示的测量,测得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为 .
圆周角定理推论2
2.☉O的内接四边形ABCD中,∠B与∠D的数量关系为 ( )
A.∠B=∠D B.∠B+∠D=180° C.∠B>∠D D.∠B<∠D
3.(2024衡阳一模)如图,四边形ABCD内接于☉O,AD是☉O的直径,连结BD,若∠BCD=100°,则∠BAD的度数为 ( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
4.(易错题)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=158°,则∠ABC的度数是 ( )
A.74° B.79° C.101° D.106°
5.如图,四边形ABCD内接于☉O,连结BD.若,∠BDC=55°,则∠ADC的度数是 ( )
A.125° B.130° C.135° D.140°
6.如图,四边形ABCD内接于☉O,AB经过圆心,∠B=3∠BAC,则∠ADC= .
7.如图,AB为☉O的直径,点D、E在☉O上,OD∥BE,连结AD并延长交BE的延长线于C.
求证:DC=DE.
1.(2024内江威远县期中)如图,四边形ABDC是☉O的内接四边形,连结CO和AO,已知∠B=60°,CO是∠ACD的平分线,则∠AOC的度数是 ( )
A.30° B.60°
C.75° D.45°
2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BE是☉O的直径,连结AE.若∠BCD=2∠BAD,则∠DAE的度数是 ( )
A.30° B.35°
C.45° D.60°
3.如图,点C、D在以AB为直径的半圆上,且∠ADC=120°,点E是上任意一点,连结BE、CE,则∠BEC的度数为 ( )
A.20° B.30° C.40° D.60°
4.如图,五边形ABCDE的顶点B、C、D、E在☉O上,顶点A在☉O外,且AB=AE.若∠A=100°,则∠CBA+∠CDE= °.
5.如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结AE.若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为 .
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,直径为10的☉A经过y轴上的点C和原点O,点B是y轴右侧☉A的优弧OBC上一点,∠OBC=30°,则点C的坐标为 .
7.图1,图2均为由菱形ABCD与圆组合成的轴对称图形(对称轴是经过点B和D的直线).请你只用无刻度的直尺,分别在图1,图2(∠A=90°)中找出圆心O的准确位置.
图1 图2
8.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.
(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;
(2)若AB=,AD=1,求CD的长度.
9.(推理能力)如图1,在☉O中,弦AD平分圆周角∠BAC,我们将圆中以A为公共点的三条弦AB,AC,AD构成的图形称为圆中“爪形A”.如图2,四边形ABCD内接于圆O,AB=BC.
(1)求证:圆中存在“爪形D”;
(2)若∠ADC=120°,求证:AD+CD=BD.
图1 图2
【详解答案】
课堂达标
1. cm 2.B 3.C 4.C 5.A 6.112.5°
7.证明:∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.
∵四边形ABED是☉O的内接四边形,
∴∠A+∠DEB=180°.
∵∠DEB+∠DEC=180°,
∴∠DEC=∠A.
∵OD∥BC,∴∠ADO=∠C.
∴∠DEC=∠C.∴DC=DE.
课后提升
1.B 解析:∵四边形ABDC是☉O的内接四边形,
∴∠ACD+∠B=180°.
∵∠B=60°,
∴∠ACD=120°.
∵CO平分∠ACD,
∴∠ACO=∠ACD=60°.
∵AO=CO,
∴△AOC是等边三角形.
∴∠AOC=60°.
故选B.
2.A 解析:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠BCD+∠BAD=180°.
∵∠BCD=2∠BAD,
∴∠BCD=120°,∠BAD=60°.
∵BE是☉O的直径,∴∠BAE=90°.
∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-60°=30°.故选A.
3.B 解析:如图,连结AC,
∵A、B、C、D四个点都在半圆上,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∴∠ABC=180°-120°=60°.
∵AB为半圆的直径,
∴∠ACB=90°.∴∠BAC=90°-60°=30°.
∴∠BEC=∠BAC=30°.故选B.
4.220 解析:如图,连结BE,
∵AB=AE,∠A=100°,
∴∠ABE=∠AEB=(180°-∠A)=40°.∵点B、C、D、E在☉O上,∴∠CDE+∠CBE=180°.
∴∠CBA+∠CDE=∠CDE+∠CBE+∠ABE=180°+40°=220°.
5.52° 解析:由已知,得∠D=180°-∠ABC=116°,
∵点D关于AC的对称点E在边BC上,
∴∠D=∠AEC=116°.
∴∠BAE=∠AEC-∠ABC=116°-64°=52°.
6.(0,5) 解析:设☉A与x轴的另一个交点为点D,连结CD,如图.
∵∠COD=90°,
∴CD是☉A的直径,即CD=10.
∵∠OBC=30°,
∴∠ODC=30°.
∴OC=CD=5,∴点C的坐标为(0,5).
7.解:如图1、2,点O即为所求.
图1 图2
8.解:(1)△ABC是等腰直角三角形.证明如下:∵AC为☉O的直径,
∴∠ABC=90°.
∵∠ADB=∠CDB,
∴.
∴AB=BC.
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)在Rt△ABC中,AB=BC=,
∴AC=2.
∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,AD=1,AC=2,
∴CD=.
9.证明:(1)∵AB=BC,
∴.
∴∠ADB=∠CDB.
∴DB平分圆周角∠ADC.
∴圆中存在“爪形D”.
(2)如图,延长DC至点E,使得CE=AD,连结BE,
∵∠A+∠DCB=180°,∠ECB+∠DCB=180°,
∴∠A=∠ECB.
∵CE=AD,AB=BC,
∴△BAD≌△BCE.
∴∠E=∠ADB,BD=BE.
由(1)知,DB平分圆周角∠ADC,∠ADC=120°,
∴∠ADB=∠ADC=60°.
∴∠E=∠ADB=60°.
∴△BDE是等边三角形.
∴DE=BD.∴AD+CD=BD.
