第2课时 切线长定理和三角形的内切圆
切线长定理
1.如图,P为☉O外一点,PA、PB分别切☉O于A、B两点,若PA=3,则PB= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图,AB、AC、BD是☉O的切线,切点分别为P、C、D,若AB=4,AC=3,则BD的长是 ( )
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
3.如图,PA、PB分别切☉O于A、B两点,PA=10 cm,C是劣弧AB上的点(不与点A、B重合),过点C的切线分别交PA、PB于点E、F,则△PEF的周长为 cm.
4.(开放型问题)如图,PA、PB是☉O的两条切线,A、B为切点,连结PO,交☉O于点D,交AB于点C,根据以上条件,请写出三个正确的结论,并对其中的一个结论给予证明.
三角形的内切圆
5.在三角形中,到三角形三边距离相等的点是三角形的 ( )
A.内心 B.外心
C.三条高所在直线的交点 D.三条中线的交点
6.(2024长沙模拟)如图,△ABC的内切圆☉O分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F,且AD=3,BE=2,CF=4,则△ABC的周长为 ( )
A.18 B.17 C.16 D.15
7.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,∠DEF=50°.求∠A的大小.
1.如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连结OB、OI、IA.若∠CAI=37°,则∠OBC的度数为 ( )
A.37° B.20° C.16° D.14°
2.如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为 ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
3.(2024武汉江汉区期末)如图,已知四边形ABCD是☉O的外切四边形,若∠AOB=78°,则∠COD的度数是 .
4.(2024南京鼓楼区模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=58°,△ABC的内切圆☉O与AB、AC分别相切于点D、E,连结DE,BO的延长线交DE于点F,则∠BFD= .
5.如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,且∠A=90°,BC=10,AC=8,则△ABC的面积是 ,☉O的半径是 .
6.阅读下列材料:
海伦公式:S=(其中a、b、c是三角形的三边长,p=,S为三角形的面积).
根据上述材料,解答下列问题:
如图,在△ABC中,BC=5,AC=6,AB=9.
(1)用海伦公式求△ABC的面积;
(2)求△ABC的内切圆半径r.
7.(几何直观)如图,AB为圆O的直径,∠DAB=∠ABC=90°,CD与圆O相切于点E,EF⊥AB于点F,EF交BD于点G,若AD=2,BC=6.
(1)求CD的长度;
(2)求EG的长度;
(3)求BF的长度.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.D 3.20
4.解:答案不唯一.结论:
①∠PBC=∠PAC;②OP⊥AB;③AC=BC.
证明②:∵PA、PB是☉O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB.
∴∠OAP=∠OBP=90°.
在Rt△OAP和Rt△OBP中,
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(H.L.).
∴PA=PB,∠APC=∠BPC.
∴OP⊥AB.
5.A 6.A
7.解:连结ID、IF,如图,
∵∠DEF=50°,
∴∠DIF=2∠DEF=100°.
∵☉I是△ABC的内切圆,与AB、CA分别相切于点D、F,
∴ID⊥AB,IF⊥AC.
∴∠ADI=∠AFI=90°.
∴∠A+∠DIF=180°.
∴∠A=180°-100°=80°.
故∠A的大小为80°.
课后提升
1.C 解析:如图,连结OC,∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB,
∴2∠OBC+∠BOC=180°.
∵点I是△ABC的内心,∠CAI=37°,
∴AI平分∠BAC.
∴∠BAC=2∠CAI.
∴∠BOC=2∠BAC=4∠CAI=4×37°=148°.
∴2∠OBC+148°=180°.
∴∠OBC=16°,
故选C.
2.C 解析:设AE的长为x.
∵CE与半圆O相切于点F,
∴AE=EF,BC=CF.
∵EF+FC+CD+ED=12,
∴AE+ED+CD+BC=12.
∵AD=CD=BC=AB,
∴正方形ABCD的边长为4.
在Rt△CDE中,ED2+CD2=CE2,即(4-x)2+42=(4+x)2,解得x=1,
∴AE+EF+FC+BC+AB=14,
∴直角梯形ABCE的周长为14.
故选C.
3.102° 解析:如图,∵四边形ABCD是☉O的外切四边形,
∴AO平分∠BAD,BO平分∠ABC.
∴∠1=∠BAD,
∠2=∠ABC.
∴∠1+∠2=(∠BAD+∠ABC).
∴∠AOB=180°-(∠BAD+∠ABC).
同理,∠COD=180°-(∠ADC+∠BCD).
∴∠AOB+∠COD=360°-(∠BAD+∠ABC+∠ADC+∠BCD)=360°-×360°=180°.
∵∠AOB=78°,∴∠COD=102°.
4.29° 解析:∵△ABC的内切圆☉O与AB、AC分别相切于点D、E,
∴AD=AE,∠ABF=∠CBF=∠ABC.
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠A).
∴∠BFD=∠ADE-∠ABF=(180°-∠A)-∠ABC=(180°-∠A-∠ABC).
∵180°-∠A-∠ABC=∠ACB=58°,
∴∠BFD=×58°=29°.
5.24 2 解析:在Rt△ABC中,
∵∠A=90°,BC=10,AC=8,
∴AB==6.∴S△ABC=×8×6=24.∵☉O为Rt△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,∴BD=BE,AD=AF,CF=CE.
如图,连结OD、OF,则OD⊥AB,OF⊥AC,
∵OD=OF,
∠A=90°,∴四边形ADOF是正方形,设OD=OF=AF=AD=x,则CE=CF=8-x,BD=BE=6-x.∵BE+CE=10,∴6-x+8-x=10.∴x=2,则☉O的半径为2.
6.解:(1)∵BC=5,AC=6,AB=9,
∴p==10.
∴S△ABC==10.故△ABC的面积是10.
(2)∵S△ABC=r(AB+BC+AC),
∴10r(9+5+6),解得r=.
故△ABC的内切圆半径r=.
7.解:(1)∵AB为圆O的直径,
∠DAB=∠ABC=90°,
∴DA、CB都是圆O的切线.
∵CD与圆O相切于点E,
∴DE=DA=2,CE=CB=6.
∴CD=DE+CE=8.
(2)∵∠ABC=90°,EF⊥AB,
∴EG∥BC.∴△DEG∽△DCB,
∴,即.
解得EG=.
(3)如图,过点D作DH⊥BC于点H,
则四边形DABH为矩形,
∴BH=AD=2.
∴CH=BC-BH=4.
∴DH==4.
∴AB=DH=4.
∵∠DAB=∠ABC=90°,EF⊥AB,
∴AD∥EG∥BC.
∴,即,
解得BF=3.3.切线
第1课时 切线的判定与性质
切线的判定
1.如图,已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E、F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是 ( )
A.OP=5 B.OE=OF
C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF
2.如图,点B在☉A上,点C在☉A外,以下条件不能判定BC是☉A切线的是 ( )
A.∠A=50°,∠C=40°
B.∠B-∠C=∠A
C.AB2+BC2=AC2
D.☉A与AC的交点是AC的中点
3.如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点D,∠ADO=45°,OD∥BC.
求证:直线BC是☉O的切线.
切线的性质
4.(2024宿迁期末)如图,AB为☉O的直径,CD是☉O的切线,切点为C,连结AC,若∠ACD=51°,则∠BAC的度数为 ( )
A.39° B.49°
C.51° D.29°
5.如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的切线,连结AD经过点O,若∠ADC=42°,则∠ABC的度数为 ( )
A.42° B.66°
C.84° D.48°
6.如图,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为 .
7.如图,AB为半圆O的直径,点F在半圆上,点P在AB的延长线上,PC与半圆O相切于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF相交于点E,DC=DE.
求证:OD⊥AB.
1.(2024兰州模拟)把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置,两三角尺的斜边与圆分别相切于点B、C.若AB=3,则的长度为 ( )
A.π B.π C.1.5π D.π
2.如图,BC为☉O的直径,弦AD⊥BC于点E,直线l切☉O于点C,延长OD交l于点F,若AE=2,∠ABC=22.5°,则CF的长为 ( )
A.2 B.2 C.2 D.4
3.(易错题)如图,∠ABC=70°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB的长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转 ( )
A.35°或70° B.40°或100°
C.40°或90° D.50°或110°
4.如图,☉O与△OAB的边AB相切,切点为B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,使点O'落在☉O上,边A'B交线段AO于点C.若∠A'=25°,则∠OCB= °.
5.(数学文化)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:“一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”,如图所示.问题:此图中,正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10丈,☉O的半径为2丈,则BN的长度为 丈.
6.如图,△ABC是☉O的内接三角形,AC是☉O的直径,点D是的中点,DE∥BC交AC的延长线于点E.
(1)求证:直线DE与☉O相切;
(2)若☉O的直径是10,∠A=45°,求CE的长.
7.(推理能力)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,点D在☉O上,AC=CD,连结AD,延长DB交过点C的切线于点E.
(1)求证:∠ABC=∠CAD;
(2)求证:BE⊥CE.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.D
3.证明:∵AO=DO,∠ADO=
45°,∴∠A=∠ADO=45°.
∵OD∥BC,∴∠C=∠ADO=45°.
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=90°.
又∵点B在☉O上,
∴直线BC是☉O的切线.
4.A 5.B 6.
7.证明:如图,连结OC,
∵PC与半圆O相切于点C,
∴∠OCD=90°.
∴∠DCE+∠ACO=90°.
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO.
∵DC=DE,
∴∠DCE=∠DEC.
∴∠DCE=∠DEC=∠AEO.
∴∠A+∠AEO=90°.
∴∠AOE=90°.
∴OD⊥AB.
课后提升
1.C 解析:如图,连结OC、OB,
∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B、C,
∴∠OCA=∠OBA=90°,OC=OB.
∵∠CAB=180°-60°-30°=90°,
∴四边形ABOC是正方形.
∴∠BOC=90°,OB=AB=3.
∴的长度=×2π×3=1.5π.
故选C.
2.B 解析:∵BC为☉O的直径,弦AD⊥BC于点E,AE=2,∠ABC=22.5°,∴∠COD=2∠ABC=45°,DE=AE=2.∴OE=DE=2.
∴OC=OD=2.∵直线l切☉O于点C,∴BC⊥CF.∴△OCF是等腰直角三角形.∴CF=OC=2.故选B.
3.B 解析:设射线旋转后与☉O相切于点D,连结OD,∴OD⊥BD.∴∠ODB=90°.∵OD=OB,∴∠OBD=30°.如图,当点D在射线BC上方时,D在D1处,∠ABD1=∠ABC-∠OBD1=70°-30°=40°;当点D在射线BC下方时,D在D2处,∠ABD2=∠ABC+∠OBD2=70°+30°=100°.故选B.
4.85 解析:∵☉O与△OAB的边AB相切,∴OB⊥AB.∴∠OBA=90°.连结OO',如图,∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,∴∠A=∠A'=25°,∠ABA'=∠OBO',OB=O'B.
∵OB=OO',
∴△OO'B为等边三角形.
∴∠OBO'=60°.
∴∠ABA'=60°.
∴∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°.
5.(8-2) 解析:如图,设正方形的一边与☉O的切点为C,连结OC,则OC⊥AC.易知∠OAC=45°,
∴OA=OC=2(丈),
∴BN=AB-AN=10-2-2=(8-2)丈.
6.(1)证明:连结OD,如图,
∵点D是的中点,∴OD⊥BC.
∵DE∥BC,∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半径,
∴直线DE与☉O相切.
(2)解:∵AC是☉O的直径,
∴∠B=90°.∵∠A=45°,
∴∠ACB=45°.∵BC∥DE,
∴∠E=45°.而∠ODE=90°,
∴△ODE为等腰直角三角形,
∴OE=OD=5.
∴CE=OE-OC=5-5.
7.证明:(1)∵AC=CD,∴∠CAD=
∠ADC.
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABC=∠CAD.
(2)连结OC,如图.
∵CE与☉O相切于点C,
∴∠OCE=90°.
∵四边形ADBC是圆内接四边形,
∴∠CAD+∠DBC=180°.
∵∠DBC+∠CBE=180°,
∴∠CAD=∠CBE.
∵∠ABC=∠CAD,
∴∠CBE=∠ABC.
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠ABC.
∴∠OCB=∠CBE.
∴OC∥BE.
∴∠E=180°-∠OCE=90°.
∴BE⊥CE.
