27.3 圆中的计算问题
第1课时 弧长和扇形的面积
弧长公式的运用
1.(2024台州路桥区期末)若扇形的半径是10 cm,圆心角为54°,则该扇形的弧长是 ( )
A.2π cm B.3π cm C.6π cm D.15π cm
2.如图,在△ABC中,AC=2,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△ADE,则C点的运动轨迹的长为 ( )
A. B. C.π D.2π
3.(2024临沂费县二模)某校在社会实践活动中,明明同学用一个直径为24 cm的定滑轮带动重物上升.如图,滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了 ( )
A.3.5π cm B.7π cm C.12π cm D.24π cm
4.如图所示,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中、、的圆心依次是A、B、C,如果AB=1,求曲线CDEF的长.
扇形面积公式的运用
5.已知扇形的半径为6,圆心角为150°,则它的面积是 ( )
A.π B.3π C.5π D.15π
6.(2024成都一模)如图,在扇形AOB中,AO⊥OB,∠AOC=∠BOC,若扇形AOB的半径为2,则扇形AOC的面积为 ( )
A.2π B.π C.π D.π
7.某花园内有一块五边形的空地如图所示,现计划在以五边形各顶点为圆心,4 m长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是 ( )
A.16π m2 B.12π m2 C.24π m2 D.48π m2
8.如图,网格中的小正方形边长都是1,则以O为圆心,OA长为半径的和弦AB所围成的弓形面积等于 .
1.(2024惠州一模)如图是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计),A为入口,F、G为出口,其中直行道为AB、CG、EF,且AB=CG=EF=20 m;弯道为以点O为圆心的三段弧,且所对的圆心角均为90°,半径为 m,甲车由A口驶入立交桥,以12 m/s的速度行驶,从G口驶出用时( )
A.5 s B.6 s C.7 s D.8 s
2.如图所示的是一张圆心为O,半径为4 cm的圆形纸片,沿弦AC所在直线折叠,使得经过点O,将纸片☉O展开后,折痕为AC,作半径OB⊥OA,则图中阴影部分的面积等于 ( )
A.(4π-4)cm2
B.π cm2
C.cm2
D.cm2
3.如图,在半径为1的☉O上顺次取点A、B、C、D、E,连结AB、AE、OB、OC、OD、OE.
若∠BAE=65°,∠COD=70°,则与的长度之和为 (结果保留π).
4.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=4,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
5.如图,等边三角形ABC内接于☉O,BC=2,则图中阴影部分的面积是 .
6.如图,在△ABC中,CA=CB,以AB为直径的☉O分别交CA、CB于点D、E,连结OD、OE.
(1)求证:;
(2)若∠C=50°,半径OA=3,求的长.
7.(运算能力)如图,等边三角形ABC的边长为2,以A为圆心,1为半径作圆分别交AB、AC边于点D、E,再以点C为圆心,CD长为半径作圆交BC边于F,连结EF,求图中阴影部分的面积.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.C 3.B
4.解:由题意知、、所对的圆心角都是120°,半径分别为1,2,3,∴的长是,的长是,的长是=2π,则曲线CDEF的长是+2π=4π.
5.D 6.B 7.C 8.2π-4
课后提升
1.A 解析:∵弧BC的长为=20(m),AB=CG=20 m,
∴甲车由A口驶入立交桥,以12 m/s的速度行驶,从G口驶出用时=5(s).
故选A.
2.D 解析:如图,作OD⊥AC于H,交于点D,连结OC,则∠AHO=90°.由折叠可知S弓形ABC=S弓形AOC,HO=HD=OD=2 cm,∠AHO=∠AHD=90°,在Rt△AOH中,由勾股定理得AH==2 cm.∵cos∠AOH=,∴∠AOH=60°.∵AO=CO,OD⊥AC,∴∠AOC=2∠AOH=120°,AC=2AH=4 cm.∴S弓形ABC=S扇形OAC-S△OAC=×4×2=cm2.∴S阴影=2S弓形ABC-S扇形OAB=2cm2.故选D.
3. 解析:∵∠BAE=65°,∴∠BOE=130°.∴∠BOC+∠DOE=∠BOE-∠COD=60°.∴与的长度之和为
.
4.π-8 解析:Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=4,∴∠B=30°,BC=AC=4.∴阴影部分的面积=S扇形BCD+S扇形ACE-S△ACB=×4×4π-8.
5. 解析:过点O作OD⊥BC于点D,如图.∵△ABC为等边三角形,∴S△BOC=S△AOC,∠AOC=120°.在△OBC中,OB=OC,∠BOC=120°,BC=2,
∴BD=CD=,∠DBO=30°.
∴OB=OC=2.
∴S阴影=S扇形AOC=.
6.(1)证明:∵CA=CB,
∴∠B=∠A.
∴.
∴.
∴.
(2)解:∵CA=CB,
∴∠A=∠B=(180°-∠C)=65°.
∵OA=OD=OB=OE,
∴∠ADO=∠A=65°,∠OEB=∠B=65°,
∴∠AOD=∠EOB=180°-2×65°=50°.
∴∠DOE=180°-2×50°=80°.
∴的长为π.
7.解:如图,过A作AM⊥BC于点M,EN⊥BC于点N,则∠ENC=∠AMC=90°,∴AM∥EN.
∵等边三角形ABC的边长为2,AD=AE=1,
∴AD=BD,AE=CE,CF=CD=AM=BC=×2=.
又∵AM∥EN,E为AC的中点,
∴EN为三角形AMC的中位线.
∴EN=AM=.
∴图中阴影部分的面积=S△ABC-S扇形DAE-S△CEF-(S△BCD-S扇形DCF)=×2×.第2课时 圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图
1.(2024常德一模)一个圆锥的母线长为18 cm,底面直径为8 cm,则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
2.若一个圆锥的母线长为5 cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,则这个圆锥的底面半径为
cm.
3.如图,小梅把一顶底面半径为10 cm的圆锥形纸帽沿一条母线剪开并展平,得到一个圆心角为120°的扇形纸片,那么扇形纸片的半径为 cm.
4.如图,在扇形AOB中,半径OA与OB的夹角为120°,点A与点B的距离为2,若扇形AOB恰好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面半径是多少
圆锥的侧面积
5.(2024珠海一模)已知圆锥的底面半径为3 cm,母线长为5 cm,则圆锥的侧面积是 ( )
A.15π cm2 B.15 cm2 C.20π cm2 D.20 cm2
6.已知一个圆锥的底面半径是5 cm,侧面积是85π cm2,则圆锥的母线长是 ( )
A.6.5 cm B.13 cm C.17 cm D.26 cm
7.(2024杭州开学)如图,用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥,
(1)若圆锥的母线长为3 cm,求圆锥的侧面积;
(2)若圆锥底面的半径为2 cm,求扇形的半径.
1.蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成.下图是一个蒙古包的示意图,底面的半径DE=2 m,圆锥的高AC=1.5 m,圆柱的高CD=2.5 m,则下列说法错误的是 ( )
A.圆柱的底面积为4π m2
B.圆柱的侧面积为10π m2
C.圆锥的母线长AB为2.25 m
D.圆锥的侧面积为5π m2
2.如图所示的是一个由圆柱体材料加工而成的零件,它是以圆柱体的上底面为底面,在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的,已知AB=12 cm,BC=8 cm,则这个零件的表面积是 ( )
A.192π cm2 B.196π cm2
C.228π cm2 D.232π cm2
3.如图,某物体由两个圆锥组成.其主视图中,∠A=90°,∠ABC=105°,若上面圆锥的侧面积为1,则下面圆锥的侧面积为 ( )
A.2 B. C. D.
4.如图,在矩形纸片ABCD中,AD=12 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面,则AB的长为 ( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm
5.将母线长为6 cm,底面半径为2 cm的圆锥侧面展开,得到如图所示的扇形AOB,则图中阴影部分的面积为 cm2.
6.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,AC=3,∠BOC=2∠AOC.若用扇形AOC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面的半径长是 .
7.在数学实验课上,小莹将含30°角的直角三角尺分别以两条直角边所在直线为轴旋转一周,得到甲、乙两个圆锥,并用作图软件画出如下示意图.
甲 乙
小亮观察后说:“甲、乙两个圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到的,所以它们的侧面积相等.”你觉得小亮的说法正确吗 请说明理由.
8.(运算能力)如图,纸片ABCD是一个菱形,其边长为2,∠BAD=120°.以点A为圆心的扇形FAG与边BC相切于点E,与AB、AD分别相交于点F、G.
(1)请你判断所作的扇形FAG与边CD的位置关系,并说明理由;
(2)若以所作出的扇形FAG为侧面围成一个圆锥,求该圆锥的全面积.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2. 3.30
4.解:如图,连结AB,过O作OM⊥AB于点M.
∵∠AOB=120°,OA=OB,
∴∠BAO=30°,AM=.∴OA=2.
设圆锥底面的半径为r,
则=2πr,
∴r=.
5.A 6.C
7.解:(1)∵圆锥的母线长为3 cm,
∴扇形的半径为3 cm.
∴扇形面积为=3π(cm2).
答:圆锥的侧面积为3π cm2.
(2)设扇形的半径为r cm,
∵圆锥底面的半径为2 cm,
∴圆锥底面的周长为4π cm.
∴扇形弧长为4π cm.
则=4π,
解得r=6.
答:扇形的半径为6 cm.
课后提升
1.C 解析:A项,∵底面的半径DE=2 m,∴圆柱的底面积为4π m2,∴A选项正确,不符合题意;
B项,∵圆柱的高CD=2.5 m,∴圆柱的侧面积=2π×2×2.5=10π(m2),∴B选项正确,不符合题意;
C项,∵底面的半径DE=2 m,
∴BC=2 m,∵圆锥的高AC=1.5 m,∴圆锥的母线长AB==2.5(m),∴C选项错误,符合题意;
D项,圆锥的侧面积=π×2×2.5=5π(m2),∴D选项正确,不符合题意.故选C.
2.A 解析:由题意,得圆锥底面的半径为6 cm,高为8 cm,∴圆锥的母线长为10 cm,∴圆锥的侧面积=π×6×10=60π(cm2).∵圆柱的侧面积=12π×8=96π(cm2),圆柱的底面积=π×62=36π(cm2),∴零件的表面积=60π+96π+36π=192π(cm2).故选A.
3.D 解析:∵∠A=90°,AB=AD,
∴△ABD为等腰直角三角形.
∴∠ABD=45°,BD=AB.
∵∠ABC=105°,∴∠CBD=60°.
∵CB=CD,∴△CBD为等边三角形.
∴BC=BD=AB.
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同,
∴上面圆锥的侧面积∶下面圆锥的侧面积=AB∶CB.
∴下面圆锥的侧面积=×1=.故选D.
4.C 解析:设圆锥的底面的半径为r cm,则DE=2r cm,AE=AB=(12-2r)cm,根据题意,得=2πr,解得r=2,∴AB=12-2r=12-2×2=8(cm).故选C.
5.(12π-9) 解析:如图,作OC⊥AB于点C,
设∠AOB=n°,由题意,得2π×2=,
∴n=120,即∠AOB=120°.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,
∴OC=OA=3 cm,AC=3 cm.
∴AB=2AC=2×3=6(cm).
∴S阴影=S扇形AOB-S△AOB=×3×6=(12π-9)(cm2).
6. 解析:∵∠BOC=2∠AOC,∠BOC+∠AOC=180°,
∴∠AOC=60°.
∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形.
∵AC=3,∴OA=3.
∴的长度是=π.
设圆锥底面的半径为r,则2πr=π,
∴r=,∴圆锥底面的半径为.
7.解:小亮的说法不正确.理由:设含30°角的直角三角尺的三边长分别为BC=a,AC=a,AB=2a,∴甲圆锥的侧面积S甲=π·BC·AB=π·a·2a=2πa2,乙圆锥的侧面积S乙=π·AC·AB=π·a·2a=2πa2,∴S甲≠S乙.∴小亮的说法不正确.
8.解:(1)相切.理由如下:
如图,连结AE、AC,过点A作AH⊥CD,垂足为点H.
∵以点A为圆心的扇形FAG与边BC相切,切点为E,∴AE⊥BC.
∵四边形ABCD为菱形,
∴CA平分∠BCD.∴AE=AH.
又∵AH⊥CD,∴所作的扇形FAG与边CD相切.
(2)∵四边形ABCD为菱形,
∠BAD=120°,
∴△ABC是等边三角形.∴AB=BC=AC=2,
∴AE=.∴的长为π,
则圆锥的侧面积为π×=π.
设圆锥的底面半径为r,则2πr=π,
解得r=,
则该圆锥的底面积为π×,
∴该圆锥的全面积为π+π.
