第26章　二次函数 单元评估测试卷（含答案） 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

第26章　二次函数 评估测试卷
(满分:150分　时间:120分钟)
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.下列各式中,y是x的二次函数的是 (　　)
A.y=3x-1 B.y= C.y=3x2+x-1 D.y=2x3-1
2.(2024武威凉州区月考)抛物线y=3(x-1)2+2的顶点坐标为(　　)
A.(-1,2) B.(1,-2) C.(1,2) D.(2,1)
3.抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知二次函数y=2x2-4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是 (　　)
A.x<1 B.x>1 C.x<2 D.x>2
5.函数y=ax2-1与y=ax(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　)
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　A B C D
6.在平面直角坐标系中将二次函数y=-2(x-1)2-1的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点变为 (　　)
A.(0,0) B.(1,-2) C.(0,-1) D.(-2,1)
7.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2,则这条抛物线的表达式为 (　　)
A.y=x2-x-2 B.y=-x2+x+2
C.y=x2-x-2或y=-x2+x+2 D.y=-x2-x-2或y=x2+x+2
8.某茶杯的过最低点B的竖直截面如图所示,其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状(杯体厚度忽略不计),点A,点C位于杯口处,且AC=10 cm,点B是抛物线最低点,当茶杯装满茶水时,茶水的最大深度(点B到AC的距离)为4 cm,将茶水倒出一部分后,茶水的最大深度恰好为2 cm(点B到EF的距离),则此时EF的长度为 (　　)
A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm
9.(2024陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是 (　　)
A.图象的开口向上
B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
10.(2024广安中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点A,对称轴是直线x=-,有以下结论:①abc<0;②若点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,则y1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
11.若抛物线y=x2-2x-m的顶点在x轴上,则m=　　　　.
12.已知抛物线y=ax2与直线y=4x-4只有一个公共点,则a=　　　　.
13.已知二次函数y=x2+bx+3的图象的对称轴为直线x=2,则b=　　　　.
14.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当x<0时,函数值y随自变量x的增大而增大.满足上述两条性质的函数的表达式是　　　　　　　　.(只写一个即可)
15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B、C,则BC的长为　　　　.
16.(2024上海中考)对于一个二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)中存在一点P(x',y'),使得x'-m=y'-k≠0,则称2|x'-m|为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线y=-x2+x+3的“开口大小”为　　　　.
三、解答题:本大题共6小题,共46分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(7分)用配方法或公式法求二次函数y=-x2+3x-2图象的对称轴、顶点坐标和最值.
18.(7分)(2024南京模拟)在平面直角坐标系中,点A(-2,3),B(m,y1),C(m+2,y2)都在函数y=ax2+bx+3 (a>0)的图象上.
(1)求该图象的对称轴;
(2)比较y1、y2的大小,并说明理由.
19.(7分)已知二次函数的图象与一次函数y=4x-8的图象有两个公共点P(2,m),Q(n,-8),如果抛物线的对称轴是直线x=-1,求此二次函数的表达式.
20.(8分)已知二次函数y=x2-3x+c的图象经过点A(0,4).
(1)求二次函数的表达式;
(2)设点P(m,n)在该二次函数图象上,求m+n的最小值.
21.(8分)已知点A(-m,0)和B(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+4(a、b是常数,a≠0)的图象上,该图象与y轴交于点C.
(1)当m=-2时,求a和b的值;
(2)若二次函数的图象经过点N(n,4)且点N不在坐标轴上,当-122.(9分)学校准备将一块长20 m,宽14 m的矩形绿地扩建,如果长和宽都增加x m,设增加的面积是y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若要使绿地面积增加72 m2,长与宽都要增加多少米
四、解答题:本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.(9分)如图,已知在△ABC中,BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH的顶点E、F在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,求内接矩形EFGH的最大面积.
24.(9分)(2024济宁中考)某商场以每件80元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内y与x之间的函数表达式;
(2)在这段时间内,若销售单价不低于100元,且商场还要完成不少于220件的销售任务,当销售单价为多少时,商场获得利润最大 最大利润是多少
25.(10分)如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点M的坐标为(1,-4).
(1)求出二次函数的图象与x轴的交点A、B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PAB=S△MAB 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
26.(10分)(2024武汉中考)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-x+b.其中,当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km,
①直接写出a、b的值;
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离;
(2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.
27.(12分)(2024兴安盟、呼伦贝尔中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C.
(1)求二次函数的表达式及点C的坐标;
(2)点P是二次函数图象上的一个动点,当点P在直线AB上方时,过点P作PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m.
①m为何值时线段PD的长度最大,并求出最大值;
②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
1.C　2.C
3.C　解析:当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4);当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),故抛物线与坐标轴有2个交点.故选C.
4.B　解析:∵y=2x2-4x+5=2(x-1)2+3,∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,∴当x>1时,y随x的增大而增大.故选B.
5.B　解析:由函数y=ax2-1可知抛物线与y轴交于点(0,-1),故C、D错误;
A.由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故A错误;
B.由抛物线可知,a>0,由直线可知,a>0,故B正确.
故选B.
6.A　解析:按照“左加右减,上加下减”的规律,得y=-2(x-1)2-1的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,得y=-2(x-1+1)2-1+1,即y=-2x2,顶点坐标是(0,0).故选A.
7.C　解析:抛物线与y轴交于点C,且OC=2,则C点的坐标是(0,2)或(0,-2),
当C点坐标是(0,2)时,图象经过三点,可以设函数表达式是y=ax2+bx+c(a≠0),
把(2,0),(-1,0),(0,2)分别代入表达式,
得解得
则函数表达式是y=-x2+x+2;
同理可以求得当C是(0,-2)时表达式是y=x2-x-2.
故这条抛物线的表达式为y=-x2+x+2或y=x2-x-2.
故选C.
8.A　解析:依题意,以点B为原点,平行于AC的直线为x轴,垂直于AC的直线为y轴建立平面直角坐标系(图略).设截面抛物线为y=ax2(a≠0).
将C(5,4)的坐标代入,得4=25a.
解得a=.
∴y=x2.
将y=2代入y=x2,
得2=x2.
解得x=±.
∴E,F,
∴EF=5 cm.
故选A.
9.D　解析:由题意知,
解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x.
∵a=-1<0,
∴抛物线的开口向下.
故A选项不符合题意;
∵y=-x2+2x=-(x-1)2+1,
∴当x>1时,y随x的增大而减小.
故B选项不符合题意;
令y=0,得-x2+2x=0,
解得x1=0,x2=2,
∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)和(2,0).
又∵抛物线的顶点坐标为(1,1),
∴抛物线经过第一、三、四象限.
故C选项不符合题意;
∵二次函数表达式为y=-(x-1)2+1,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
故D选项符合题意.
故选D.
10.B　解析:∵二次函数的图象开口方向向下,与y轴交于正半轴,
∴a<0,c>0.
∵-<0,∴b<0.
∴abc>0.故①错误;
∵对称轴是直线x=-,点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,
且--(-1)=-+1=<2-=2,
∴y1>y2.故②错误;
∵当x=m时,y=am2+bm+c,当x=-时,函数取最大值a-b+c,
∴对于任意实数m有am2+bm+c≤a-b+c.
∴am2+bm≤a-b.故③正确;
∵-=-,∴b=a.
∵当x=-时,y=0,
∴a-b+c=0,
∴9a-6b+4c=0,即3a+4c=0,故④正确.
故选B.
11.-1　12.1　13.-4
14.y=-2x2+4(答案不唯一)
15.6　解析:在函数y=ax2+3中,当x=0时,y=3,∴点A的坐标为(0,3).把y=3代入y=x2,解得x=±3,∴点B的坐标为(-3,3),点C的坐标为(3,3),∴BC=6.
16.4　解析:∵抛物线y=-x2+x+3=-,
∴x'-=-≠0,
解得x'-=-2,
∴抛物线y=-x2+x+3的“开口大小”为2=2×|-2|=4.
17.解:y=-x2+3x-2=-(x2-6x+9)+-2=-(x-3)2+,对称轴为直线x=3,顶点坐标是,当x=3时,y有最大值,无最小值.
18.解:(1)令x=0,则y=3,
∴抛物线过点(0,3).
∵点A(-2,3)在抛物线y=ax2+bx+3上,
∴点(0,3)和点(-2,3)是抛物线上的对称点.
∴对称轴为直线x==-1.
(2)∵对称轴为直线x=-=-1,
∴b=2a.
∴y2-y1=4a(m+2).
∵a>0,
∴当m<-2时,y1>y2;
当m=-2时,y1=y2;
当m>-2时,y119.解:由二次函数与一次函数图象交于P(2,m),Q(n,-8),
将x=2,y=m代入y=4x-8中,得m=8-8,解得m=0,
将x=n,y=-8代入y=4x-8中,得-8=4n-8,解得n=0,
∴P(2,0),Q(0,-8).
设二次函数表达式为y=ax2+bx-8(a≠0),
由抛物线对称轴为直线x=-1,
得到-=-1,即b=2a①,
将点P坐标代入抛物线表达式,得0=4a+2b-8②,
联立①②,解得
∴抛物线的表达式为y=x2+2x-8.
20.解:(1)∵二次函数y=x2-3x+c图象经过点A(0,4),
∴4=02-3×0+c,∴c=4.
∴二次函数的表达式为y=x2-3x+4.
(2)∵点P(m,n)在该二次函数y=x2-3x+4的图象上,
∴n=m2-3m+4,
∴m+n=m+m2-3m+4=m2-2m+4=(m-1)2+3.
∵a=1>0,
∴m+n的最小值为3.
21.解:(1)当m=-2时,二次函数y=ax2+bx+4的图象过A(2,0),B(-6,0),
∴解得
即a=-,b=-.
(2)∵y=ax2+bx+4的图象过点A(-m,0),B(3m,0),
∴其对称轴为x==m.
又∵y=ax2+bx+4的图象过点(n,4),(0,4),
∴=m,即n=2m,则m=.
∵-1∵点N不在坐标轴上,
∴-1<<1且n≠0,
∴-222.解:(1)由题意可得,y=(20+x)·(14+x)-20×14,
化简,得y=x2+34x,
即y与x之间的函数关系式是y=x2+34x.
(2)将y=72代入y=x2+34x,得
72=x2+34x,
解得x1=-36(舍去),x2=2,
即若要使绿地面积增加72 m2,长与宽都要增加2 m.
23.解:设HE=x,∵四边形EFGH为矩形,∴HG∥BC.
∴△AHG∽△ABC.∴.
∴HG=(16-x).
设内接矩形EFGH的面积为S,
则S=x·(16-x).
∴S=-x2+20x.
当x=-=8时,S有最大值,
最大值为-×64+160=80,
即内接矩形EFGH的最大面积为80.
24.解:(1)由题意,设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0),
又∵其图象过(100,300),(120,200),
∴解得
∴所求函数表达式为y=-5x+800.
(2)由题意,得
∴100≤x≤116.
∵商场获得的利润=(x-80)(-5x+800)=-5x2+1 200x-64 000=-5(x-120)2+8 000,
又∵-5<0,100≤x≤116,
∴当x=116时,利润最大,最大值为7 920.
答:当销售单价为116元时,商场获得利润最大,最大利润是7 920元.
25.解:(1)∵(1,-4)是二次函数y=(x+m)2+k图象的顶点坐标,
∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
令y=0,则x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴A、B两点的坐标分别为(-1,0),(3,0).
(2)在二次函数的图象上存在点P,使S△PAB=S△MAB.
设点P(x,y),由(1)知AB=4,
则S△PAB=AB×|y|=2|y|.
∵S△MAB=AB×|-4|=8,
∴2|y|=×8,解得y=±5.
∵二次函数的最小值为-4,∴y=5.
当y=5时,x2-2x-3=5,
解得x=-2或x=4.
故存在点P,使S△PAB=S△MAB,点P的坐标为(-2,5)或(4,5).
26.解:(1)①a=-,
b=8.1.
②由①,得y=-x2+x
=-
=-(0≤x≤9),
∴火箭运行的最高点是 km,
∴-1.35=2.4(km),
∴2.4=-x2+x,
整理,得x2-15x+36=0.
解得x1=12>9(不合题意,舍去),x2=3.
由①,得y=-x+8.1.
∴2.4=-x+8.1.
解得x=11.4.
∴11.4-3=8.4(km).
答:这两个位置之间的距离为8.4 km.
(2)-解析:当x=9时,y=81a+9.
∴火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a+9).
设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km.
∴y=-x+b经过点(9,81a+9),(15,0),
∴解得
答:当-27.解:(1)∵二次函数的图象经过O(0,0),A(4,0),B(1,3),
∴将三点坐标代入表达式,得
解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+4x.
∵直线经过A、B两点,设直线AB表达式为y=kx+n(k≠0),
∴将A、B两点坐标代入,得
解得
∴直线AB的表达式为y=-x+4.
∵点C是直线AB与y轴的交点,
∴令x=0,则y=4,
∴C(0,4).
(2)①∵点P在直线AB上方,如图1,
∴1由题知P(m,-m2+4m),D(m,-m+4),
∴PD=yP-yD=-m2+4m+m-4=-m2+5m-4=-.
∵-1<0,
∴当m=时,PD=是最大值.
图1
②存在.
∵∠PDB=∠ADE,∠ADE=∠ACO,
∴∠PDB=∠ACO.
∵△AOC是直角三角形,
∴要使△BPD与△AOC相似,只要保证△BPD是直角三角形就可以.
(Ⅰ)当△BPD∽△AOC时,如图2,
图2
∵∠AOC=90°,
∴∠BPD=90°.
此时BP∥x轴,B、P关于对称轴对称,
∴P(3,3).
(Ⅱ)当△PBD∽△AOC时,如图3,
图3
∴∠PBD=∠AOC=90°.
∴AB⊥PB.
由直线AB的表达式为y=-x+4,B(1,3),易得直线BP的表达式为y=x+2,
联立方程组,得
解得或
∴P(2,4).
综上所述,P的坐标为(3,3)或(2,4).