专题训练一 二次函数表达式的三种常见求解方法
已知图象上任意三点,通常设一般式
1.抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0),(-1,-6),(2,6),求该抛物线与y轴交点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表:
x … -3 -2 -1 0 1 5 …
y … 7 0 -5 -8 -9 7 …
(1)求此二次函数的表达式;
(2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴.
3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点.
(1)观察图象,写出A、B、C三点的坐标,并求出抛物线表达式;
(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴;
(3)观察图象,当x取何值时,y<0,y=0,y>0.
4.(2024蚌埠月考)某校利用大课间开展冬季阳光体育跳大绳活动.跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6 m,到地面的距离AO和BD均为0.9 m,身高为1.4 m的小丽站在距点O的水平距离为1 m的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的表达式为y=ax2+bx+0.9.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)如果身高为1.75 m的张老师也想参加跳绳,问:绳子能否顺利从他头顶越过 请说明理由.
(3)如果身高为1.7 m的某人站在OD之间,且离点O的距离为m m,绳子甩到最高处时必须超过他的头顶,结合图象,则m的取值范围为 .
已知二次函数图象的顶点和图象上另外一点,通常设顶点式
5.(2024邯郸期中)已知顶点为(2,4)的抛物线过点(4,0),此抛物线的表达式是 ( )
A.y=-(x-2)2+4 B.y=(x-2)2-4 C.y=(x-2)2+4 D.y=-(x-2)2-4
6.已知抛物线的对称轴是直线x=2,顶点在直线y=x-1上,并且经过点(3,-8).
(1)求这条抛物线的函数表达式;
(2)若点(1,y1)和(4,y2)都在这条抛物线上,试判断y1、y2的大小关系.
7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中点A的坐标为(-1,0),二次函数图象的顶点坐标为(2,9).
(1)求二次函数的表达式;
(2)P是x轴上方二次函数图象上一动点,当S△PAB=18时,直接写出点P的坐标.
已知图象与x轴的两个交点坐标和另外一点坐标,通常设交点式
8.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的坐标分别为(-1,0),(3,0),其形状及开口方向与抛物线y=-2x2相同,则该抛物线的函数表达式为 ( )
A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4x+6
C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+5
9.已知二次函数的图象经过点(2,-3),对称轴为直线x=1,与x轴的两交点间的距离为4,则这个二次函数的表达式为 .
10.如图,已知抛物线C1经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),
(1)求抛物线C1的函数表达式;
(2)将抛物线C1向左平移k(k>0)个单位,可使所得的抛物线C2经过坐标原点.求k的值并写出抛物线C2的函数表达式.
【详解答案】
1.解:把(1,0),(-1,-6),(2,6),代入抛物线表达式,得
解得
∴该抛物线的表达式为y=x2+3x-4,
当x=0时,y=-4,
∴该抛物线与y轴交点的纵坐标为-4.
2.解:(1)把(-2,0),(-1,-5),(0,-8)代入y=ax2+bx+c,得
解得
∴二次函数的表达式为y=x2-2x-8.
(2)∵y=x2-2x-8=(x-1)2-9,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-9),对称轴为直线x=1.
3.解:(1)A、B、C三点的坐标分别为(-1,0),(0,-3),(4,5).∵y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),C(4,5),B(0,-3)三点,
∴解得
因此,这个二次函数的表达式是y=x2-2x-3.
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1.
(3)观察题图可知,当x<-1或x>3时,y>0,
当x=-1或3时,y=0,
当-14.解:(1)由题意可知,B(6,0.9),OF=1,EF=1.4,E(1,1.4),
把B(6,0.9),E(1,1.4)的坐标代入y=ax2+bx+0.9,得
解得
∴该抛物线的表达式为y=-0.1x2+0.6x+0.9.
(2)能.理由如下:
∵y=-0.1x2+0.6x+0.9=-0.1·(x-3)2+1.8,
∴抛物线的顶点坐标为(3,1.8),即绳子甩到最高处时的高度为1.8 m.
∵1.75<1.8,
∴绳子能顺利从他头顶越过.
(3)25.A 解析:二次函数图象的顶点坐标是(2,4),则设这个二次函数的表达式为y=a(x-2)2+4(a≠0),
把(4,0)代入,得4a+4=0,
解得a=-1,
故这个二次函数的表达式为
y=-(x-2)2+4.
故选A.
6.解:(1)∵抛物线的对称轴是直线x=2,顶点在直线y=x-1上,
∴该抛物线的顶点坐标是(2,1).
故设该抛物线的表达式为y=a(x-2)2+1.
将点(3,-8)的坐标代入,得
-8=a(3-2)2+1,
解得a=-9.
故该抛物线的表达式是y=-9(x-2)2+1.
(2)∵点(1,y1)和(4,y2)都在这条抛物线y=-9(x-2)2+1上,
∴y1=-8,y2=-35.
∴y1>y2.
7.解:(1)∵二次函数图象的顶点坐标为(2,9),
∴可设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+9.
又∵抛物线过点A(-1,0),
∴a(-1-2)2+9=0.
∴a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5,即y=-x2+4x+5.
(2)点P的坐标为(2+,6)或(2-,6).
8.B 解析:根据题意a=-2,
故设y=-2(x-x1)(x-x2),
因为抛物线过点(-1,0),(3,0),所以其表达式为y=-2(x+1)(x-3),
即y=-2x2+4x+6.
故选B.
9.y=x2-2x-3 解析:∵二次函数的图象与x轴的两交点间的距离为4,且以直线x=1为对称轴,
∴图象与x轴两交点的坐标为(-1,0),(3,0).
设二次函数表达式为y=a(x+1)(x-3),
又∵抛物线过点(2,-3),
∴-3=(2+1)(2-3)a.解得a=1.
∴二次函数的表达式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
10.解:(1)∵抛物线C1经过点A(-1,0),B(3,0),
∴可设其函数表达式为y=a(x+1)·(x-3).
将C(0,-3)的坐标代入,得a=1,
∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
(2)将抛物线C1向左平移3个单位,可使得到的抛物线C2经过坐标原点.
∴k=3.
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线C2的函数表达式为y=(x-1+3)2-4,
即抛物线C2的函数表达式为y=x2+4x.专题训练二 二次函数中的运动问题
点动问题
1.(2024吴忠同心县期末)如图,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3).
(1)求二次函数的表达式;
(2)P点是抛物线上一个动点,且△ABP的面积为8,求出点P的坐标.
2.如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(4,0),点B是抛物线上一个动点,过点B作矩形BCDE,使边CD在x轴上(点C在点D的左侧),点E在抛物线上,设点B的横坐标是m,当m=时,BC=.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当m为何值时,四边形BCDE是正方形
线动问题
3.(2024汕头金平区一模)如图,二次函数y=ax2+bx+4的图象交x轴于点A(-1,0)和B(4,0),交y轴于点C.
图1 图2
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,在第一象限有一点M,到O点距离为2,线段BN与BM的夹角为45°,且BN=BM,连结CN,求CN的长度;
(3)如图2,对称轴交抛物线于点D,交BC于点E,在对称轴的右侧有一动直线l垂直于x轴,交线段BC于点F,交抛物线于点P,动直线在沿x轴正方向移动到点B的过程中,是否存在点P,使得以点P、C、F为顶点的三角形与△DCE相似 如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
4.如图,已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,连结AC,过B、C两点作直线.
(1)求a的值.
(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位,交抛物线于B'、C'两点,在直线B'C'上方的抛物线上是否存在定点D,使无论m取何值,都是点D到直线B'C'的距离最大 若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由.
(3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC+∠ACO=45° 若存在,请求出直线BP的表达式,若不存在,请说明理由.
备用图
形动问题
5.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-6ax+c与x轴交于点A和点B(5,0)(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线的顶点,点P在抛物线的对称轴上(不与点D重合),将线段PD绕点P按顺时针方向旋转90°,点D恰好落在抛物线上的点Q处,求点Q的坐标;
(3)如图2,将抛物线在x轴下方部分的图象沿x轴翻折到x轴上方,与原抛物线在x轴上方部分的图象组成新图象,再将新图象向左平移m(m>0)个单位,若平移后的图象在-1≤x<0范围内,y随x的增大而增大,直接写出m的取值范围.
图1 图2
【详解答案】
1.解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x+3),
把C(0,3)的坐标代入,得-3a=3,
解得a=-1,
∴抛物线的表达式为y=-(x-1)(x+3),
即y=-x2-2x+3.
(2)设P(m,n),
∵△ABP的面积为8,
∴AB|n|=8.
解得n=±4,
分两种情况讨论:
①当n=-4时,-m2-2m+3=-4,
解得m=-1±2,
∴P1(-1+2,-4),P2(-1-2,-4);
②当n=4时,-m2-2m+3=4,
解得m1=m2=-1,
∴P3(-1,4).综上所述,点P的坐标为(-1+2,-4)或(-1-2,-4)或(-1,4).
2.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(4,0),
∴16a+4b=0.
∴b=-4a.
∴抛物线的表达式为y=ax2-4ax.
当m=时,BC=,
即B,
把点B坐标代入y=ax2-4ax,得a-4a×,
解得a=-1,
∴抛物线的表达式为y=-x2+4x.
(2)∵点C在点D的左侧,∴m<2.当四边形BCDE是正方形时,BC=CD,
∵OA=4,OC=|m|,DA=OC=|m|,
∴CD=4-2m.
∴B(m,4-2m).
把点B坐标代入y=-x2+4x,得
-m2+4m=4-2m,
整理,得m2-6m+4=0,
解得m=3-或m=3+(舍去),
∴当m=3-时,四边形BCDE是正方形.
3.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+4的图象交x轴于点A(-1,0)和B(4,0),
∴解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+3x+4.
(2)∵二次函数y=ax2+bx+4的图象交y轴于点C,
∴C(0,4).
∵B(4,0),
∴OB=OC=4,
∴∠OCB=∠OBC=45°.
∴BC==4.
∴.
又∵BN=BM,
∴.∴.
∵∠OBM+∠MBC=45°,∠MBC+∠CBN=45°,
∴∠OBM=∠CBN.
在△CBN和△OBM中,
∵∠OBM=∠CBN,,
∴△CBN∽△OBM.
∴.∴.∴CN=2.
(3)存在.如图.
∵y=-x2+3x+4=-,
∴点D.
设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),
把B(4,0),C(0,4)的坐标代入,得
解得
∴BC所在直线的表达式为y=-x+4.
将x=代入y=-x+4,
得y=-+4=,
∴点E.
由题意,得PF∥DE,
∴∠CED=∠CFP.
∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C,且∠PCF在∠DCE的内部,
∴∠PCF≠∠DCE.
∴只有∠PCF=∠CDE时,
△PCF∽△CDE,
∴.
∵C(0,4),E,
∴DE=.
设点P的坐标为(t,-t2+3t+4),则点F的坐标为(t,-t+4),
∴PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t.
∵CE=,CF=t,
∴.解得t=或t=0(舍),
当t=时,-t2+3t+4=,
∴点P的坐标为.
4.解:(1)∵抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0),
∴a+2a+3=0.
∴a=-1.
(2)存在定点D,使无论m取何值,都是点D到直线B'C'的距离最大.
∵y=-x2+2x+3,当x=0时,y=3,
∴C(0,3).当y=0时,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴B(3,0).设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),则解得
∴直线BC的表达式为y=-x+3.
∵将直线BC向下平移m(m>0)个单位,交抛物线于B'、C'两点,
∴直线B'C'的表达式为y=-x+3-m.设D(t,-t2+2t+3),过点D作DE∥y轴,交B'C'于点E,作DF⊥B'C'于点F,设直线B'C'交y轴于点G,如图1,
图1
∴E(t,-t+3-m).
∴DE=-t2+2t+3-(-t+3-m)=-t2+3t+m.
∵OB=OC=3,∠BOC=90°,
∴∠BCO=∠CBO=45°.
∵B'C'∥BC,
∴∠B'GO=∠BCO=45°.
∵DE∥y轴,
∴∠DEF=∠B'GO=45°.
∵∠DFE=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形.
∴DF=DE=(-t2+3t+m)=.
∵-<0,
∴当t=时,DF取得最大值,最大值为,此时点D的坐标为.
(3)存在,直线BP的表达式为y=-x+1或y=-3x+9.分情况求解如下:
①当∠PBC在直线BC的下方时,在y轴正半轴上取点M(0,1),连结BM并延长交抛物线于点P,如图2,
∵A(-1,0),B(3,0),C(0,3),M(0,1),
图2
∴OB=OC=3,OM=OA=1,∠BOM=∠COA=90°.
∴△BOM≌△COA.
∴∠MBO=∠ACO.
∵∠CBO=45°,
∴∠PBC+∠MBO=45°.
∴∠PBC+∠ACO=45°.
设直线BP的表达式为y=k'x+b'(k'≠0),
则解得
∴直线BP的表达式为y=-x+1.
②当∠PBC在直线BC的上方时,作点M关于直线BC的对称点M',如图3,连结MM',CM',直线BM'交抛物线于点P,由对称得∠PBC=∠MBC,MM'⊥BC,CM'=CM=2,∠BCM'=∠BCM=45°,
图3
∴∠PBC+∠ACO=∠MBC+∠OBM=45°,∠MCM'=90°.
∴M'(2,3),则直线BP的表达式为y=-3x+9.综上所述,抛物线上存在点P,使∠PBC+∠ACO=45°,直线BP的表达式为y=-x+1或y=-3x+9.
5.解:(1)将点B(5,0),C的坐标分别代入y=ax2-6ax+c,
得
解得
故抛物线的表达式为y=-x2+x-.
(2)∵y=-x2+x-=-·(x2-6x)-=-(x-3)2+1,
∴D(3,1).
设点P(3,n),
∵PD=PQ=1-n,
∴Q(3+1-n,n),即Q(4-n,n).将其坐标代入抛物线表达式,得n=-·(4-n)2+(4-n)-,
整理,得n2+2n-3=0,
∴(n-1)(n+3)=0.
∴n=1或-3.
又∵点P不与点D重合,
∴n=-3,Q(7,-3).
(3)2≤m≤3或m≥6.
