第27章　圆 单元评估测试卷（含答案） 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

第27章　圆 评估测试卷
(满分:150分　时间:120分钟)
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.如图,若AB、CE是☉O的直径,∠COD=60°,且,则与∠AOC相等的角有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知☉O的直径等于8,圆心O到点P的距离为5,则点P与☉O的位置关系是 (　　)
A.点P在☉O上 B.点P在☉O外
C.点P在☉O内 D.无法确定
3.(2024安徽中考)若扇形AOB的半径为6,∠AOB=120°,则的长为 (　　)
A.2π B.3π C.4π D.6π
4.(2024云南中考)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为40 cm,底面的半径为30 cm,则该圆锥的侧面积为 (　　)
A.700π cm2 B.900π cm2 C.1 200π cm2 D.1 600π cm2
5.如图,在☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连结AB、OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是 (　　)
A.25° B.27.5° C.30° D.35°
6.如图,已知☉O的半径为5,M是圆外一点,MO=6,∠OMA=30°,则弦AB的长为(　　)
A.4 B.6 C.6 D.8
7.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=2,CD=1,则AD的长为 (　　)
A.2-2 B.3-
C.4- D.2
8.如图,正六边形ABCDEF的边长为6,以顶点A为圆心,AB的长为半径画圆,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A.4π B.6π
C.8π D.12π
9.(2024泰安中考)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是 (　　)
A.π- B.π
C.π- D.π-
10.如图,在直角梯形ABCD中,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,BO交半圆O于点F,DF的延长线交AB于点P,连结DE.以下结论:①DE∥OF;②AB+CD=BC;③PB=PF;④AD2=4AB·DC.其中正确的是 (　　)
A.①②③④ B.①②
C.①②④ D.③④
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
11.如图,A、B、C、D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=20°,则这个正多边形的边数为 　　　　.
12.某班同学要制作一个圆锥形纸帽,已知圆锥的母线长为30 cm,底面直径为20 cm,则这个纸帽的表面积为　　　　.
13.抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一.如图,AC、BD分别与☉O相切于点C、D,延长AC、BD交于点P.若∠P=120°,☉O的半径为6 cm,则图中劣弧CD的长为
　　　　cm.(结果保留π)
14.已知☉O的直径为10,弦AB=6,P为弦AB上的一个动点,则OP长的取值范围是　　　　.
15.已知∠APE,有一量角器如图摆放,中心O在PA边上,OA为0°刻度线,OB为180°刻度线,角的另一边PE与量角器半圆交于C、D两点,点C、D对应的刻度分别为160°,68°,则∠APE=　　　　°.
第15题图　　　　　 　第16题图
16.(2024牡丹江中考)如图,在☉O中,直径AB⊥CD于点E,CD=6,BE=1,则弦AC的长为　　　　.
三、解答题:本大题共6小题,共46分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(7分)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=4 cm,扇形BAE的半径AE=6 cm,扇形BCF的半径CB=4 cm,求阴影部分的面积.(π取3.14)
18.(7分)(2024武威凉州区二模)如图,点A、B、C都在☉O上,且CA=CB,若AB=8,☉O的半径为5,连结CO,求AC的长.
19.(7分)如图,在平面直角坐标系中,有一条圆心角为90°的圆弧,且该圆弧经过网格点A(0,4),B(-4,4),C(-6,2).
(1)该圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　　　;
(2)求扇形AMC的面积.
20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,DE⊥BE.
(1)已知DE=4,BE=6,求tan∠CBE的值.
(2)求证:AC是☉O的切线.
21.(8分)如图,AB为☉O的直径,DE为切线,AE⊥DE,若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.
22.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O为AB边上一点,以OA为半径的☉O与BC相切于点D,分别交AB、AC边于点E、F.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若AC=6,tan∠CAD=,求AE的长.
四、解答题:本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.(9分)如图,,∠APC=60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若BC=4 cm,求☉O的面积.
24.(9分)(2024绍兴期末)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x-4与坐标轴相交于点A、B,过点O、A的☉E与该直线相交于点C,连结OE,OE=2.5.
(1)求点E到x轴的距离;
(2)连结OC,求OC的长.
25.(10分)如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作☉O,点E在BC边上,连结AE交☉O于点F,连结BF并延长交CD于点G.
(1)求证:△ABE≌△BCG;
(2)若∠AEB=55°,OA=3,求劣弧BF的长.(结果保留π)
26.(10分)(2024兰州中考)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,点D为☉O上一点,BC=BD,延长BA至点E,使得∠ADE=∠CBA.
(1)求证:ED是☉O的切线;
(2)若OB=4,tan∠CBA=,求ED的长.
27.(12分)(2024烟台中考)如图,AB是☉O的直径,△ABC内接于☉O,点I为△ABC的内心,连结CI并延长交☉O于点D,E是上任意一点,连结AD、BD、BE、CE.
(1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数;
(2)找出图中所有与DI相等的线段,并证明;
(3)若CI=2,DI=,求△ABC的周长.
【详解答案】
1.C　2.B
3.C　解析:的长==4π.故选C.
4.C　解析:圆锥的侧面积=×2π×30×40=1 200π(cm2).故选C.
5.D　解析:∵∠A=60°,∠ADC=85°,
∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°.
∴∠AOC=2∠B=50°.
∴∠C=180°-95°-50°=35°.故选D.
6.D　解析:如图,过点O作OC⊥AB于点C,连结OA,则∠OCA=90°.
∵MO=6,∠OMA=30°,∴OC=MO=3.在Rt△OCA中,由勾股定理,得AC==4.∵OC⊥AB,OC过点O,∴BC=AC,即AB=2AC=2×4=8.故选D.
7.C　解析:如图,延长AD、BC交于点E.∵∠BCD=120°,∴∠A=60°.∵∠B=90°,∴∠ADC=90°,∠E=30°.
在Rt△ABE中,AE=2AB=4.
在Rt△CDE中,DE=.
∴AD=AE-DE=4-.故选C.
8.D　解析:根据题意,得正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°.
∵正六边形的六个内角相等,
∴∠A=×720°=120°.
∵正六边形的边长为6,
∴扇形的半径为6,
∴S阴影=S扇形BAF==12π,
即阴影部分的面积为12π.故选D.
9.A　解析:如图,连结OA、AO',作AB⊥OO'于点B,
∵OA=OO'=AO'=2,
∴三角形AOO'是等边三角形.
∴∠AOO'=60°,OB=OO'=1.
∴AB=.
∴S弓形AO'=S扇形AOO'-S△AOO'
=-2×
=,
∴S阴影=S弓形AO'+S扇形AO'O
=
=.
故选A.
10.C　解析:如图,连结AE.
∵BA、BE是圆的切线,
∴AB=BE,BO是△ABE顶角的平分线,
∴OB⊥AE,
∵AD是圆的直径,
∴DE⊥AE,
∴DE∥OF,
故①正确;
∵CD=CE,AB=BE,
∴AB+CD=BC,
故②正确;
∵OD=OF,
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP,
若PB=PF,则有∠PBF=∠BFP=∠ODF,
而△ADP与△ABO不一定相似,故PB=PF不一定成立,
故③不正确;
连结OC,可以证明△OAB∽△CDO,
∴,
即OA·OD=AB·CD,
∴AD2=4AB·DC,
故④正确.
故正确的是①②④.
故选C.
11.九
12.300π cm2　解析:S表=S扇形=lR=×π×20×30=300π(cm2).
13.2π　解析:连结OC、OD(图略).
∵AC、BD分别与☉O相切于点C、D,∴∠OCP=∠ODP=90°.
∵∠P=120°,∴∠COD=60°.
∵☉O的半径为6 cm,∴劣弧CD的长为=2π(cm).
14.4≤OP≤5　解析:作OC⊥AB于点C,连结OA(图略),
则OC==
4,即OP的最小值为4,当OP取最大值时点P在圆上,即点P与点A或B重合时,OP取得最大值,最大值为☉O的半径,∴OP长的取值范围为4≤OP≤5.
15.24　解析:如图,连结OD、OC,根据题意,得∠AOD=68°,∠AOC=160°.∴∠COD=∠AOC-∠AOD=92°,∠COP=180°-∠AOC=20°.∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC=×(180°-92°)=44°.
∵∠OCD=∠COP+∠APE,
∴∠APE=24°.
16.3　解析:∵AB⊥CD,CD=6,
∴CE=DE=CD=3.
设☉O的半径为r,则OE=OB-BE=r-1,
在Rt△OED中,由勾股定理,得OE2+DE2=OD2,
即(r-1)2+32=r2,
解得r=5,
∴OA=5,OE=4.
∴AE=OA+OE=9,
在Rt△AEC中,由勾股定理,得
AC==3.
17.解:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠C=90°,
∴阴影部分的面积=扇形BAE面积+扇形BCF面积-矩形面积
=×π×AB2+×π×CB2-AB×BC
=×π×62+×π×42-6×4
=9π+4π-24
≈13×3.14-24
=16.82(cm2).
18.解:如图,设AB与OC交于点D,连结OA、OB,
则OA=OB.
∵CA=CB,
∴OC垂直平分AB,即OC⊥BA.
∵AB=8,
∴AD=BD=AB=4.
∵☉O的半径为5,
∴OD==3.
∴CD=OC-OD=5-3=2.
∴AC==2.
19.解:(1)(-2,0)
(2)∵扇形的半径r==2,∠AMC=90°,
∴S扇形AMC==5π.
20.(1)解:∵DE⊥BE,∴∠BED=90°.
在Rt△BED中,DE=4,BE=6,
则tan∠EBD=.
又∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠CBE=∠EBD.
∴tan∠CBE=tan∠EBD=.
(2)证明:如图,连结OE.
∵OE=OB,
∴∠EBO=∠OEB.
又∵∠CBE=∠EBD,即∠CBE=
∠EBO,
∴∠OEB=∠CBE.
∴BC∥OE.
又∵∠C=90°,
∴∠OEA=90°,即OE⊥AC.
又∵点E在☉O上,
∴AC是☉O的切线.
21.解:如图,连结OC,
∵DE为☉O的切线,
∴OC⊥DE.∴∠OCD=90°.
∵∠D=30°,
∴∠DOC=60°,OD=2OC.
∴BD=OB=OA.
∵AE⊥DE,∠D=30°,AE=6,
∴AD=2AE=12.∴OD=8,OC=4.
∴CD==4,
∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=×4×4-=8π.
22.(1)证明:如图,连结OD,则OD=OA,
∴∠ODA=∠BAD.
∵☉O与BC相切于点D,
∴BC⊥OD.
∴∠ODB=∠C=90°.
∴OD∥AC.
∴∠ODA=∠CAD.
∴∠BAD=∠CAD.
∴AD平分∠BAC.
(2)解:如图,连结DE,
在Rt△ACD中,tan∠CAD=,AC=6,
∴CD=AC=3.
∴AD==3.
∵AE是☉O的直径,
∴∠ADE=90°.
∴∠ADE=∠C.
由(1)知∠EAD=∠CAD.
∴△ADE∽△ACD.
∴,即,
∴AE=7.5.
23.(1)证明:∵,
∴AB=AC.
又∵∠B=∠APC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
(2)解:连结BO并延长,交☉O于点D,连结CD(图略).
∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°.
又∵∠BAC=60°,∴∠BDC=60°.
在Rt△BCD中,BC=4 cm,∠BDC=60°,
∴BD=(cm),
∴OB= cm,
∴S圆=π·(OB)2=π·π(cm2).　
24.解:(1)过点E作EH⊥x轴于点H,如图,
当y=0时,x-4=0,解得x=4,
∴A(4,0).
∵EH⊥OA,
∴OH=AH=OA=2.
在Rt△OHE中,EH=,
∴点E到x轴的距离为.
(2)连结CE,如图,
当x=0时,y=x-4=-4,
∴B(0,-4).
∵OA=OB=4,
∴△OAB为等腰直角三角形.
∴∠OAB=45°.
∴∠OEC=2∠OAB=90°.
∴△OEC为等腰直角三角形.
∴OC=OE=.
25.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AB为☉O的直径,
∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°,AB=BC,
∴∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠EBF=90°,
∴∠EBF=∠BAF.
在△ABE和△BCG中,
∴△ABE≌△BCG(A.S.A.).
(2)解:连结OF,如图.
∵∠ABE=∠AFB=90°,∠AEB=55°,
∴∠BAE=90°-55°=35°.
∴∠BOF=2∠BAE=70°.
∵OA=3,∴劣弧BF的长=.
26.(1)证明:连结OD,如图所示:
∵AB为☉O的直径,
∴∠BCA=∠BDA=90°,OB=OD,
∴∠DBA=∠BDO.
在Rt△BCA和Rt△BDA中,
∴Rt△BCA≌Rt△BDA(H.L.),
∴∠CBA=∠DBA.
∵∠ADE=∠CBA,∠DBA=∠BDO,
∴∠ADE=∠DBA=∠BDO.
∵∠BDO+∠ADO=∠BDA=90°,
∴∠ADE+∠ADO=90°,
即ED⊥OD.
∵OD是☉O的半径,
∴ED是☉O的切线.
(2)解:∵OB=4,
∴AB=2OB=8.
∴EB=AE+AB=AE+8.
∵tan∠CBA=,∠CBA=∠DBA,
∴tan∠DBA=.
在Rt△ABD中,tan∠DBA=,
设AD=a,则BD=2a,
∵∠ADE=∠DBA,∠E=∠E,
∴△EAD∽△EDB,
∴ED∶EB=EA∶ED=AD∶DB,
即ED∶(AE+8)=EA∶ED=a∶2a,
由EA∶ED=a∶2a,得EA=ED,
由ED∶(AE+8)=a∶2a,
得2ED=AE+8,
∴2ED=ED+8,
∴ED=.
27.解:(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=∠ACB=90°.
又∵∠ABC=25°,
∴∠CAB=90°-25°=65°.
∵四边形ABEC是☉O的内接四边形,
∴∠CEB+∠CAB=180°,
∴∠CEB=180°-∠CAB=115°.
(2)DI=AD=BD.
证明如下:如图1,连结AI,
图1
∵点I为△ABC的内心,
∴∠CAI=∠BAI,∠ACI=∠BCI=∠ACB=45°.
∴,
∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD.
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI,
∴∠DAI=∠DIA.
∴DI=AD=BD.
(3)如图2,过点I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q、F、P,
图2
∵点I为△ABC的内心,即为△ABC的内切圆的圆心,
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点,
∴AQ=AF,CF=CP,BQ=BP.
∵CI=2,∠IFC=90°,
∠ACI=45°,
∴CF=CI·cos 45°=2=CP.
∵DI=AD=BD,DI=,∠ADB=90°,
∴AB=DI==13,
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
=AB+AF+CF+CP+BP
=AB+AQ+2CF+BQ
=2AB+2CF
=2×13+2×2=30.