专题训练三 切线判定的常用方法
有公共点,连半径,证垂直
1.已知△ABC内接于☉O,过点A作直线EF,如图所示,AB是不过圆心O的弦,且∠CAE=∠B,那么EF是☉O的切线吗 试证明你的判断.
2.如图,已知AB为☉O的直径,C是的中点,AD垂直于过点C的直线于点E.
(1)求证: CE是☉O的切线;
(2)若∠BAD= 60°, AB=4,求CE的长.
3.如图,AB是☉O的直径,点C,E在☉O上,∠CAB=2∠EAB,点F在线段AB的延长线上,且∠AFE=∠ABC.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若BF=1,sin∠AFE=,求BC的长.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,延长CA到点D,以AD为直径作☉O,交BA的延长线于点E,延长BC到点F,使BF=EF.
(1)求证: EF是☉O的切线;
(2)若OD=5,∠F=100°,求扇形AOE的面积.(结果保留π)
无切点,作垂直,证半径
5.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.
求证:AC是☉O的切线.
6.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD+BC=CD,以AB为直径作☉O.
求证:CD与☉O相切.
7.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,DE=DC,以点D为圆心,BD长为半径作☉D,AB=5,EB=2.
(1)求证:AC是☉D的切线;
(2)求线段AC的长.
8.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,O为AB的中点,连结CO交☉O于点E, ☉O与AC相切于点D.
(1)求证: BC是☉O的切线;
(2)延长CO交☉O于点G,连结AG交☉O于点F,若AC=4,求FG的长.
【详解答案】
1.解:EF是☉O的切线.
证明如下:如图,连结AO并延长,交☉O于点M,连结CM,
则∠ACM=90°,∠M=∠B,
∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°.
∵∠CAE=∠B,
∴∠CAM+∠CAE=90°.
∴AE⊥AM.
∵AM为☉O的直径,∴EF是☉O的切线.
2.(1)证明:如图1.连结OC.
图1
∵C是的中点,
∴,∴∠CAD=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠BAC,
∴∠CAD=∠ACO,
∴AE∥OC.
∵AE⊥CE,∴OC⊥CE.
∵OC是☉O的半径,
∴CE是☉O的切线.
(2)解:如图2,连结BC.
图2
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB = 90°.
∵∠BAD= 60°,
∴∠CAD=∠BAC= 30°.
∵AB=4,
∴AC=ABcos∠BAC=4=6.
∴CE =ACsin∠CAD=6×=3.
3.(1)证明:如图,连结OE,
则∠FOE=2∠OAE.
∵∠CAB=2∠EAB,∴∠CAB=∠FOE.
∵∠AFE=∠ABC,
∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE.
∴∠ACB=∠OEF.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠OEF=90°,即OE⊥EF,
∵OE是☉O的半径,
∴EF是☉O的切线.
(2)解:设半径为r,即OE=OB=r,则OF=r+1,
在Rt△EOF中,sin∠AFE=,∴r=4,
∴AB=2r=8.在Rt△ABC中,sin∠ABC==sin∠AFE=,
∴AC=×8=.
∴BC=.
4.(1)证明:如图,
连结EO.
∵OE=OA,
∴∠OEA=∠OAE.
∵∠OAE=∠CAB,
∴∠OEA=∠CAB.
∵ EF=FB,
∴∠FEB=∠FBE.
在Rt△ABC中,∠ACB =90°,
∴∠CAB+∠CBA = 90°,
∴∠BEF+∠OEA =90°,
即∠OEF = 90°.
∵点E在☉O上,
∴EF是☉O的切线.
(2)解:在四边形COEF中,
∠FEO=∠OCF =90°,
∴∠F+∠EOC= 180°.
∵∠F= 100°,
∴∠EOC= 180°- 100°=80°.
∴扇形AOE的面积为π.
5.证明:如图,过点O作OE⊥AC于点E,连结OD、OA,
∵AB与☉O相切于点D,
∴AB⊥OD.
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE=OD,即OE是☉O的半径.
∵AC经过☉O的半径OE的外端点且垂直于OE,∴AC是☉O的切线.
6.证明:如图,连结CO,延长CO、DA交于点H,过点O作OE⊥CD于点E,
∵∠OAH=∠B=90°,∠AOH=∠BOC,AO=BO,
∴△AOH≌△BOC(A.S.A.).
∴AH=BC,HO=CO.
∵AD+BC=CD,AH+AD=HD,
∴CD=DH.
∴∠H=∠DCH.
∵∠OAH=∠OEC=90°,HO=CO,
∴△AHO≌△ECO(A.A.S.).
∴OA=OE.
∴OE为☉O的半径.
∵OE⊥EC,
∴CD与☉O相切.
7.(1)证明:如图,过点D作DF⊥AC于点F.
∵∠B=90°,AD平分∠BAC,
∴BD=DF.
∴DF为☉D的半径.
∴AC为☉D的切线.
(2)解:∵AC为☉D的切线,
∴∠DFC=∠B=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△FDC中,BD=FD,DE=DC,
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(H.L.).
∴EB=CF.
∵AB=AF,
∴AB+EB=AF+CF,即AB+EB=AC.
∴AC=5+2=7.
8.(1)证明:如图1,连结OD,过点O作OP⊥BC于点P.
图1
∵☉O与AC相切于点D,
∴OD⊥AC.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,O为AB的中点,
∴∠OCD=∠OCP=45°,∴OD=OP,
即OP是☉O的半径,
∴BC是☉O的切线.
(2)解:∵AC=4.BC=AC,∠ACB=90°.
∴AB=AC=8,OC⊥AB.
∵O为AB的中点,
∴OC=OA=AB=4.
∵OD⊥AC,∴OD=AC=2.
在Rt△AOG中,AG==2.
如图2,连结OF,过点O作OH⊥AG于点H.
∴OH=.
∴HG==.
∵OF=OG.
∴FG=2HG=.
图2专题训练四 圆中辅助线的作法
遇弦添加弦心距或半径
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A、B两点,C、D是半径为1的☉O上两动点,且CD=,P为弦CD的中点.当C、D两点在圆上运动时,△PAB面积的最大值是 ( )
A.8 B.6 C.4 D.3
2.如图,将半径为3 cm的圆形纸片折叠后,劣弧中点C恰好与圆心O距离1 cm,则折痕AB的长为
cm.
3.如图,某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为O,隧道的水平宽AB为24 m,AB离地面的高度AE为10 m,拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m,在拱顶的M、N处安装照明灯,且M、N离地面的高度相等都等于17 m,求MN的长.
遇直径构造直径所对的圆周角
4.如图,已知在△ABC中,AB=AC.以AB为直径作半圆O,交BC于点D.若∠BAC=40°,则∠BAD的度数是 °.
5.如图,△ABC内接于☉O,BD是☉O的直径,若∠ABD=62°,则∠C的度数是 .
6.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,交线段CA的延长线于点E,连结BE.
(1)求证:BD=CD;
(2)若tan C=,BD=4,求AE的长.
7.如图,AB是☉O的直径,D、E为☉O上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使得CD=BD,连结AC交☉O于点F,连结AE、DE、DF.
(1)求证:∠CFD=∠C;
(2)若∠E=50°,求∠BDF的度数;
(3)设DE交AB于点G,若DF=6,cos B=,∠BDE=45°,求EG·ED的值.
遇切线,连结圆心和切点
8.如图,菱形OABC的顶点A、B、C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D,若☉O的半径为1,则BD的长为 ( )
A.1 B.2 C. D.
9.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD长为半径的弧恰好与BC相切,切点为E.若,则sin C的值是 ( )
A. B. C. D.
10.如图,AB是☉O的直径,CD与AB相交于点E,过点D的切线DF∥AB,交CA的延长线于点F,CF=CD.
(1)求∠F的度数;
(2)若DE·DC=8,求☉O的半径.
11.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C作☉O的切线l,过点B作BD⊥l于点D.
(1)求证:BC平分∠ABD;
(2)连结OD,若∠ABD=60°,CD=,求OD的长.
【详解答案】
1.D 解析:如图,作OQ⊥AB于点Q,连结OP、OD、OC,∵CD=,OC=OD=1,∴OC2+OD2=CD2,∴△OCD为等腰直角三角形.由y=-x-2,得点A(-2,0),B(0,-2),∴OA=OB=2,∴△OAB为等腰直角三角形.∴AB=2,OQ=.由题意,得当P、O、Q共线,且点O在线段PQ上时,S△ABP最大,∵P为CD中点,∴OP=.∴PQ=OP+OQ=,∴S△ABP的最大值=AB·PQ=3.故选D.
2.2 解析:如图,取的中点D,根据圆的对称性和折叠的性质可知点O、C、D共线,作直线OC,交AB于点E,连结BO,根据题意可知OB=3 cm,OE=2 cm,
∵点D是的中点,∴OE⊥AB.
在Rt△OBE中,根据勾股定理,得BE= cm.
∵OE⊥AB,∴AB=2BE=2(cm).
3.解:如图,设CD与AB交于点G,与MN交于点H, 连结OM、OA,
∵CD=18 m,AE=10 m,AB=24 m,HD=17 m,
∴CG=8 m,AG=12 m,CH=1 m,
设圆拱的半径为r m,
在Rt△AOG中,OA2=OG2+AG2,
∴r2=(r-8)2+122.
解得r=13,∴OC=13 m,
∴OH=13-1=12(m).
在Rt△MOH中,OM2=OH2+MH2,
∴132=122+MH2.
解得MH=5(负值舍去).
∴MN=10 m.
4.20 解析:连结AD(图略),∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=20°.
5.28° 解析:如图,连结AD,
∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.
∵∠ABD=62°,∴∠D=90°-∠ABD=28°.∴∠C=∠D=28°.
6.(1)证明:如图,连结AD,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∵AB=AC,∴BD=CD.
(2)解:∵BD=CD=4,
∴BC=BD+CD=8.
在Rt△ADC中,tan C=,
∴AD=CD·tan C=4×=2.
∴AC==2.
∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°.
∵∠AEB=∠ADC=90°,∠C=∠C,
∴△CEB∽△CDA.∴.
∴.∴CE=.
∴AE=CE-AC=.
∴AE的长为.
7.(1)证明:如图,连结AD,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∵CD=BD,∴AD垂直平分BC.
∴AB=AC.∴∠B=∠C.
∵∠B=∠AED,∴∠AED=∠C.
∵四边形AEDF是☉O的内接四边形,
∴∠AFD+∠AED=180°.
∵∠AFD+∠CFD=180°,
∴∠CFD=∠AED.
∴∠CFD=∠C.
(2)解:∵∠C=∠CFD=∠AED=50°,
∴∠BDF=∠C+∠CFD=100°.
(3)解:如图,连结OE,
∵∠CFD=∠AED=∠C,
∴DF=CD=BD=6.
在Rt△ABD中,cos B=,BD=6,
∴AB=9.∴AO=BO=.
∵∠BDE=45°,
∴∠BOE=∠AOE=90°.
∵AO=OE=,
∴AE=.
∵∠AOE=90°,
∴∠ADE=∠GAE=45°.
∴△AEG∽△DEA.
∴,即EG·ED=AE2=.
8.D 解析:如图,连结OB,
∵四边形OABC是菱形,
∴OA=AB.∵OA=OB,
∴OA=AB=OB.∴∠AOB=60°.
∵BD是☉O的切线,∴∠OBD=90°.
∵OB=1,
∴BD=OB·tan∠DOB=OB=.
故选D.
9.B 解析:如图,连结DB、DE,设AB=m,∵,∴CD=3AB=3m.∵AD是☉D的半径,AD⊥AB,∴AB是☉D的切线.∵☉D与BC相切于点E,∴BC⊥DE,EB=AB=m,∠CBD=∠ABD.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.∴∠CBD=
∠CDB.∴CB=CD=3m.
∴CE=CB-EB=3m-m=2m.
∵∠CED=90°,
∴DE==m,
∴sin C=.
故选B.
10.解:(1)如图,连结OD,
∵DF为☉O的切线,∴∠ODF=90°.
∵DF∥AB,
∴∠AOD=180°-∠ODF=90°.
∴∠ACD=∠AOD=45°.
∵CF=CD,
∴∠F=∠CDF==67.5°.
(2)如图,连结AD.
∵OA=OD,∠AOD=90°,
∴∠EAD=45°.
∵∠ACD=45°,∴∠ACD=∠EAD.
∵∠ADE=∠CDA,
∴△DAE∽△DCA.
∴.∴DA2=DE·DC=8.
∵DA>0,∴DA=2.
∵OA2+OD2=2OA2=DA2=8,OA>0,
∴OA=2,即☉O的半径为2.
11.(1)证明:如图1,连结OC.
图1
∵直线l与☉O相切于点C,
∴OC⊥l于点C.∴∠OCD=90°.
∵BD⊥l于点D,∴∠BDC=90°.
∴∠OCD+∠BDC=180°.
∴OC∥BD.
∴∠OCB=∠CBD.
∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OBC=∠CBD.
∴BC平分∠ABD.
(2)解:如图2,连结AC.
图2
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠ABD=60°,
∴∠OBC=∠CBD=∠ABD=30°.
在Rt△BDC中,
∵∠CBD=30°,CD=,
∴BC=2CD=2.
在Rt△ACB中,
∵∠ABC=30°,∴AB=2AC.
∵AC2+BC2=AB2,∴AB=4.
∴OC=AB=2.
在Rt△OCD中,
∵OC2+CD2=OD2,∴OD=.专题训练五 求图形阴影部分面积的常用方法
直接法
1.如图,以等边三角形ABC的边BC为直径的☉O分别交AB、AC于点D、E,BC=2,则阴影部分的面积是 ( )
A.π B. C. D.
2.家具厂利用如图所示的直径为1 m的圆形材料加工成一种扇形家具部件,已知扇形的圆心角∠BAC=90°,则扇形部件的面积为 ( )
A.π m2 B.π m2 C.π m2 D.π m2
割补法
3.如图,在矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连结BD,则阴影部分的面积为 ( )
A.π B.π-2 C.π+2 D.π+4
4.如图,在正方形ABCD中,AC和BD交于点O,过点O的直线EF交AB于点E(E不与A、B重合),交CD于点F.以点O为圆心,OC长为半径的圆交直线EF于点M、N.若AB=1,则图中阴影部分的面积为 ( )
A. B. C. D.
5.如图,已知扇形AOB,点D在上,将扇形沿直线CD折叠,点A恰好落在点O处,作DE⊥DA交OB于点E,若∠AOB=150°,OA=4,则图中阴影部分的面积是 .
6.如图,将☉O沿弦AB折叠,恰经过圆心O,若AB=2,则阴影部分的面积为 .
等积法
7.如图,半径为10的扇形AOB中,∠AOB=90°,C为上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D、E.若∠CDE=36°,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.10π B.9π C.8π D.6π
8.如图,点O是圆形纸片的圆心,将这个圆形纸片按下列顺序折叠,使和都经过圆心O,则阴影部分的面积是☉O面积的 ( )
A. B. C. D.
整体法
9.如图,以三角形三个顶点为圆心画半径为2的圆,则阴影部分面积之和为 .
10.如图,正三角形ABC的边长为8,点D、E、F分别为BC、CA、AB的中点,以A、B、C三点为圆心,4为半径作圆,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
和差法
11.如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是( )
A.π-20 B.π-20 C.20π D.20
12.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,AB∥CD,DE⊥AD交AB于点E,以点E为圆心,DE长为半径,且DE=6的圆交CD于点F,则阴影部分的面积为 ( )
A.6π-9 B.12π-9
C.6π- D.12π-
13.如图,在半径为2 cm、圆心角为90°的扇形AOB中,分别以OA、OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.cm2 B.cm2
C.1 cm2 D. cm2
14.如图,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=120°,以点A为圆心,1为半径作弧,分别交AB、AC于点D、E,以点C为圆心,3为半径作弧,分别交AC、BC于点A、F.若图中阴影部分的面积分别为S1、S2,则S1-S2的值为 .
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的半圆分别交AC、BC、AB于点D、E、F,且点E是弧DF的中点.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若CE=,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
【详解答案】
1.D 解析:∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°.
∵OB=OD,∴△BOD为等边三角形,∴∠BOD=60°.
∵BC=2,∴OD=1.
∴S阴影=.故选D.
2.C 解析:连结BC、AO,如图所示.
∵∠BAC=90°,∴BC是☉O的直径.
∵☉O的直径为1 m,∴AO=BO= m.∴AB= m.
∴扇形部件的面积=π×=(m2).
故选C.
3.A 解析:连结OE交BD于F,如图.
由题可知四边形OECD是正方形,
∴OD=EC=BE.易证△ODF≌△EBF,
∴S△ODF=S△EBF.
∴阴影部分的面积=S扇形DOE==π.故选A.
4.B 解析:∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OD=OC=,∠BOC=90°.
∴∠BOM+∠CON=180°-∠BOC=90°.
∴S阴影=×1×1=.故选B.
5. 解析:如图,连结OD.
∵将扇形沿直线CD折叠,点A恰好落在点O处,
∴,AD=OD.
∴S弓形AD=S弓形OD,∴S阴影=S△ODE.
∵OA=OD,∴OA=OD=AD.
∴∠AOD=∠ADO=60°.
∵∠AOB=150°,∴∠DOE=90°.
∵DE⊥DA,∴∠ADE=90°.
∴∠ODE=30°.
∵OA=OD=4,
∴OE=OD·tan∠ODE=.
∴图中阴影部分的面积=S△ODE=×4=.
6. 解析:如图,过点O作AB的垂线,垂足为C,交☉O于点D,连结AO、AD,
则AC=AB=×2.
由折叠的性质知OA=DA,
∵OA=OD,
∴OA=OD=AD.
∴△AOD是等边三角形.
∴∠D=∠AOD=60°.
∴AD=OA==2.
易证△ACD≌△BCO,
∴S△ACD=S△BCO.
∴阴影部分的面积=S扇形ADO=×π×22=.
7.A 解析:如图,连结OC,
∵∠AOB=90°,CD⊥OA,CE⊥OB,∴四边形CDOE是矩形.∴CD∥OE.∴∠DEO=∠CDE=36°.由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO,∴∠COB=∠DEO=36°.∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积=
=10π.故选A.
8.B 解析:如图,过点O作OD⊥AB于点D,连结OA、OB、OC,
易知OD=OA,∴∠OAD=30°,∠AOD=60°.∴∠AOB=2∠AOD=120°.同理,∠BOC=120°,∴∠AOC=120°.∴阴影部分的面积=S扇形AOC=×☉O的面积.故选B.
9.4π 解析:根据三角形的外角和是360°以及扇形的面积公式,得阴影部分的面积之和是=4π.
10.16-8π 解析:如图,连结AD,则BD=CD,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC=8.
∴BD=CD=4,即三个圆的半径都是4.
由勾股定理,得AD==4,
∴阴影部分的面积=S△ABC-3S扇形FBD=×8×4-3×=16-8π.
11.D 解析:如图,连结BD,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°.∴BD是☉O的直径,即BD过点O.
在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2,
∴S阴影=S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD-S以BD为直径的圆
=π×+π×+4×5-π×
(AD2+AB2-BD2)+20
=20.故选D.
12.B 解析:如图,过点E作EG⊥DF于点G,
∵∠A=60°,AB∥CD,DE⊥AD,
∴∠GDE=∠DEA=30°.
∵DE=EF,
∴∠EFD=∠EDF=30°.
∴∠DEF=120°.
∵∠GDE=30°,DE=6,
∴GE=3.∴DG==3.
∴DF=6.
∴阴影部分的面积=×6×3=12π-9.
故选B.
13.A 解析:∵扇形AOB的圆心角为90°,半径为2 cm,∴扇形AOB的面积为=π(cm2),半圆面积为×π×12=(cm2).如图,连结AB、OD,易知A、B、D共线.
∵两半圆的直径相等,
∴∠AOD=∠BOD=45°,
∴S△AOD=×2×1=1(cm2).
∴阴影部分的面积=S扇形AOB-S半圆-S△AOD=π--1= cm2.故选A.
14. 解析:∵在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
过点A作AH⊥BC于点H(图略),
∵AB=3,∠B=30°,
∴AH=.∴BH=.
∴BC=3.
∵△ABC的面积=扇形ACF的面积+扇形DAE的面积-S2+S1,
∴S1-S2=△ABC的面积-扇形ACF的面积-扇形DAE的面积=×3.
15.(1)证明:连结OE、OD,如图.
∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠OAD=∠B=45°.
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠OAD=45°.
∴∠AOD=∠DOF=90°.
∵点E是弧DF的中点,
∴∠DOE=∠EOF=∠DOF=45°.
∴∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°.
∴OE⊥BC.
∵OE是☉O的半径,∴BC是☉O的切线.
(2)解:∵OE⊥BC,∠B=45°,
∴△OEB是等腰直角三角形.
设BE=OE=x,则OA=x,OB=x,
∴AB=x+x.
∵AB=BC,
∴x+x=(+x).解得x=2.
∴S阴影=S△OEB-S扇形EOF=×2×2-=2-.
