29.5正多边形与圆 课时作业 (含详解)2024-2025学年数学冀教版九年级下册

29.5正多边形与圆
正多边形的相关概念及计算
1.下列命题:①各边相等的多边形是正多边形;②正多边形是中心对称图形;③正六边形的外接圆半径与边长相等;④正n边形共有n条对称轴.其中真命题的个数是 (　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
2.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,连接BD,则∠CBD的度数是 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合,旋转角的大小不可能是 (　　)
A.60° B.90°
C.180° D.360°
4.如图,面积为18的正方形ABCD内接于☉O,则的长度为 (　　)
A.9π B.
C. D.
5.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD= (　　)
A.60° B.54°
C.48° D.36°
6.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,分别以点A,D为圆心,以AB,DC为半径作扇形ABF、扇形DCE,则图中阴影部分的面积是 (　　)
A.6 B.6 C.12 D.12
7.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在上,Q是的中点,则∠CPQ的度数为 (　　)
A.30° B.36° C.45° D.60°
8.若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角线长为　　　　.
9.如图,☉O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的度数为　　　　°.
正多边形的画法
10.按要求画出☉O的内接正多边形.
内接正三角形　 内接正方形　内接正六边形
1.蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为(　　)
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
2.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,半径为6,则这个正六边形的边心距OM和的长分别为(　　)
A.4, B.3,π C.2, D.3,2π
3.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,以A为圆心,AC的长为半径画弧,得,连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为(　　)
A.2π B.4π C.π D.π
4.如图,圆内接正八边形的边长为1,以正八边形的一边AB作正方形ABCD,将正方形ABCD绕点B顺时针旋转,使BC与正八边形的另一边BC'重合,则正方形ABCD与正方形A'BC'D'重叠部分的面积为 (　　)
A.-1 B.
C. D.
5.如图,AC是☉O的内接正六边形的一边,点B在上,且BC是☉O的内接正十边形的一边.若AB是☉O的内接正n边形的一边,则n=　　　　.
6.如图,3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠地拼在一起,连接正六边形的三个顶点得到△ABC,则tan∠ACB的值是　　　　.
7.如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为S1,△ACE的面积为S2,则=　　　　.
8.(几何直观)如图,正六边形ABCDEF的边长为2,求该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积.
【详解答案】
课堂达标
1.C　解析:各边相等、各角相等的多边形是正多边形,只有各边相等的多边形不一定是正多边形,如菱形,故①是假命题;正三角形和正五边形就不是中心对称图形,故②为假命题;正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形,所以外接圆半径与边长相等,故③为真命题;根据轴对称图形的定义和正多边形的特点,可知正n边形共有n条对称轴,故④为真命题.故选C.
2.A　解析:由多边形的内角和,可知正六边形的内角和为720°.∵正六边形的六个内角都相等,∴∠A=∠ABC=∠C=∠CDE=∠E=∠F=120°.又∵正六边形的边长相等,∴BC=CD.∴∠CBD=∠CDB=×(180°-120°)=30°.故选A.
3.B　解析:∵正六边形的中心角的度数为=60°,∴正六边形绕其中心旋转60°或60°的整数倍时,仍与原图形重合.∴旋转角的大小不可能是90°.故选B.
4.C　解析:如图,连接OA,OB.∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°.∴△OAB是等腰直角三角形.
∵正方形ABCD的面积是18,∴AB==3.∴OA=OB=3.∴的长==.故选C.
5.D　解析:∵∠BAE=180°-=108°,∠COD==72°,∴∠BAE-∠COD=108°-72°=36°.故选D.
6.B　解析:如图,连接AD,BE,CF,过点F作FM⊥AD于点M.∵正六边形ABCDEF的边长为2,∠FAM=60°,
∴MF=AFsin 60°=2×=,∠FAB=∠EDC=120°.∴正六边形ABCDEF的面积为×6=6.∴图中阴影部分的面积是6×2=6.故选B.
7.C　解析:如图,连接OC,OD,OQ,OE.∵六边形ABCDEF是正六边形,Q是的中点,∴∠COD=∠DOE=
=60°.∠DOQ=∠EOQ=∠DOE=30°.∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°.∴∠CPQ=∠COQ=45°.故选C.
8.6　解析:如图,正六边形的中心角为=60°,∴△AOB是等边三角形.∴OB=AB=3.∴BE=2OB=6.
9.144　解析:∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠E=∠A==108°.∵AB,DE与☉O相切,∴∠OBA=
∠ODE=90°.∴∠BOD=(5-2)×180°-90°-108°-108°-90°=144°.
10.解:如图所示:
课后提升
1.A　解析:如图,连接PF,设正六边形的边长为a.∵∠ABC=120°,∴∠ABO=60°.∵∠AOB=90°,∴∠BAO=30°.
∴OB=a,OA=.∴AC=CE=a,OF=OB+BF=.∵点P的坐标为,∴=3,即a=2.
∴OE=OC+CE==3,EM=2.∴点M的坐标为.故选A.
2.D　解析:如图,连接OB,OC.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠BOC==60°.∵OB=OC,∴△BOC为等边三角形,∴BC=OB=6.∵OM⊥BC,∴BM=BC=3.∴OM===3,的长为=2π.故选D.
3.A　解析:∵正六边形ABCDEF的边长为2,∴AB=BC=2.∠ABC=∠BAF==120°.∵∠ABC+∠BAC+
∠BCA=180°,∴∠BAC=(180°-∠ABC)=×(180°-120°)=30°.如图,过点B作BH⊥AC于点H,∴AH=CH,BH=AB
=×2=1.在Rt△ABH中,AH===,∴AC=2.同理可得,∠EAF=30°.∴∠CAE=∠BAF-∠BAC
-∠EAF=120°-30°-30°=60°.∴S扇形CAE==2π.∴图中阴影部分的面积为2π.故选A.
4.A　解析:正八边形的内角∠ABC'==135°,正方形ABCD绕点B顺时针旋转,使BC与正八边形的另一边BC'重合,∴∠ABC=∠A'BC'=90°,∠BA'D'=∠BAD=90°.∴∠ABA'=135°-90°=45°.延长BA'过点D,如图.
∵AB=1,∴A'B=AB=1,BD=.∴A'D=-1.∴正方形ABCD与正方形A'BC'D'重叠部分的面积=S△BDC-S△DA'E=×1×1-×(-1)×(-1)=-1.故选A.
5.15　解析:连接BO(图略),∵AC是☉O的内接正六边形的一边,∴∠AOC=360°÷6=60°.∵BC是☉O的内接正十边形的一边,∴∠BOC=360°÷10=36°,∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=60°-36°=24°,∴n=360°÷24°=15.
6.　解析:如图所示,补充一个与已知正六边形相同的正六边形.
∵正六边形对边互相平行,且内角为120°,∴∠EDF=30°,∠ADB=90°.过点E作EG⊥FD于点G,设正六边形的边长为1.∴FD=2FG=2EF×cos 30°=,CD=3,AD=2FD=2.∴tan∠ACB==.
7.2　解析:如图所示,连接OA,OC,OE.
∵六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,∴AC=AE=CE.∴△ACE是☉O的内接正三角形.∵∠B=120°,AB=BC,∴∠BAC=∠BCA==30°.∵∠CAE=60°,∴∠OAC=∠OAE=30°.∴∠BAC=∠OAC=30°.同理可得,
∠BCA=∠OCA=30°.又∵AC=AC,∴△BAC≌△OAC(ASA).∴S△BAC=S△OAC.由圆和正六边形的性质,可得S△BAC=S△AFE=S△CDE.由圆和正三角形的性质,可得S△OAC=S△OAE=S△OCE,∵S1=S△BAC+S△AFE+S△CDE+S△OAC+S△OAE+
S△OCE=2(S△OAC+S△OAE+S△OCE)=2S2,∴=2.
8.解: 连接OA,OB,过点O作OM⊥AB于点M,如图所示.
∴∠AOB==60°.
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形.
∴OA=AB=2,
AM=AB=1.
∴OM==,
即正六边形外接圆的半径为2,
内切圆的半径为.
∴圆环的面积=π[22-]=π.