30.2二次函数的图像和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质
二次函数y=ax2的图像和性质
1.在平面直角坐标系中,抛物线y=2x2的开口方向是 ( )
A.向上 B.向下 C.向左 D.向右
2.抛物线y=-3x2的顶点坐标为 ( )
A.(0,0) B.(0,-3) C.(-3,0) D.(-3,-3)
3.已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是( )
A.a>0 B.a>1 C.a≠1 D.a<1
4.若二次函数y=ax2的图像经过点P(-2,4),则该图像必经过点( )
A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2)
5.二次函数y=3x2,y=-3x2,y=x2共有的性质是 ( )
A.图像开口向下 B.图像的对称轴是y轴
C.图像都有最高点 D.y随x的增大而增大
6.函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(a,8),则a的值为 ( )
A.±2 B.-2 C.2 D.3
7.如图,四个二次函数的图像分别对应的是①y=ax2,②y=bx2,③y=cx2,④y=dx2.则a,b,c,d的大小关系是 ( )
A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c
8.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图像可能是 ( )
A B C D
9.已知二次函数y=x2,当-1≤x≤2时,求函数y的最小值和最大值.小王的解答过程如下:
解:当x=-1时,y=1;
当x=2时,y=4.
所以函数y的最小值为1,最大值为4.
小王的解答过程正确吗 如果不正确,写出正确的解答过程.
1.苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s=gt2(g=9.8),则s关于t的函数图像大致是 ( )
A B C D
2.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图像大致是 ( )
A B C D
3.如图,正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限的图像上,若点B的横坐标与纵坐标之和等于6,则对角线AC的长为( )
A.2 B.2 C.2 D.
4.已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m-n)(n>0)在同一个函数的图像上,则这个函数可能是 ( )
A.y=x B.y=-
C.y=x2 D.y=-x2
5.若点A(-2,y1),B(-1,y2),C(8,y3)都在二次函数y=ax2(a<0)的图像上,则y1,y2,y3从小到大的关系是 .(用“<”连接)
6.如图,在正方形ABCD中,点A、点B在抛物线y=2x2上,点C、点D在x轴上.
(1)求点A的坐标.
(2)连接BD交抛物线于点P,求点P的坐标.
7.(运算能力)如图,点A,B在y=x2的图像上.已知A,B的横坐标分别为-2,4,直线AB与y轴交于点C,连接OA,OB.
(1)求直线AB的函数表达式.
(2)求△AOB的面积.
(3)若函数y=x2的图像上存在点P,使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半,则这样的点P共有 个.
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:∵抛物线y=2x2,2>0,∴抛物线y=2x2的开口向上.故选A.
2.A 解析:∵y=-3x2,∴抛物线的顶点坐标为(0,0).故选A.
3.B 解析:∵二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x的增大而增大,∴a-1>0.∴a>1.故选B.
4.A 解析:∵二次函数y=ax2图像的对称轴为y轴,∴若图像经过点P(-2,4),则该图像必经过点(2,4).故选A.
5.B 解析:抛物线y=3x2的开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为原点;抛物线y=-3x2的开口向下,对称轴为y轴,有最高点,顶点为原点;抛物线y=x2的开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为原点.故选B.
6.C 解析:把点(a,8)代入y=ax2,得a3=8,解得a=2.故选C.
7.A 解析:函数y=ax2(a≠0)的图像的开口越大,|a|越小.故选A.
8.D 解析:由一次函数y=ax+a可知,一次函数的图像与x轴交于点(-1,0),排除A,B;当a>0时,二次函数图像开口向上,一次函数图像经过第一、二、三象限;当a<0时,二次函数图像开口向下,一次函数图像经过第二、三、四象限,排除C.故选D.
9.解:小王的解答过程是错误的,正确的解答过程如下:
∵二次函数y=x2,
∴该函数图像开口向上,对称轴是y轴.
∵-1≤x≤2,
∴当x=0时,y取得最小值,此时y=0;
当x=2时,y取得最大值,此时y=4.
由上可得,当-1≤x≤2时,函数y的最小值是0,最大值是4.
课后提升
1.B 解析:∵s=gt2是二次函数的表达式,∴函数的图像是一条抛物线.又∵g>0,∴图像开口向上.∵自变量t为非负数,∴图像是抛物线在第一象限的部分.故选B.
2.D 解析:∵ab>0,∴a,b同号.当a>0,b>0时,抛物线开口向上,顶点在原点,一次函数图像过第一、二、三象限,没有图像符合要求;当a<0,b<0时,抛物线开口向下,顶点在原点,一次函数图像过第二、三、四象限,D选项符合要求.故选D.
3.C 解析:设点B的横坐标为a.∵点B的横坐标与纵坐标之和等于6,∴点B的纵坐标为6-a.∵点B在抛物线y=x2的第一象限的图像上,∴6-a=a2.解得a1=-3(不合题意,舍去),a2=2,∴6-a=4.∴点B的坐标为(2,4).连接OB,如图,则OB==2.∵四边形OABC是正方形,∴AC=OB=2.故选C.
4.D 解析:∵A(-1,m),B(1,m),∴点A与点B关于y轴对称.由于y=x,y=-的图像都关于原点对称,因此选项A,B不符合题意;∵n>0,∴m-n5.y36.解:(1)由题意可设A(a,2a),则B(-a,2a).
∵点A在抛物线y=2x2上,
∴2a=2a2.
∴a=1或a=0(舍去).∴A(1,2).
(2)设直线BD的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
∵B(-1,2),D(1,0),
∴解得
∴直线BD的函数表达式为y=-x+1.
由解得(舍去)或
∴点P的坐标为.
7.解:(1)∵点A,B在y=x2的图像上,A,B的横坐标分别为-2,4,
∴A(-2,1),B(4,4).
设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
∴解得
∴直线AB的函数表达式为y=x+2.
(2)在y=x+2中,令x=0,则y=2,
∴点C的坐标为(0,2).∴OC=2.
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6.
(3)4第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数y=ax 2+bx+c的图像和性质
1.二次函数y=x2+bx+c的图像上有(3,4)和(-5,4)两点,则此抛物线的对称轴是直线 ( )
A.x=-1 B.x=1
C.x=2 D.x=3
2.当y=x2-6x-3 的值最小时,x的值是 ( )
A.0 B.-3 C.3 D.-9
3.已知二次函数 y=-x2+2x+4,则下列说法正确的是 ( )
A.该函数的图像开口向上
B.该函数图像与y轴的交点坐标为(0,5)
C.当x=1时,y有最大值5
D.当x>1时,y随x的增大而增大
4.抛物线y=-x2+x+1经平移后,不可能得到的抛物线是 ( )
A.y=-x2+x
B.y=-x2-4
C.y=-x2+2 024x-2 025
D.y=-x2+x+1
5.若二次函数y=x2-2x+m的图像经过A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)三点,则关于y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y2C.y26.如图所示是二次函数y=ax2-x+a2-1的图像,则 ( )
A.a=-1 B.a=
C.a=1 D.a=1或a=-1
y=ax2+bx+c的表达式
7.若二次函数y=ax2+bx-3的图像经过点(-1,0),(3,0),则其表达式为y= .
8.把抛物线y=x2+2x-1化成y=a(x-h)2+k的形式是 ,该图像的对称轴是 ,顶点坐标是 .
9.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A(1,-2)和B(0,-5).
(1)求该二次函数的表达式及图像的顶点坐标.
(2)当y≤-2时,请根据图像直接写出x的取值范围.
1.若抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,3),则2c-4b-7的值是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.20
2.将抛物线y=x2-4x+3绕原点O顺时针旋转180°,则旋转后的函数表达式为 ( )
A.y=x2+4x-3 B.y=-x2+4x+3
C.y=-x2-4x-3 D.y=-x2+4x-3
3.如图,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图像与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图像相交于A,B两点,已知点A的横坐标为-4,AC=8BC,当ax2+bx+cA.-4
C.x<4或x>1 D.-44.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-2,3),抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间,其部分图像如图所示,有下列说法:①4a-b=0;②a-b+c=0;③若(-4,y1),(1,y2)是抛物线上的两点,则y2>y1;④b2+3b=3ac.其中正确的是 ( )
A.① B.①②
C.①③ D.①②③④
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角边BC在x轴上,其内切圆的圆心I的坐标为(0,1),抛物线y=ax2+2ax+1的顶点为A,则a的值为 ( )
A.-2 B.- C.- D.-3
6.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于点A和B(4,6),与x轴交于点E,P是线段AB上异于A,B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)当C为抛物线的顶点时,求△BCE的面积.
7.(运算能力)在平面直角坐标系中,已知直线y=x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在线段AB上(点C不与点A,B重合),以点C为顶点的抛物线M:y=ax2+ bx +c 经过点B.
(1)求点A,B的坐标.
(2)求b,c的值.
(3)平移抛物线M至N,点C,B分别平移至点P,D,连接CD,且CD∥x轴,如果点P在x轴上,且新抛物线过点B,求抛物线N的表达式.
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:∵二次函数y=x2+bx+c的图像上有(3,4)和(-5,4)两点,∴这两点关于对称轴对称.∴对称轴为直线x==-1.故选A.
2.C 解析:当y=x2-6x-3 的值最小时,x=-.把a=1,b=-6代入x=-,得x=3.故选C.
3.C 解析:∵-1<0,∴函数图像开口向下,故A选项错误;令x=0,代入y=-x2+2x+4,得y=4,故B选项错误;当x=
-=1时,y有最大值5,故C选项正确;∵函数图像开口向下,∴当x>1时,y随x的增大而减小,故D选项错误.故选C.
4.D 解析:∵将抛物线y=-x2+x+1经过平移后开口方向不变,开口大小也不变,∴抛物线y=-x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y=-x2+x+1.故选D.
5.C 解析:∵y=x2-2x+m,∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-=1.∴抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大.∵=>,∴y26.C 解析:由题中图像,得此二次函数过原点(0,0),把点(0,0)代入函数表达式,得a2-1=0,解得a=±1.又因为此二次函数的图像开口向上,所以a>0.所以a=1.故选C.
7.x2-2x-3 解析:把(-1,0),(3,0)代入y=ax2+bx-3,得解得∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3.
8.y=(x+2)2-3 直线x=-2
(-2,-3) 解析:y=x2+2x-1=(x+2)2-3,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,-3).
9.解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A(1,-2)和B(0,-5),
∴解得
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5=(x+1)2-6.
∴图像的顶点坐标为(-1,-6).
(2)当y≤-2时,-3≤x≤1.
课后提升
1.B 解析:把点(-2,3)代入y=-x2+bx+c,得c-2b=7,∴2c-4b-7=2(c-2b)-7=2×7-7=7.故选B.
2.C 解析:设P(x,y)为旋转之后所得抛物线上的一点,P绕原点O顺时针旋转180°得到点P'(-x,-y).由题意,可知P'(-x,-y)在抛物线y=x2-4x+3上,即-y=x2+4x+3,化简,得y=-x2-4x-3.故选C.
3.B 解析:如图,过点A作AM⊥y轴,过点B作BN⊥y轴,则∠AMC=∠BNC=90°.
∵∠ACM=∠BCN,∴△AMC∽△BNC.∴==8.∵点A的横坐标为-4,即AM=4,∴BN=.∴ax2+bx+c.故选B.
4.A 解析:∵抛物线的对称轴为直线x=-=-2,∴4a-b=0,所以①正确.∵与x轴的一个交点在和之间,∴由抛物线的对称性,知另一个交点在(-1,0)和(0,0)之间.∴当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,所以②错误.由抛物线的对称性,知(-4,y1)与(0,y1)关于对称轴对称,∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=-=-2,∴当x>-2时,y随x的增大而减小.∵-2<0<1,∴y1>y2.所以③错误.∵抛物线的顶点坐标为(-2,3),∴=3.∴b2+12a=4ac.∵4a-b=0,
∴b=4a.∴b2+3b=4ac.所以④错误.故选A.
5.B 解析:∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,其内切圆的圆心I的坐标为(0,1),∴CE=OC=OI=1,OB=BD,
AE=AD.∴AB=AD+BD=AE+OB.设AE=x,OB=y,∴AC=x+1,BC=y+1.∵∠ABC=30°,∴AB=2AC,即AB=2(x+1),2(x+1)=x+y,
化简得y=x+2.①
由勾股定理,得(x+1)2+=,
化简得3x2+6x-y2-2y+2=0.②
把①代入②,解得x=(负值不符合题意,已舍去),∴AC=x+1=+1.∴A(-1,+1).∵y=ax2+2ax+1=a(x+1)2+1-a,
∴抛物线y=ax2+2ax+1的顶点为.∵抛物线y=ax2+2ax+1的顶点为A,∴+1=1-a.∴a=-.故选B.
6.解:(1)∵点A和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,
∴解得
∴抛物线的表达式为y=2x2-8x+6.
(2)∵二次函数的表达式为y=2x2-8x+6,
∴顶点C的坐标为(2,-2).
∵PC⊥x轴,点P在直线y=x+2上,
∴点P的坐标为(2,4).∴PC=6.
∵E为直线y=x+2与x轴的交点,
∴点E的坐标为(-2,0).
∵S△BCE=S△PCE+S△PCB=PC(xC-xE)+PC(xB-xC)=PC(xB-xE),
∴S△BCE=×6×6=18.
7.解:(1)在y=x+6中,令x=0,得y=6,∴B(0,6).
令y=0,则x+6=0,解得x=-8,
∴A( -8,0).
(2)设C,抛物线的表达式为y=a(x-m)2+ m+6.
∵抛物线M经过点B,
∴将B(0,6)代入,得am2+m+6=6.解得m=0或m=-,易得m≠0,∴m=-.
将m=-代入y=a(x-m)2+ m+6,整理得y=ax2+x+6,
∴b=,c=6.
(3)∵CD∥x轴,点P在x轴上,C,
∴设 P(p,0),点D的纵坐标为m+6.
∵点C,B分别平移至点P,D,
∴点 B、点C向下平移的距离相等.
∴m+6=6-.解得m=-4.
由(2),知m=-,解得a=.
∴抛物线N的表达式为
y=(x-p)2.
将 B(0,6)代入N的表达式,解得p=±4.
∴抛物线N的表达式为
y=(x-4)2或y=(x+4)2.第2课时 二次函数y=a(x-h)2 与y=a(x-h)2+k的图像和性质
二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
1.下列关于二次函数y=(x+3)2的说法正确的是 ( )
A.图像是一条开口向下的抛物线
B.图像与x轴没有交点
C.当x<-3时,y随x的增大而增大
D.图像的顶点坐标是(-3,0)
2.将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度,所得抛物线的表达式是 ( )
A.y=2x2+3 B.y=2x2-3
C.y=2(x+3)2 D.y=2(x-3)2
3.已知抛物线y=2(x-1)2上有两点(2,y1),(,y2),则y1 y2.(填“<”或“>”)
4.已知抛物线y=-5(x+2)2,当x>-2时,y随x的增大而 .
5.已知二次函数y=-(x-2)2,不画图像,回答下列问题.
(1)确定抛物线y=-(x-2)2的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)当x取何值时,y有最大(小)值 最大(小)值是多少
(3)当x取何值时,y随x的增大而增大
(4)抛物线y=-(x-2)2是由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到的
二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
6.已知二次函数y=-3(x-2)2-3,则下列说法正确的是 ( )
A.对称轴为直线x=-2
B.顶点坐标为(2,3)
C.函数的最大值是-3
D.函数的最小值是-3
7.若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为 ( )
A.m>1 B.m>0
C.m>-1 D.-18.已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=(x+1)2+2上,则下列结论正确的是 ( )
A.2>y1>y2 B.2>y2>y1
C.y1>y2>2 D.y2>y1>2
9.把二次函数y=-(x+1)2-3的图像沿着x轴翻折后,得到的二次函数有 ( )
A.最大值y=3 B.最大值y=-3
C.最小值y=3 D.最小值y=-3
10.已知抛物线y=a(x-1)2+h经过点(0,-3)和(3,0).
(1)求a,h的值.
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到新的抛物线,直接写出新的抛物线相应的函数表达式.
1.二次函数y=+n的图像如图所示,则一次函数y=mx+n的图像经过 ( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
2.若二次函数y=(x-m)2-1,当x<3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是( )
A.m=3 B.m>3 C.m≥3 D.m≤3
3.如图,已知抛物线y1=(x+1)2-3向右平移2个单位长度得到抛物线y2的图像,则阴影部分的面积为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图像上.若y1A.m>2 B.m> C.m<1 D.5.已知二次函数y=-(x-h)2(h是常数),且自变量取值范围是2≤x≤5.
(1)当h=3时,函数的最大值是 .
(2)若函数的最大值为-1,则h的值是 .
6.如图,在平行四边形ABCD中,边BC在x轴上,且BC=6,平行四边形ABCD的面积为12,C是抛物线顶点,A,D在抛物线上,求抛物线的表达式.
7.某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1 m的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3 m,此时距喷水管的水平距离为 m,求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的表达式.(不要求写出自变量的取值范围)
8.(推理能力)如图,顶点为M的抛物线y=a(x+1)2-4 分别与x轴相交于点A, B(点A在点B的右侧),与y轴相交于点C(0, -3).
(1)求抛物线的表达式.
(2)连接MC,BM,BC,判断△BCM是否为直角三角形,并说明理由.
(3)抛物线上是否存在点N(不与点C重合),使得以点 A,B,N为顶点的三角形的面积与△ABC 的面积相等 若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.D 解析:A.∵1>0,∴图像的开口向上,故此选项不符合题意;B.∵y=(x+3)2=x2+6x+9,∴b2-4ac=36-36=0,即图像与x轴有1个交点,故此选项不符合题意;C.∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-3,∴当x<-3时,y随x的增大而减小,故此选项不符合题意;D.∵y=(x+3)2,∴图像的顶点坐标是(-3,0),故此选项符合题意.故选D.
2.C 解析:将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度所得的抛物线的表达式为y=2(x+3)2.故选C.
3.< 解析:根据抛物线y=2(x-1)2,可得其开口向上,对称轴为直线x=1,当x>1时,y随x值的增大而增大,∵2<,∴y14.减小 解析:抛物线y=-5(x+2)2,开口向下,对称轴为直线x=-2,∴当x>-2时,y随着x的增大而减小.
5.解:(1)∵抛物线的表达式为
y=-(x-2)2,且-<0,
∴抛物线y=-(x-2)2开口向下,对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0).
(2)∵抛物线y=-(x-2)2开口向下,
∴二次函数有最大值,且当x=2时,y有最大值,最大值是0.
(3)∵抛物线y=-(x-2)2开口向下,对称轴是直线x=2,
∴当x<2时,y随x的增大而增大.
(4)由平移规律可知,抛物线y=-(x-2)2是由抛物线y=-x2向右平移2个单位长度得到的.
6.C 解析:二次函数y=-3(x-2)2-3图像的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-3).∵-3<0,∴二次函数图像开口向下,函数有最大值,为y=-3.∴A,B,D选项错误,C选项正确.故选C.
7.B 解析:抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点坐标为(m,m+1),根据题意,得解得m>0.故选B.
8.D 解析:∵y=(x+1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点为抛物线最低点,坐标为(-1,2).
∵2-(-1)>1-(-1),∴y2>y1>2.故选D.
9.C 解析:根据题意,将二次函数图像沿x轴翻折,开口方向由向下改为向上,顶点的横坐标不变,纵坐标变为相反数,即得到新二次函数为y=(x+1)2+3,有最小值y=3.故选C.
10.解:(1)将点(0,-3)和(3,0)分别代入y=a(x-1)2+h,得
解得
所以a=1,h=-4.
(2)新抛物线的表达式为y=(x-2)2-2.
课后提升
1.D 解析:∵y=(x+m)2+n,∴抛物线的顶点坐标为(-m,n).由题中二次函数y=(x+m)2+n的图像,可得-m>0,n<0.
∴m<0.∴一次函数y=mx+n的图像经过第二、三、四象限.故选D.
2.C 解析:∵1>0,∴在对称轴的左侧,y随x的增大而减小.∵y=(x-m)2-1的对称轴是直线x=m,当x<3时,y随x的增大而减小,∴m≥3.故选C.
3.D 解析:如图,设点M为抛物线y1的顶点,点N为抛物线y2的顶点,连接MA,NB,则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等.∵AB∥MN,AB=MN=2,∴四边形AMNB是平行四边形.∵抛物线y1=(x+1)2-3,∴该抛物线的顶点M的坐标为(-1,-3),∴点M到x轴的距离为3.∴四边形AMNB的面积是2×3=6.∴阴影部分的面积是6.故选D.
4.B 解析:∵点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图像上,∴y1=(m-1-1)2+n=(m-2)2+n,y2=(m-1)2+n.
∵y1.故选B.
5.(1)0 (2)6或1 解析:(1)当h=3时,二次函数为y=-,∴当x=3时,函数有最大值0.(2)∵二次函数y=-(x-h)2(h是常数),当自变量x满足2≤x≤5时,其对应函数y的最大值为-1,∴若56.解:∵平行四边形ABCD的面积为12,
∴OA·BC=12,∴OA==2.
∴A(0,2).
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC=6,AD∥BC.
∴A,D为抛物线上的对称点.
∴抛物线的对称轴为直线x=3.
∴顶点C的坐标为(3,0).
设抛物线的表达式为y=a(x-3)2,把A(0,2)代入,
得a·(-3)2=2,解得a=,
∴抛物线的表达式为y=(x-3)2.
7.解:∵点是抛物线的顶点,
∴可设抛物线的表达式为y=a+3.
∵抛物线经过点(0,1),
∴1=·a+3,解得a=-8.
∴抛物线水柱的表达式为
y=-8+3.
8.解:(1)抛物线y=a(x+1)2-4与y轴相交于点C(0,-3),∴-3=a-4.解得a=1.∴抛物线的表达式为y=(x+1)2-4=x2+2x-3.
(2)△BCM是直角三角形.
理由:由(1),知抛物线的顶点M的坐标为(-1,-4).令y=0,得 x2+2x-3=0,解得x1=1,x2=-3,
∴A(1,0), B(-3,0).
又∵C(0,-3),M(-1,-4),
∴BC2=18,BM2=20,MC2=2.
∵BM2=BC2+MC2,
∴△BCM为直角三角形.
(3)存在.
由点C的坐标,知OC=3.∵以点A, B,N为顶点的三角形的面积与△ABC的面积相等,
∴|yN|=OC=3,即x2+2x-3=±3,解得 x=0(舍去)或x=-2或x=-1±.
∴点N的坐标为(-2,-3)或(-1,3)或(--1,3).
