30.3由不共线三点的坐标确定二次函数 课时作业(含详解) 2024-2025学年数学冀教版九年级下册

30.3由不共线三点的坐标确定二次函数*
求y=ax2+bx+c的表达式
1.关于x的二次函数y=(a-3)x2+bx+a2-9的图像过原点,则a的值为 (　　)
A.-3 B.3 C.±3 D.0
2.已知二次函数的图像经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1),则这个二次函数的表达式为 (　　)
A.y=-6x2+3x+4
B.y=-2x2+3x-4
C.y=x2+2x-4
D.y=2x2+3x-4
3.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x 与纵坐标y的对应值如下表.如果点(-2,m)在此抛物线上,那么m=　　　　.
x … -1 0 2 3 4 …
y … 5 2 2 5 10 …
4.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点(1,0),.求该抛物线的表达式.
求y=a(x-h)2+k的表达式
5.一个二次函数图像的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为 (　　)
A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4
C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4
6.已知二次函数在x=1时,有最大值8,其图像的形状、开口方向均与抛物线y=-2x2的相同,则这个二次函数的表达式是 (　　)
A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4
C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6
求y=a(x-x1)(x-x2)的表达式
7.已知二次函数的图像如图,则该函数的表达式是 (　　)
A.y=x2-x+2 B.y=x2+x+2
C.y=-x2-x+2 D.y=-x2+x+2
8.一个二次函数,当自变量x=0时,函数值y=-1,且过点(-2,0)和点(,0),则这个二次函数的表达式为　　　　　　.
9.已知抛物线y=ax2+bx+c经过(1,0),(-3,0),(0,-3)三点.
(1)求这条抛物线的表达式.
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1.已知二次函数的图像经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的表达式是 (　　)
A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2
C.y=x2-2x+3 D.y=x2-3x+2
2.抛物线与x轴交于点(-2,0)和(6,0),且与y轴交于点(0,6),则该抛物线的表达式为 (　　)
A.y=x2-4x-12
B.y=x2+4x-12
C.y=-x2+2x+6
D.y=-x2-2x+6
3.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3),且该抛物线的对称轴经过点A,则该抛物线的表达式为(　　)
A.y=-x2-2x　 B.y=-x2+2x C.y=x2-2x D.y=x2+2x
4.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,1),B(2,3),C三点,其中点C在直线x=上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于,则该抛物线的表达式为　　　　　.
5.如图,已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C的坐标为(8,0),连接AB,AC.
(1)求抛物线的表达式.
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
6.如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图像经过点A(1,4),C(0,3).
(1)求该二次函数的表达式.
(2)结合函数图像直接写出:
①当-1②当y≤3时,x的取值范围.
7.(几何直观)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)抛物线上是否存在一点P,使得S△PBC=S△ABC 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.A　解析:把(0,0)代入y=(a-3)x2+bx+a2-9,得a2-9=0,解得a1=3,a2=-3.而a-3≠0,所以a的值为-3.故选A.
2.D　解析:设所求函数的表达式为y=ax2+bx+c,把(-1,-5),(0,-4),(1,1)分别代入,得解得故所求的函数的表达式为y=2x2+3x-4.故选D.
3.10　解析:由题意,可得
解得
∴抛物线的表达式为y=x2-2x+2.
∵点(-2,m)在此抛物线上,
∴m=(-2)2-2×(-2)+2=10.
4.解:把(1,0),代入y=-x2+bx+c,
得解得
∴该抛物线的表达式为
y=-x2-x+.
5.C　解析:设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+4.将(0,-4)代入上式,得-4=a·(0-2)2+4.解得a=-2.故二次函数的表达式为y=-2(x-2)2+4.故选C.
6.D　解析:∵二次函数在x=1时,有最大值8,∴顶点坐标为(1,8).∴可设该二次函数的表达式为y=a(x-1)2+8.又∵其图像的形状、开口方向均与抛物线y=-2x2相同,∴a=-2.∴该二次函数的表达式为y=-2(x-1)2+8=-2x2+4x+6.故选D.
7.D　解析:由题中图像可知,该二次函数的图像与x轴的交点坐标为(-1,0),(2,0),可设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-2).∵图像过点(0,2),∴将(0,2)代入,得2=-2a,解得a=-1.∴该函数的表达式为y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2.故选D.
8.y=x2+x-1　解析:∵二次函数的图像过点(-2,0)和点(,0),∴设二次函数的表达式为y=a(x+2) (x-).把x=0,y=-1代入,得-1=-a.解得a=1.∴二次函数的表达式为y=(x+2) (x-)=x2+x-1.
9.解:(1)设这条抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1),
把(0,-3)代入,得-3=-3a.解得a=1.
∴抛物线的表达式为y=(x+3)(x-1).
(2)∵y=(x+3)(x-1)=(x+1)2-4,
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-4).
课后提升
1.D　解析:设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把(1,0),(2,0)和(0,2)代入,得解得所以该函数的表达式是y=x2-3x+2.故选D.
2.C　解析:设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-6),把(0,6)代入,得a×2×(-6)=6,解得a=-.所以抛物线的表达式为y=
-(x+2)(x-6)=-x2+2x+6.故选C.
3.D　解析:∵抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3),且抛物线的对称轴经过点A,∴抛物线的顶点坐标是(-3,-3).
∴解得∴该抛物线的表达式为y=x2+2x.故选D.
4.y=x2+x+1或y=-x2+2x+1　解析:∵点C在直线x=上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于,∴抛物线的对称轴为直线x=-1或x=2.当对称轴为直线x=-1时,设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+k,把点A(0,1),B(2,3)分别代入,得
解得此时抛物线的表达式为y=(x+1)2+=x2+x+1;当对称轴为直线x=2时,设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+k,把点A(0,1),B(2,3)分别代入,得 解得此时抛物线的表达式为y=-(x-2)2+3=-x2+2x+1.
5.解:(1)∵抛物线y=ax2+x+c与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C的坐标为(8,0),
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+4.
(2)△ABC为直角三角形.理由如下:
当y=0时,-x2+x+4=0.
解得x1=8,x2=-2.
∴点B的坐标为(-2,0).
由已知,可得在Rt△ABO中,AB2=BO2+AO2=22+42=20.
在Rt△ACO中,AC2=CO2+AO2=82+42=80.
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=102=BC2.
∴△ABC是直角三角形.
6.解:(1)将点A(1,4),C(0,3)代入y=ax2+2x+c,
得解得
∴该二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)①当-1②当y≤3时,x≤0或x≥2.
7.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0)和点B(1,0),
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)存在.点P的坐标为(-2,3)或(3,-12).
解法提示:∵A(-3,0),B(1,0),
∴AB=4,
抛物线y=-x2-2x+3与y轴交于点C,令x=0,则y=3,
∴C点的坐标为(0,3),OC=3,
∴S△ABC=AB·OC=×4×3=6,
∴S△PBC=S△ABC=3.
连接PC,PB,BC,过点P作PE∥x轴交BC于点E,如图.
设直线BC的表达式为y=kx+d,将B、C的坐标代入得
解得
∴直线BC的表达式为y=-3x+3.
设点P的横坐标为t,则P(t,-t2-2t+3),
由-3x+3=-t2-2t+3,解得E的横坐标为x=,
∴E,
∴PE==,
∴S△PBC=×3=3,
解得t=-2或t=3,
∴点P的坐标为(-2,3)或(3,-12).