第3课时 根据二次函数的函数值解决实际问题
抛球问题
1.(2024天津中考)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系是h=30 t-5 t2(0≤t≤6).有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6 s;
②小球运动中的高度可以是30 m;
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中,正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.以初速度v(单位:m/s)从地面竖直向上抛出小球,从抛出到落地的过程中,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系是h=vt-4.9 t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出,初速度为9.8 m/s,经过a s后,将第二个相同材质的小球从地面以初速度4.9 m/s竖直上抛.若两球能在空中相遇,则a的取值范围为( )
A.
C.3.如图,是一名排球运动员发球时,排球行进过程中形成的抛物线,按照图中所示的平面直角坐标系,排球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-(x-6)2+2.8,球场的边界距O点的水平距离为18 m,则此排球是否会出界. .(填“是”或“否”)
4.某中学开展排球训练.嘉嘉站在原点O处发球,发现排球从出手到落地的过程中,排球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化.嘉嘉利用先进的鹰眼系统记录了排球在空中运动时的水平距离x(单位:m)与竖直高度y(单位:m)的数据如表:
水平距离x/m 0 2 4 5 6 8
竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系,根据图中点的分布情况,嘉嘉发现其图像是二次函数的一部分(MN为球网).
(1)在嘉嘉发球过程中,出手时排球的竖直高度是 m,排球在空中的最大高度是 m.
(2)求此抛物线的表达式.
(3)若球场的边界为点K,通过计算判断发出后的排球是否会出界.
1.一次足球训练中,小明从球门正前方将球射向球门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高是2.44 m,若足球能射入球门,则小明与球门的距离可能是 ( )
A.10 m B.8 m C.6 m D.5 m
2.(2024鞍山二模)如图,小明站在原点处,从离地面高度为1 m的点A处抛出弹力球,弹力球在B处着地后弹起,落至点C处,弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线,弹力球第一次着地前抛物线的表达式为y=a(x-2)2+2,弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半.如果在地上摆放一个底面半径为0.5 m,高为0.5 m的圆柱形筐,筐的最左端距离原点为n m,若要弹力球从B点弹起后落入筐内,则n的值可以是 ( )
A.7 B.9 C.10 D.8
3.小明和小强做弹球游戏,如图1,小明向斜坡抛一个乒乓球,乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线,乒乓球落地后又弹起,第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同.小强在地面立一块高度为0.4 m的木板,以斜坡底端O为坐标原点,地面水平线为x轴,取单位长度为1 m,建立如图2所示的平面直角坐标系,乒乓球的大小忽略不计.经测量发现,抛球点A的坐标为,第一次弹起的运行路线最高点坐标为(-0.5,3.61),第二次弹起的最大高度为1.21 m.
图1 图2
(1)乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离是 m.
(2)为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上,小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是
m.
4.若在一场足球比赛中,球员甲在距离对方球门A处34 m远的O点起脚吊射,足球的飞行轨迹可近似看成抛物线的一部分.以球员甲所在位置O点为坐标原点,球员甲与对方球门所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.当足球距球员甲水平距离18 m时达到最大高度9 m.
(1)求足球飞行轨迹的抛物线的表达式.
(2)如果守门员站在球门前4 m处,且守门员起跳后拦截高度最高能达到2.75 m,守门员能否在空中截住这次射门 若能,请说明理由.若不能,则守门员需要怎样移动位置才能截住这次射门
5.(应用意识)已知某酒店有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,酒店需对每个房间每天支出20元的各种费用.
(1)当房间定价为多少元时,酒店利润最大
(2)若利润不低于9 200元,求房间定价的范围.
【详解答案】
课堂达标
1.C 解析:令h=0,则30t-5t2=0,解得t1=0,t2=6.∴小球从抛出到落地需要6 s.故①正确.∵h=30t-5t2=-5(t-3)2+45,∴最大高度为45 m.∴小球运动中的高度可以是30 m.故②正确.当t=2时,h=30×2-5×22=40;当t=5时,h=30×5-5×52=25.∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度.故③错误.故选C.
2.B 解析:当v=9.8时,h=9.8t-4.9t2=-4.9t,画出函数图像如图所示.当v=4.9时,h=4.9t-4.9t2=-4.9t(t-1),画出函数图像如图所示.第二个小球的运动高度h2=4.9t-4.9t2,令h2=0,解得t=0或t=1,两球在空中相遇,即把抛物线h=4.9t-4.9t2向右平移a个单位长度,平移后的抛物线与抛物线h=9.8t-4.9t2在第一象限有交点,当a=1或a=2时,两图像交于点(2,0).∴13.是 解析:将y=0代入y=-(x-6)2+2.8,得0=-+2.8,整理,得=168,解得x=6+2或x=6-2(舍去).∵6+2>18,∴此排球会出界.
4.解:(1)2 3.6
(2)设抛物线的表达式为
y=a(x-h)2+k,
∵通过题表知抛物线的顶点坐标为(4,3.6),
∴函数的表达式为y=a(x-4)2+3.6.
把(0,2)代入y=a(x-4)2+3.6中,得a=-0.1.
∴y=-0.1(x-4)2+3.6.
(3)∵y=-0.1(x-4)2+3.6,
∴令y=0,得0=-0.1(x-4)2+3.6.
解得x1=-2,x2=10.
∵K(18,0),10<18,
∴发出后的排球不会出界.
课后提升
1.A 解析:建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的表达式为y=a(x-6)2+3,将(0,0)代入,得0=a(0-6)2+3,解得a=-,则抛物线的表达式为y=-(x-6)2+3.将y=2.44代入,得2.44=-(x-6)2+3,解得x1≈8.6,x2≈3.4(舍去).要使足球进门,则射门距离应大于8.6 m且小于12 m,故A项符合题意.故选A.
2.D 解析:由题意,可知弹力球第一次着地前抛物线的表达式为y=a(x-2)2+2,且过点A(0,1),代入,得1=a(0-2)2+2.∴a=-.∴表达式为y=-(x-2)2+2.当x=2时,y的最大值为2,令y=0,则-(x-2)2+2=0,解得x1=2+2,x2=2-2.∴B(2+2,0).∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半,∴其最大高度为2×=1(m).∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线,设弹力球着地后弹起的抛物线表达式为y=-+1,将点B(2+2,0)代入,得0=-(2+2-h)2+1,解得h=2+4或h=2(舍去).∴该抛物线的表达式为y=-(x-2-4)2+1.∴对称轴为直线x=2+4.∵点B的坐标为,∴点C的坐标为.∵圆柱形筐的高为0.5 m,当y=0.5时,则-(x-2-4)2+1=0.5,解得x=4+3或x=4+(舍去).∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时,n=4+3.∵筐的底面半径为0.5 m,直径为1 m,∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时,n=4+3-1=3+3.∴3+33.(1)1.4 (2)3.4 解析:(1)乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为(-0.5,3.61),过点A(-1,3.36).∴设第一次运行路线所在的抛物线表达式为y1=a+3.61.代入A,得3.36=a+3.61,解得a=-1.
∴y1=-+3.61.令y1=0,则-+3.61=0,解得x1=1.4,x2=-2.4(舍).∴OB=1.4 m.∴乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离为1.4 m.(2)∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同,且最大高度为1.21 m,∴设y2=-(x-h)2+1.21. 代入B(1.4,0),得0=-(1.4-h)2+1.21.解得h1=2.5,h2=0.3(舍).∴y2=-(x-2.5)2+1.21.当y2=0时,-(x-2.5)2+1.21=0,解得x1=3.6,x2=1.4(舍);当y2=0.4时,-(x-2.5)2+1.21=0.4,解得x1=3.4,x2=1.6(舍).∴为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上,小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是3.4 m.
4.解:(1)依题意,得抛物线的顶点坐标为(18,9).
设抛物线的表达式为y=a+9(a≠0),
将(0,0)代入,得0=a(0-18)2+9,
解得a=-.
∴抛物线的表达式为y=-(x-18)2+9.
(2)不能.
∵球门距离球员甲34 m,守门员在球门前4 m处,
∴守门员距离球员甲34-4=30(m).
将x=30代入y=-+9中,
得y=-+9=5.
∵5>2.75,
∴守门员不能在空中截住这次射门.
将y=2.75代入y=-+9中,
得-+9=2.75,
解得x1=33,x2=3(不合题意,舍去).
∵33-30=3(m),
∴守门员至少向球门方向移动3 m才能截住这次射门.
5.解:(1)设每个房间每天的定价增加10x元,酒店利润为y元.
根据题意可得,y=(180+10x)(50-x)-20×(50-x).
∴y=-10x2+340x+8 000.
∴y=-10+10 890≤10 890.
故当x=17,房间定价为180+10×17=350(元)时,酒店的利润最大.
∴当房间定价为350元时,酒店利润最大.
(2)当-10+10 890=9 200时,解方程得x1=30,x2=4.
∵y=-10+10 890的图像开口向下,且对称轴为直线x=17,
∴当4≤x≤30时,y≥9 200.
∵当x=4时,房间定价为180+4×10=220(元),当x=30时,房间定价为180+30×10=480(元),
∴若酒店利润不低于9 200元,则房间定价大于或等于220元且小于或等于480元.30.4二次函数的应用
第1课时 建立二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决实际问题
1.有一拱桥洞呈抛物线形,这个桥洞的最大高度是16 m,跨度为40 m,现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中,则抛物线的表达式为 ( )
A.y=x2+x B.y=-x2+x
C.y=-x2-x D.y=x2+x+16
2.(2024鹤壁模拟)廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形廊桥的示意图,已知水面AB宽48 m,拱桥最高处点C到水面AB的距离为12 m,为保护该桥的安全,现要在该抛物线上的点E,F处安装两盏警示灯.若要保证两盏灯的水平距离EF是24 m,则警示灯E距水面AB的高度为( )
A.12 m B.10 m
C.11 m D.9 m
3.已知某抛物线形拱桥下的拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,那么下列说法中正确的是( )
A.若以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系,则这条抛物线的函数表达式是y=-x2
B.若以水面所在直线为x轴,以水面的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则这条抛物线的函数表达式是y=-x2+2
C.水面上升1 m后,水面宽为2 m
D.水面下降2 m后,水面宽为4m
4.如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-(x-10)(x+4),则铅球推出的距离OA= m.
5.一名运动员在10 m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,当运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示,当运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点,当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
1.定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一,某位同学投出篮球的飞行路线可以看成是抛物线的一部分,篮球飞行的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系:y=ax2+bx+c(a≠0).下表记录了该同学将篮球投出后的x与y的三组数据.根据上述函数模型和数据,可推断出篮球飞行到最高点时,水平距离为 ( )
x/m 0 2 4
y/m 2.25 3.45 3.05
A.1.5 m B.2 m C.2.5 m D.3 m
2.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1,则下列说法中正确的是( )
A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B.点火后24 s火箭落于地面
C.点火后10 s的升空高度为139 m D.火箭升空的最大高度为145 m
3.如图,池中心竖直水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为
1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,则水管的长为 m.
4.斜坡OA的坡度i=1∶5,在此斜坡上距离点O的水平距离为6 m处有一个球筐BC,球筐BC的高度为0.8 m且垂直于水平地面,以点O为原点建立如图所示平面直角坐标系.某人站在点O处将篮球从点D处抛出,已知篮球的运行轨迹可以看成抛物线y=-0.1x2+0.8x+2的一部分,则若想使篮球恰好进入球筐的顶端C处,此人应向后平移 m.
5.嘉淇同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛技术进行技术分析,下面是他对某次击球线路的分析.甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的线路为抛物线的一部分,如图,甲在点O正上方1 m的点P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数关系式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.5 m.
(1)当a=-时,
①求h的值;
②通过计算判断此球能否过网.
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m,离地面高度为 m的点Q处时,乙扣球成功,求a的值.
6.(模型观念)如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值.
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.
【详解答案】
课堂达标
1.B 解析:由题意,得抛物线的顶点坐标为,∴设y=a+16.∵抛物线经过点(0,0),∴400a+16=0,解得a=-.∴此抛物线的表达式为y=-+16,即y=-x2+x.故选B.
2.D 解析:如图,以AB的中点为原点,AB所在直线为横轴,建立直角坐标系.
由题意,得A(-24,0),B(24,0),C(0,12).设抛物线的表达式为y=ax2+12,把A代入,得a=-.∴y=-x2+12.
∵EF=24,∴点E的横坐标为-12.∴当x=-12时,y=-×(-12)2+12=9,即警示灯E距水面AB的高度为9 m.故选D.
3.C 解析:A.如图,建立直角坐标系.
设抛物线的表达式为y=ax2(a≠0),∵拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,∴图中点A的坐标为(-2,-2).代入,得4a=-2,解得a=-.∴抛物线的表达式为y=-x2.故本选项不符合题意.B.∵以水面所在直线为x轴,以水面的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,水面宽4 m,∴抛物线过点(-2,0).代入y=-x2+2中,得-×(-2)2+2≠0.故本选项不符合题意.C.水面上升1 m后,即当y=-1时,-x2=-1,解得x1=,x2=-.∴水面宽为-(-)=2(m).故本选项符合题意.D.水面下降2 m后,即当y=-4时,-x2=-4,解得x1=2,x2=-2.∴水面宽为2-(-2)=4(m).故本选项不符合题意.故选C.
4.10 解析:令y=0,则0=-(x-10)(x+4),解得x1=10,x2=-4,∴OA=10 m.
5.解:(1)由题意,得抛物线的对称轴为直线x=1,经过点,.
设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.
∴解得
∴y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10.
(2)令y=0,得-x2+2x+10=0,
解得x=1+(负值舍去).
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1+) m.
课后提升
1.C 解析:将(0,2.25),(2,3.45),(4,3.05)代入y=ax2+bx+c中,得解得
∴y=-0.2x2+x+2.25=-0.2(x-2.5)2+3.5.∵-0.2<0,∴当x=2.5时,y最大=3.5.故选C.
2.D 解析:A.当t=9时,h=136;当t=13时,h=144,所以点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同,此选项错误;B.当t=24时,h=1≠0,所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m,此选项错误;C.当t=10时,h=141,所以点火后10 s的升空高度为141 m,此选项错误;D.由h=-t2+24t+1=-(t-12)2+145,知火箭升空的最大高度为145 m,此选项正确.故选D.
3. 解析:由题意,可得抛物线的顶点为(1,3),经过点(3,0),设抛物线表达式为y=a(x-1)2+3,将(3,0)代入,可得0=a+3,解得a=-,即y=-(x-1)2+3.将x=0代入,得y=-×(0-1)2+3=3-=.
4.2 解析:如图,延长CB交x轴于点E.
由题意,得OE=6 m,BC=0.8 m.∵斜坡OA的坡度i=1∶5,∴=.∴BE=1.2 m.∴CE=BC+BE=0.8+1.2=2(m).
∴C.在y=-0.1x2+0.8x+2中,令y=2,则-0.1x2+0.8x+2=2,解得x1=0,x2=8.∵8-6=2(m),∴若想使篮球恰好进入球筐的顶端C处,此人应向后平移2 m.
5.解:(1)①由题意,得P(0,1),当a=-时,
则y=-(x-4)2+h.
将P(0,1)代入,得1=-×(0-4)2+h,
解得h=.
②∵y=-(x-4)2+,
∴当x=5时,y=-(5-4)2+=1.625.
∵1.625>1.5,
∴此球能过网.
(2)将(0,1),代入y=a(x-4)2+h,
得解得
∴a=-.
6.解:(1)∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2,
∴C1的最高点坐标为(3,2).
∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上,
∴1=a(6-3)2+2.解得a=-.
∴抛物线C1的表达式为y=-(x-3)2+2.令x=0,则c=-×(0-3)2+2=1.
(2)∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,
∴两个临界点的坐标分别为(5,1),(7,1).
当经过(5,1)时,1=-×52+×5+1+1,
解得n=;
当经过(7,1)时,1=-×72+×7+1+1,
解得n=.
∴≤n≤.
∴符合条件的n的整数值为4和5.第2课时 利用二次函数求实际问题中的最值
图形面积的最值问题
1.如图,在正方形ABCD中,AB=4,动点M,N分别从点A,B同时出发,沿射线AB、射线BC的方向匀速运动,且速度的大小相等,连接DM,MN,ND.设点M运动的路程为x(0≤x≤4),△DMN的面积为S.则下列图像中能反映S与x之间函数关系的是 ( )
A B C D
2.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m.有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图所示),花园里种满牡丹和芍药,学校已定购篱笆120 m.
(1)设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积.
(2)在花园面积最大的条件下,A,B两块内分别种植牡丹和芍药,每1 m2种植2株,已知牡丹每株售价25元,芍药每株售价15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹.
利润的最值问题
4.某书店销售某种中考复习资料,若每本可获利x元,一天可售出(200-10x)本,则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为 ( )
A.500元 B.750元
C.1 000元 D.4 000元
5.某商品进货单价为30元,按40元一个销售能卖40个,若销售单价每涨1元,则销量减少1个.设涨价x元,利润为y元,则y与x之间的函数关系式为 .
6.某体育用品商店销售一款排球,进价为20元/个,销售过程中发现,每天的销量y(个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看成一次函数y=-x+60(25≤x≤35).求出每天获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求该体育用品商店日销售的最大利润.
1.一件工艺品进价为100元,标价135元售出, 每天可售出100件.根据销售统计,该件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为 ( )
A.5元 B.10元 C.2元 D.6元
2.某茶杯的最低点 B 的竖直截面如图所示,其中杯体竖直截面 ABC 呈抛物线形状(杯体厚度忽略不计),点A、点C位于杯口处,且AC=10 cm,点 B是抛物线最低点. 当茶杯装满茶水时,茶水的最大深度(点B到AC的距离)为4 cm,将茶水倒出一部分后,茶水的最大深度恰好为2 cm(点B到EF的距离),此时EF的长度为 ( )
A.5 cm B.2 cm
C. cm D. cm
3.如图,院子里有块直角三角形空地ABC,∠C=90°,直角边AC=3 m,BC=4 m,现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池.当矩形DEFG面积最大时,EF的长为 .
4.某快餐店销售A,B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出的份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是 元.
5.某商场销售A,B两种商品,每件进价均为20元.调查发现,如果售出A种商品20件,B种商品10件,销售总额为840元;如果售出A种商品10件,B种商品15件,销售总额为660元.
(1)求A,B两种商品的销售单价.
(2)经市场调研,A种商品按原售价销售,可售出40件,原售价每降价1元,销售量可增加10件;B种商品的售价不变,A种商品售价不低于B种商品售价.设A种商品降价m元,如果A,B两种商品销售量相同,则m取何值时,商场销售A,B两种商品可获得的总利润最大 最大利润是多少
6.(应用意识)学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42 m,篱笆长80 m.设垂直于墙的边AB长为x m,平行于墙的边BC长为y m,围成的矩形面积为S m2.
(1)求y与x,S与x之间的函数关系式.
(2)围成的矩形花圃面积能否为750 m2 若能,求出x 的值.若不能,请说明理由.
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值 若存在,求出这个最大值,并求出此时x的值.若不存在,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:S=S正方形ABCD-S△ADM-S△DCN-S△BMN=4×4-×4x-×4(4-x)-x(4-x)=x2-2x+8=(x-2)2+6,故S与x之间的函数关系为二次函数关系,图像开口向上,x=2时,函数有最小值6.故选A.
2.C 解析:设AB的长为x m,矩形ABCD的面积为y m2,则BC的长为(40-2x) m.由题意,得y=x(40-2x)=-2x2+40x=
-2(x-10)2+200,其中0<40-2x≤26,即7≤x<20.①AB的长不可以为6 m,原说法错误;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2,原说法正确;②当y=-2(x-10)2+200=192时,解得x=8或x=12.∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2,原说法正确.综上,正确结论的个数是2.故选C.
3.解:(1)设长为x m,面积为y m2,则宽为 m.
∴y=x×=-x2+40x=-(x-60)2+1 200.
∴当x=60时,y有最大值1 200.
此时,宽为=20(m).
答:长为60 m,宽为20 m时,有最大面积,且最大面积为1 200 m2.
(2)设种植牡丹的面积为a m2,则种植芍药的面积为(1 200-a)m2.
由题意,可得25×2a+15×2(1 200-a)≤50 000,
解得a≤700,
即牡丹最多种植700 m2.
700×2=1 400(株).
答:最多可以购买1 400株牡丹.
4.C 解析:每本可获利x元,一天可售出(200-10x)本,则一天的利润为(200-10x)x=(-10x2+200x)元.设日利润为y元,∴y=-10x2+200x=-10(x-10)2+1 000.∴最大日利润为1 000元.故选C.
5.y=-x2+30x+400(0≤x≤40)
解析:根据题意,得涨价x元,则销量减少x个,于是y=(40+x-30)(40-x)=-x2+30x+400(0≤x≤40).
6.解:w=(-x+60)(x-20)=-x2+80x-1 200,
即w=-(x-40)2+400.
∵-1<0,
∴抛物线的开口向下.
∴当x<40时,w的值随着x值的增大而增大.
∵25≤x≤35,
∴当x=35时,w最大=375.
答:日销售的最大利润为375元.
课后提升
1.A 解析:设每件需降价x元,每天获得的利润为y元,则y=(135-x-100)(100+4x)=-4(x-5)2+3 600.∵-4<0,∴当x=5时,y取最大值,最大值为3 600.∴要使每天获得的利润最大,每件需降价5元.故选A.
2.A 解析:依题意,建立如图所示的直角坐标系,设截面抛物线y=ax2(a≠0).
将C代入,得4=25a.解得a=.∴y=x2.将y=2代入y=x2,得2=x2.解得x=±.∴E,F.∴EF=5 cm.故选A.
3.2.5 m 解析:如图,过点C作CM⊥AB,分别交DG,AB于点N,M.∵∠C=90°,AC=3 m,BC=4 m,∴AB=5 m.
∴sin A==.∴CM=sin A·AC=×3=2.4(m).设DE=x m ,DG=EF=y m,则MN=x m,CN=(2.4-x)m.∵DG∥AB,
∴=,即=,整理得y=-x+5.∴S=xy=x=-+3(04.1 264 解析:设每份A种快餐降价a元,则每天卖出(40+2a)份,每份B种快餐提高b元,则每天卖出(80-2b)份.由题意可得,40+2a+80-2b=40+80,解得a=b.∴总利润w=(12-a)(40+2a)+(8+a)(80-2a)=-4a2+48a+1 120=-4(a-6)2+1 264.∵-4<0,∴当a=6时,w取得最大值1 264,即两种快餐一天的总利润最多为1 264元.
5.解:(1)设A种商品的销售单价为x元,B种商品的销售单价为y元,则
解得
答:A种商品的销售单价为30元,B种商品的销售单价为24元.
(2)∵A种商品售价不低于B种商品售价.
∴30-m≥24,解得m≤6,即0≤m≤6.
设利润为w元,则
w=(40+10m)×
=-10m2+100m+560
=-10+810.
∵-10<0,
∴w在m=5时能取到最大值,最大值为810.
∴当m=5时,商场销售A,B两种商品可获得的总利润最大,最大利润是810元.
6.解:(1)∵篱笆长80 m,
∴AB+BC+CD=80 m.
∵AB=CD=x m,BC=y m,
∴x+y+x=80,
∴y=80-2x.
∵墙长42 m,∴0<80-2x≤42.
解得19≤x<40.
∴y=80-2x.
又矩形面积S=BC·AB,
∴S=y·x
=x
=-2x2+80x(19≤x<40).
(2)能.令S=750,则-2x2+80x=750,
整理,得x2-40x+375=0,
此时,b2-4ac=-4×375=1 600-1 500=100>0,
所以,一元二次方程x2-40x+375=0有两个不相等的实数根.
∴围成的矩形花圃面积能为750 m2.
∴x=.
∴x1=25,x2=15.
∵19≤x<40,∴x=25.
(3)存在.S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800.
∵-2<0,∴S有最大值.
又19≤x<40,
∴当x=20时,S取得最大值,此时S=800.
∴当x=20时,S的最大值为800.