30.5　二次函数与一元二次方程的关系 课时作业 （含答案）2024-2025学年数学冀教版九年级下册

30.5二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系
1.某二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标分别为(-2,0),(1,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的根为 (　　)
A.x1=1,x2=2 B.x1=1,x2=-2
C.x1=-1,x2=-2 D.x1=-1,x2=2
2.抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为 (　　)
A.- B. C.-4 D.4
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为(　　)
A.x1=-4,x2=2 B.x1=-3,x2=-1
C.x1=-4,x2=-2 D.x1=-2,x2=2
4.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s,经过t s时球距离地面的高度h(m)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间是 (　　)
A.5 s B.10 s C.1 s D.2 s
5.抛物线y=kx2-7x-7与x轴有交点,则k的取值范围是 (　　)
A.k≥- B.k≥-且k≠0
C.k>- D.k>-且k≠0
6.已知A=x2+a,B=2x,若对于所有的实数x,A的值始终比B的值大,则a的值可能是 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.若二次函数y=x2-2x+k的部分图像如图所示,则关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的一个解为x1=3,则方程x2-2x+k=0的另一个解为x2=　　　　.
8.某次羽毛球比赛中,羽毛球的某次运动路线可以看成是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系式y=-x2+x+,则羽毛球飞出的水平距离为
　　　　m.
9.利用二次函数的图像估计一元二次方程x2-2x-1=0的根.(结果精确到0.1)
1.若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4,对称轴为直线x=2,P为这条抛物线的顶点,则点P关于x轴的对称点的坐标是 (　　)
A.(2,4)　 B.(-2,4) C.(-2,-4)　 D.(2,-4)
2.已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于点(-1,0),则 (　　)
A.若c>0,则对称轴在y轴右侧　
B.若c>0,则对称轴在y轴左侧
C.若c<0,则对称轴在y轴右侧
D.若c<0,则对称轴在y轴左侧
3.二次函数y=ax2+bx的图像如图所示,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为(　　)
A.3 B.-3 C. D.-
4.经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,则线段AB的长为(　　)
A.10 B.12 C.13 D.15
5.已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1A.x3C.x16.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,0),(3,0).下列结论:①>0;②c=2b;③若抛物线上有点,(-3,y2),,则y2A.4 B.3 C.2 D.1
7.(运算能力)设二次函数y1=2x2+bx+c(b,c是常数)的图像与x轴交于A,B两点.
(1)若A,B两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数y1的表达式及其图像的对称轴.
(2)若函数y1的表达式可以写成y1=2(x-h)2-2(h是常数)的形式,求b+c的最小值.
(3)设一次函数y2=x-m(m是常数),若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x-m)·(x-m-2)的形式,当函数y=y1-y2的图像经过点(x0,0)时,求x0-m的值.
【详解答案】
课堂达标
1.B　解析:∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标分别为(-2,0),(1,0),∴一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=1,x2=-2.故选B.
2.B　解析:∵抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,∴方程x2+x+c=0有两个相等的实数根,∴b2-4ac=12-4×1·c=0,∴c=.故选B.
3.A　解析:根据题中图像,知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点是(2,0),对称轴是直线x=-1.设该抛物线与x轴的另一个交点是(x,0),则=-1,解得x=-4,即该抛物线与x轴的另一个交点是(-4,0).所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x1=-4,x2=2.故选A.
4.D　解析:球弹起后又回到地面时h=0,即0=10t-5t2,解得t1=0(不合题意,舍去),t2=2,∴球弹起后又回到地面所花的时间是2 s.故选D.
5.B　解析:由题意,得b2-4ac≥0且k≠0,∴49+28k≥0且k≠0.∴k≥-且k≠0.故选B.
6.D　解析:∵A的值始终比B的值大,∴有x2+a>2x,即x2-2x+a>0,即y=x2-2x+a的函数图像与x轴无交点.∴4-4a<0.∴a>1.故选D.
7.-1　解析:∵关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的一个解为x1=3,∴二次函数y=x2-2x+k的图像与x轴的一个交点坐标为(3,0).∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴二次函数y=x2-2x+k的图像与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),∴方程x2-2x+k=0的另一个解为x2=-1.
8.5　解析:令y=0,得-x2+x+=0.解得x1=5,x2=-1(不合题意,舍去).所以羽毛球飞出的水平距离为5 m.
9.解:方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1的图像与x轴交点的横坐标.
作出二次函数y=x2-2x-1的图像如图所示.
由图像可知,方程有两个根,一个在-1和0之间,另一个在2和3之间.当x=-0.5时,y=0.25.
∴-0.5∴-0.5∴-0.5当x=-0.437 5时,y≈0.07>0.
∴-0.437 5∴x≈-0.4是方程的一个近似根.同理,x≈2.4是方程的另一个近似根.
课后提升
1.A　解析:设抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点坐标为(x1,0),(x2,0).∵抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4,对称轴为直线x=2,∴x1=0,x2=4.∴c=0,16+4b+c=0.∴b=-4.∴抛物线的表达式为y=x2-4x=(x-2)2-4.∴顶点P的坐标为(2,-4).∴点P关于x轴的对称点的坐标是(2,4).故选A.
2.D　解析:将点(-1,0)代入函数表达式,得0=-1-b+c,即b=c-1.又∵对称轴为直线x=-=(c-1),∴当c<0时,(c-1)= <-,故对称轴在y轴的左侧.故选D.
3.A　解析:由题中图像,可得二次函数y=ax2+bx的最小值是y=-3.∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,即一元二次方程ax2+bx=-m有实数根,也就是y=ax2+bx的图像与y=-m的图像有交点,∴-m≥-3,解得m≤3.∴m的最大值是3.故选A.
4.B　解析:∵抛物线y=-x2+bx-b2+2c的对称轴为直线x=-=b,抛物线经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点,
∴=b,即c=b-1,∴y=-x2+bx-b2+2c=-x2+bx-b2+2b-2.∵抛物线与x轴有交点,∴b2-4××(-b2+2b-2)≥0,即b2-4b+4≤0,即(b-2)2≤0,∴b=2.∴c=b-1=2-1=1.∴2-3b=2-6=-4,4b+c-1=8+1-1=8,∴AB=4b+c-1-(2-3b)=8-(-4)=
12.故选B.
5.B　解析:如图,设直线y=m与抛物线y=x2+2x-3交于A,B两点,直线y=n与抛物线y=x2+2x-3交于C,D两点.
∵m>n>0,关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1∴x1,x2,x3,x4分别是点A,B,C,D的横坐标,∴x16.D　解析:根据题中二次函数图像,可知a<0,->0,c>0,∴b>0,∴<0,故①错误;将点(-2,0),(3,0)代入,得②-①,得a+b=0,∴a=-b,再代入①,得c=6b,故②错误;∵-3<-2<-<0,∴y2<0,y3>0.∵0<<3,∴y1>0.根据图像可知对称轴为直线x=,∴y27.解:(1)∵二次函数y1=2x2+bx+c过点A(1,0),B(2,0),
∴y1=2(x-1)(x-2),即y1=2x2-6x+4.
∴抛物线的对称轴为直线x=-=.
(2)把y1=2(x-h)2-2化成一般式,得
y1=2x2-4hx+2h2-2.
∴b=-4h,c=2h2-2.
∴b+c=2h2-4h-2=2(h-1)2-4.
把b+c的值看成是h的二次函数,则该二次函数图像开口向上,有最小值,
∴当h=1时,b+c的最小值是-4.
(3)由题意,得y=y1-y2
=2(x-m) (x-m-2)-(x-m)
=(x-m)[2(x-m)-5].
∵函数y=y1-y2的图像经过点 (x0,0),
∴(x0-m)[2(x0-m)-5]=0.
∴x0-m=0或2(x0-m)-5=0,
即x0-m=0或x0-m=.