31.3用频率估计概率
第1课时 频率的稳定性
频率的稳定性
1.(2024临沂二模)不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n(n为正整数)个,这些球除颜色外无其他差别,随机摸出一个小球,记录颜色后放回并摇匀,不断重复这一过程.下图显示了用计算机模拟试验的结果.
若盒子中共装60个小球,可以根据本次试验结果,估算出盒子中有红球的个数是( )
A.14 B.21 C.24 D.39
2.育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试,在测试条件相同的情况下,得到如下数据:
抽查小麦粒数 100 300 800 1 000 2 000 3 000
发芽粒数 96 287 770 958 1 923 a
则a的值最有可能是 ( )
A.2 700 B.2 780 C.2 880 D.2 940
3.在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球,除颜色外其他都相同,小红每次摸出一个球并放回,通过多次试验后发现,摸到黑球的频率稳定在0.6左右,则布袋中黑球可能有 ( )
A.24个 B.36个 C.40个 D.90个
1.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个,这些球除颜色外都相同,将口袋中的球搅匀后,从中随机摸出1个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸球200次,发现有50次摸到红球,则口袋中红球约有 个.
2.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球,这些球除颜色外均相同.经多次摸球试验后发现,摸到黑球的频率稳定在0.25左右,则盒子中红球的个数约为 .
3.将牌面数字分别是5,6,7,8的四张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上,甲、乙两人每次同时从桌面上抽出一张牌,并计算摸出的这两个牌面上的数字之和,记录后将牌放回并背面朝上,洗匀后进行重复试验.在试验中出现“和为13”的试验数据如下表:
试验总次数 30 60 90 120 180 240 330 450
“和为13”出现的次数 13 24 30 37 58 82 110 150
“和为13”出现的频率 0.43 0.40 0.31 0.34 0.33
(1)请将表中的数据补充完整.
(2)如果试验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为13”的频率可能稳定在 左右.(上述结果均保留两位小数)
4.(推理能力)小颖和小红两位同学在学习概率时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,她们共做了60次试验,试验的结果如下:
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率分别为 .
(2)小颖说:“根据试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大.”小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100.”小颖和小红的说法正确吗 为什么
【详解答案】
课堂达标
1.B 解析:∵随着试验次数的增加,“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动,显示出一定的稳定性,∴盒子中约有红球60×0.35=21(个).故选B.
2.C 解析:∵96÷100=0.96,287÷300≈0.956 7,770÷800=0.962 5,958÷1 000=0.958,1 923÷2 000=0.961 5,∴可估计该品种小麦发芽情况的概率为0.96,则a=3 000×0.96=2 880.故选C.
3.D 解析:设布袋中黑球有x个.由题意,得=0.6,解得x=90,经检验,x=90是分式方程的解,则布袋中黑球可能有90个.故选D.
课后提升
1.3 解析:设红球有x个,则=,解得 x=3.故口袋中红球约有3个.
2.15 解析:设袋子中红球有x个.根据题意,得=0.25,∴x=15.经检验,x=15是分式方程的解.∴盒子中红球的个数约为15.
3.(1)0.33 0.32 0.33 (2)0.33
4.解:(1),
(2)小颖的说法是错误的.这是因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大,只有当试验的次数足够多时,该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近.小红的说法是错误的,因为该事件的发生具有随机性,故“6点朝上”的次数不一定是100.第2课时 用频率估计概率
用频率估计概率
1.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如下折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是 ( )
A.一个不透明的袋子中装有2个白球和3个红球,这些球除颜色外都相同,从中任取一球,取到白球
B.一副去掉大、小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
C.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上
D.掷一颗质地均匀的骰子,2点朝上
2.(2024济宁二模)在一个不透明的塑料袋中装有红色球、白色球共40个,除颜色外其他都相同.小明通过多次摸球试验后发现,摸到红色球的频率稳定在20%左右,则塑料袋中红色球可能有( )
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
1.在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球.小杰想估计其中的白球数量.做了以下试验,从袋中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程,得到如表所示的数据.估计盒子里白球的个数为 ( )
摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200
摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160
摸到白球的频率n/m 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8
A.无法估计 B.8
C.6 D.2
2.在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球,这些球除颜色不同外其余均相同,每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回,经过多次重复试验,发现摸到白球的频率稳定在0.4左右,则袋中白球约有 ( )
A.5个 B.10个 C.15个 D.25个
3.(运算能力)已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个.从纸箱中任意摸出一球,摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2,0.3.
(1)试求出纸箱中蓝色球的个数.
(2)小明向纸箱中再放进红色球若干个,小丽为了估计放入的红球的个数,她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回箱子中,多次重复上述过程后,她发现摸到红球的频率在0.5附近波动,请据此估计小明放入的红球的个数.
【详解答案】
课堂达标
1.D 解析:A.一个不透明的袋子中装有2个白球和3个红球,这些球除颜色外都相同,从中任取一球,取到白球的概率是,不符合题意;B. 一副去掉大、小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是,不符合题意;C.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率是,不符合题意;D.掷一颗质地均匀的骰子,2点朝上的概率是,符合题意.故选D.
2.C 解析:∵摸到红色球的频率稳定在20%左右,∴摸到红色球的概率约为20%.故红色球的个数为40×20%=8.故选C.
课后提升
1.B 解析:∵经过大量重复试验,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,观察可知概率在0.8左右,设白球有m个,∴0.8=.解得m=8.故选B.
2.B 解析:∵经过多次重复试验,发现摸到白球的频率稳定在0.4左右,∴摸到红球的频率稳定在0.6左右.∵袋中装有若干个白球和15个红球,∴袋中球的总数为15÷0.6=25.∴袋中白球约有25-15=10(个).故选B.
3.解:(1)由已知,得纸箱中蓝色球的个数为100×(1-0.2-0.3)=50.
(2)原来纸箱中红色球的个数为100×0.2=20,设小明放入红球x个.根据题意,得=0.5,解得x=60.经检验,x=60是所列方程的解.所以估计小明放入的红球的个数为60.
