第二十九章　直线与圆的位置关系 单元评估测试卷（含答案） 2024-2025学年数学冀教版九年级下册

第二十九章　直线与圆的位置关系 评估测试卷
(满分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.圆的半径是7 cm,如果圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm,那么该直线和圆的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
2.已知☉O的半径为1,点P到圆心O的距离为R,且方程x2-2x+R=0有实数根,则点P (　　)
A.在☉O内 B.在☉O上
C.在☉O外 D.在☉O内或☉O上
3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO= (　　)
A.30° B.35° C.45° D.55°
4.(2024福建中考)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于(　　)
A.18° B.30° C.36° D.72°
5.如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠A=65°,过点C的圆的切线交BO的延长线于点P,则∠P的度数为 (　　)
A.55° B.50°
C.45° D.40°
6.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为1,则BD的长为 (　　)
A.1 B.2 C. D.
7.如图,☉O外有一点P,连接OP,分别以点O和点P为圆心,大于OP的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN与OP相交于点Q,以点Q为圆心,OQ长为半径作圆与☉O相交于A,B两点,连接PA,PB,EF与☉O相切于点C,与PA,PB分别相交于点E,F.若PA=2,则△PEF的周长为 (　　)
A.4 B.4 C.2 D.2
8.如图,☉O内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交BC,CD于点N,M.若CM+CN=4,则☉O的面积为(　　)
A.π B.2π C.4π D.0.5π
9.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,DE是☉O的直径,连接CE.MN经过点E且与☉O相切.若∠A=2∠BCD,BC⊥DE,则∠CEM的度数是 (　　)
A.30° B.35°
C.20° D.25°
10.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BD,BE,CE.若∠CBD=32°,则∠BEC的度数为 (　　)
A.64° B.120° C.122° D.128°
11.如图,△ABC内接于☉O,AB=BC,过点A的切线与OC的延长线相交于点D,∠BAC=75°,CD=,则AD的长为 (　　)
A.2 B.3 C.3 D.2
12.如图,在△ABC中,AB=6,以点A为圆心,3为半径的圆与边BC相切于点D,与AC,AB分别交于点E和点G,F是优弧GE上一点,∠CDE=18°,则∠GFE的度数是 (　　)
A.50° B.48° C.45° D.36°
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.如图,AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,连接BC.已知∠ACB=50°,则∠B的度数为　　　　.
14.(2024泰安中考)如图,AB是☉O的直径,AH是☉O的切线,C为☉O上任意一点,D为的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F,连接AD.若DF=1,tan B=,则AE的长为　　　　.
15.如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为　　　　.
16.(2024重庆B卷中考)如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,点B为切点.连接AC交☉O于点D,E是☉O上一点,连接BE,DE,过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F.若BC=5,CD=3,∠F=∠ADE,则AB的长度是　　　　;DF的长度是　　　　.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)如图,AC是 ABCD的对角线,∠BAD+∠ACB=90°.O是BC的垂直平分线与AC的交点,以点O为圆心,OC长为半径作☉O.
求证:AB为☉O的切线.
18.(8分)已知△ABC内接于☉O,AB=AC,∠ABC=70°,D是弧ACB上一点.
(1)如图1,连接AD,BD,CD,求∠ADC,∠BDC的度数.
(2)如图2,若OD⊥AC,垂足为E,连接DC,过点D作☉O的切线与BC的延长线交于点F,求∠CDF的度数.
图1　 　图2
19.(8分)(2024深圳中考)如图,在△ABD中,AB=BD,☉O为△ABD的外接圆,BE为☉O的切线,AC为☉O的直径,连接DC并延长交BE于点E.
(1)求证:DE⊥BE.
(2)若AB=5,BE=5,求☉O的半径.
20.(8分)(2024赤峰中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,☉O经过B,C两点,与斜边AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交☉O于点D,过点E作EF∥CD,交AC于点F.
(1)求证:EF是☉O的切线.
(2)若BM=4,tan∠BCD=,求OM的长.
21.(9分)如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E. ☉O的两条弦FB,FD相交于点F,∠DAE=∠BFD.
(1)求证:DE是☉O的切线.
(2)若∠C=30°,CD=2,求扇形OBD的面积.
22.(10分)如图,O是△ABC的边AC上一点,以点O为圆心,OA为半径作☉O,与BC相切于点E,交AB于点D,连接OE,连接OD并延长交CB的延长线于点F,∠AOD=∠EOD.
(1)连接AF,求证:AF是☉O的切线.
(2)若FC=10,AC=6,求FD的长.
23.(11分)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,CD⊥AB于点D,将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线于点F.
(1)求证:CF是☉O的切线.
(2)若sin∠CFB=,AB=8,求图中阴影部分的面积.
24.(12分)(2024绥化中考)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的☉O与AD相切于点E,与AC相交于点F.
(1)求证:AB与☉O相切.
(2)若正方形ABCD的边长为+1,求☉O的半径.
(3)如图2,在(2)的条件下,若M是半径OC上的一个动点,过点M作MN⊥OC交于点N.当CM∶FM=1∶4时,求CN的长.
图1　 　图2
【详解答案】
1.C　解析:∵圆的半径是7 cm,圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm,∴d2.D　解析:∵方程有实数根,∴b2-4ac=4-4R≥0,得R≤1.而圆的半径为1,说明点P到圆心的距离小于或等于半径,∴点P在☉O内或☉O上.故选D.
3.B　解析:如图,连接OA.∵PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,∴∠PBO=∠PAO=90°.∵∠P=70°,∴∠BOA=360°-∠PBO-∠PAO-∠P=110°.∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=(180°-∠BOA)=×(180°-110°)=35°.故选B.
4.A　解析:∵∠AOB=72°,C为的中点,∴∠AOC=36°.∵OA=OC,∴∠OCA=×(180°-36°)=72°.∵直线MN与☉O相切,∴∠OCM=90°.∴∠ACM=∠OCM-∠OCA=18°.故选A.
5.D　解析:∵PC是☉O的切线,∴PC⊥OC.∴∠OCP=90°.∵∠A=65°,∴∠BOC=2∠A=130°.∴∠POC=180°-130°=50°.∴∠P=90°-∠POC=40°.故选D.
6.D　解析:连接OB,如图.∵四边形OABC是菱形,∴OA=AB.∵OA=OB,∴OA=AB=OB.∴△ABO是等边三角形,∴∠AOB=60°.∵BD是☉O的切线,∴∠DBO=90°.∵OB=1,∴BD=OB=.故选D.
7.B　解析:连接AO,OC,OB,如图所示.
∵直线MN与OP相交于点Q,以点Q为圆心,OQ长为半径作圆与☉O相交于A,B两点,∴OP是☉Q的直径.
∴∠OAP=∠OBP=90°.∵AO,OB都是☉O的半径,∴AP,PB是☉O的切线.∴PA=PB=2.∵EF与☉O相切于点C,且OC=AO=OB,且都是半径,∴AE=EC,CF=BF.∴△PEF的周长为PE+EC+CF+PF=PE+AE+BF+PF=AP+BP=4.故选B.
8.C　解析:如图,设☉O与正方形ABCD的边CD切于点E,与边BC切于点F,连接OE,OF,
则四边形OECF是正方形,∴CF=CE=OE=OF,∠OEM=∠OFN=∠EOF=90°.
∵∠MON=90°,∴∠EOM=∠FON.∴△OEM≌△OFN(ASA).∴EM=NF.∴CM+CN=CE+CF=4.∴OE=2.∴☉O的面积为π·OE2=4π.故选C.
9.A　解析:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°.∵∠A=2∠BCD,∴∠BCD=60°,∠A=120°.如图,连接BD.∵DE⊥BC,∴BD=CD.∴△BCD为等边三角形.∴∠BDC=60°.∴∠CDE=30°.∵∠DCE=90°,
∴∠DEC=60°.∵MN与☉O相切,∴MN⊥DE.∴∠CEM=30°.故选A.
10.C　解析:在☉O中,∵∠CBD=32°,∴∠CAD=32°.∵点E是△ABC的内心,∴∠BAC=64°.
∴∠EBC+∠ECB=×(180°-64°)=58°.∴∠BEC=180°-58°=122°.故选C.
11.B　解析:连接OA(图略).∵AB=BC,∠BAC=75°,∴∠BCA=∠BAC=75°.∴∠B=30°.∴∠AOD=2∠B=60°.
∵AD是☉O的切线,∴OA⊥AD.∴OD=2OA.∵CD=,设OA=x,则OD=x+,∴2x=x+,解得x=.∴OA=.∴AD=OA=3.故选B.
12.B　解析:如图,连接AD.
∵BC与☉A相切于点D,∴AD⊥BC.∴∠ADB=∠ADC=90°.∵AB=6,AG=AD=3,∴AD=AB.∴∠B=30°.
∴∠GAD=60°.∵∠CDE=18°,∴∠ADE=90°-18°=72°.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=72°.
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-72°-72°=36°.∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+36°=96°.
∴∠GFE=∠GAE=×96°=48°.故选B.
13.40°　解析:∵AC与☉O相切,∴∠BAC=90°.又∵∠ACB=50°,∴∠B=90°-∠C=90°-50°=40°.
14.　解析:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵AH是☉O的切线,∴∠BAF=90°.∴∠DAF=∠ABD=90°-
∠DAB.∴△DAF∽△DBA.∴==tan B=.∵DF=1,∴AD=2.∴AF=.∵D为的中点,∴=.
∴∠ABD=∠DAC=∠DAF.∵∠ADE=∠ADF=90°,∴90°-∠DAE=90°-∠DAF,即∠AED=∠AFD.∴AE=AF=.
15.2　解析:如图,记直线y=x+4与x,y轴分别交于点A,K,连接QM,PM,KM,
当x=0时,y=4;当y=0时,x+4=0,解得x=-4.∴K(0,4),A(-4,0).∴M(4,0),∴OA=OK=OM=4.∴△OAK,△OKM均是等腰直角三角形.∴∠AKO=∠MKO=45°.∴∠AKM=90°.∵QP与☉M相切,∴∠PQM=90°,∴PQ=.
∵QM=2,∴当PQ最小时即PM最小.∴当PM⊥AK时,取得最小值,即点P与点K重合,此时PM最小值为KM.在Rt△OKM中,由勾股定理,得KM==4,∴PQ==2.∴PQ的最小值为2.
16.　　解析:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=∠BDC=90°.在Rt△BDC中,由勾股定理,得BD==4.
∴cos C==.∵BC是☉O的切线,∴∠ABC=90°.∴∠C+∠CBD=∠CBD+∠ABD=90°.∴∠C=∠ABD.在Rt△ABD中,AB===.
如图,连接AE.
∵AF∥BE,∴∠BAF=∠ABE.∵∠F=∠ADE,∠ADE=∠ABE,
∴∠F=∠BAF.∴BF=AB=.∴DF=BF-BD=-4=.
17.证明:连接BO,并延长BO交CD于点E,如图.
∵点O在BC的垂直平分线上,
∴OB=OC.
∴OB是☉O的半径,∠ACB=∠CBE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
AD∥BC.
∴∠BAC=∠DCA,∠DAC=∠BCA.
∠ABE=∠BEC.
∵∠BAD+∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠DAC+∠ACB=90°.
∴∠DCA+∠BCA+∠CBE=90°.
∴∠BCE+∠CBE=90°.
∴∠BEC=180°-90°=90°.
∴∠ABE=90°.
∴OB⊥AB.
∴AB为☉O的切线.
18.解:(1)∵∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠ADC=180°-70°=110°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=70°.
∴∠ADB=∠ACB=70°.
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=110°-70°=40°.
(2)连接BD,如图.
∵OD⊥AC,∴=.
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=35°.
∴∠ACD=∠ABD=35°.
∵DF为切线,
∴OD⊥DF.
∴∠OEC=∠ODF=90°.
∴AC∥DF.
∴∠CDF=∠ACD=35°.
19.(1)证明:如图,连接BO并延长,交AD于点H,连接OD.
∵AB=BD,OA=OD,
∴BO垂直平分AD.
∴BH⊥AD,AH=DH.
∵BE为☉O的切线,
∴HB⊥BE.
∵AC为☉O的直径,
∴∠ADC=90°.
∴四边形BHDE为矩形.
∴DE⊥BE.
(2)解:由(1),知四边形BHDE为矩形,BH⊥AD,AH=DH.
∴AH=DH=BE=5.
∴BH==5.
设☉O的半径为r,则OA=OB=r,OH=BH-OB=5-r.
在Rt△AOH中,由勾股定理,得r2=52+(5-r)2.
解得r=3,
即☉O的半径为3.
20.(1)证明:连接OE,延长EO,交☉O于点P,连接PD,BD,如图.
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ABC=45°.
∵CD是☉O的直径,
∴∠CBD=90°.
∴∠DBM=∠CBD-∠ABC=90°-45°=45°.
∴∠EPD=∠DBE=45°.
∴∠DOE=2∠DPE=2×45°=90°.
∵EF∥CD,
∴∠FEO=∠DOE=90°,
即OE⊥EF.
∵OE是☉O的半径,
∴EF是☉O的切线.
(2)解:由(1),知∠CBD=90°,
∵tan∠BCD=,
∴=.
∵BC=AC,∴=.
∵∠DMB=∠CMA,∠A=∠DBM,
∴△DBM∽△CAM.
∴===.
∵BM=4,
∴AM=2BM=8.
∴AB=AM+BM=8+4=12.
在等腰直角三角形ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴AC2+AC2=AB2=(12)2.
解得AC=12.
∴AC=BC=12.
∴DB=BC=6.
在Rt△BDC中,
CD===6,
∴CO=DO=3.
又=,
∴CM=2DM.
∴2DM+DM=CD=6.
∴DM=2.
∴OM=OD-DM=3-2=.
21.(1)证明:如图,连接OD.
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD.
又∵∠DAB=∠BFD,∠DAE=∠BFD,
∴∠ODA=∠DAE.
∵DE⊥AC,
∴∠ADE+∠DAE=90°.
∴∠ADE+∠ODA=90°,
即OD⊥DE.
又OD是☉O的半径,
∴DE是☉O的切线.
(2)解:∵∠C=30°,CD=2,DE⊥AC,
∴DE=CD=,∠CDE=60°.
又∵OD⊥DE,
∴∠BDO=180°-∠ODE-∠CDE=30°.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB=30°.
∴∠AOD=60°,∠BOD=120°.
又∵OD=OA,
∴△AOD是等边三角形.
∴AD=OD,∠ODA=60°.
∴∠ADE=30°.
在Rt△ADE中,AD===2.
∴扇形OBD的面积为=.
22.(1)证明:在△AOF和△EOF中,
∴△AOF≌△EOF.
∴∠OAF=∠OEF.
∵BC与☉O相切,
∴OE⊥FC.
∴∠OAF=∠OEF=90°,
即OA⊥AF.
∵OA是☉O的半径,
∴AF是☉O的切线.
(2)解:在Rt△CAF中,
∠CAF=90°,FC=10,AC=6,
∴AF==8.
∵∠OCE=∠FCA,
∠CEO=∠CAF=90°,
∴△OEC∽△FAC.
∴=.
设☉O的半径为r,则=,
解得r=.
在Rt△FAO中,∠FAO=90°,AF=8,AO=,
∴OF==.
∴FD=OF-OD=.
即FD的长为.
23.(1)证明:如图,连接OC.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°.
∵△CDB沿直线BC翻折得到△CEB,
∴∠DBC=∠EBC,
∠BEC=∠CDB=90°.
∵OB,OC是☉O的半径,
∴OB=OC.
∴∠OCB=∠OBC.
∴∠EBC=∠OCB.
∴OC∥BE.
∴∠FCO=∠BEC=90°.
∴FC⊥OC于点C.
又∵OC为☉O的半径,
∴CF是☉O的切线.
(2)解:∵sin∠CFB=,
∴∠CFB=45°.
由(1),得∠FCO=90°.
∴∠FOC=90°-∠CFB=45°.
∵CD⊥AB,
∴∠CDO=90°.
∵AB=8,
∴OC=AB=×8=4.
在Rt△COD中,∠AOC=45°.
∴CD=OD=OCsin∠AOC=4×=2.
∴S△COD=OD·CD=×2×2=4.
∴S扇形AOC=×π×42=2π.
∴S阴影=S扇形AOC-S△COD=2π-4.
24.(1)证明:如图1,连接OE,过点O作OG⊥AB于点G.
∵☉O与AD相切于点E,
∴OE⊥AD.
∵四边形ABCD是正方形,AC是正方形的对角线,
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∴OE=OG.
∵OE为☉O的半径,
∴OG为☉O的半径.
∵OG⊥AB,
∴AB与☉O相切.
图1
(2)解:∵AC为正方形ABCD的对角线,
∴∠DAC=45°.
∵☉O与AD相切于点E,
∴∠AEO=90°.
∴由(1)可知AE=OE,设AE=OE=OC=OF=R,
在Rt△AEO中,
∵AE2+EO2=AO2,
∴AO2=R2+R2.
∵R>0,∴AO=R.
又∵正方形ABCD的边长为+1,
在Rt△ADC中,
∴AC==.
∵OA+OC=AC,
∴R+R=.
∴R=.
∴☉O的半径为.
(3)解:如图2,连接ON,FN,设CM=k.
∵CM∶FM=1∶4,
∴CF=5k.
∴OC=ON=2.5k.
∴OM=OC-CM=1.5k.
在Rt△OMN中,由勾股定理,得MN=2k.
在Rt△CMN中,由勾股定理,得CN=k.
又∵FC=5k=2R=2,
∴k=.
∴CN==.
图2