专题训练三 与圆有关的动态问题
角度问题
1.如图,☉O是Rt△ABC的内切圆,点D,E,F为切点,P是上任意一点(不与点E,D重合),则
∠EPD=( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.如图,在△ABC中,∠B=∠ACB=40°,点D在线段BC上(不与点B,C重合),若点O为△ADC的内心,则∠AOC不可能是( )
A.100° B.120° C.140° D.150°
3.如图,在扇形OAB中,C是弧AB上任意一点(不与点A,B重合),CD∥OA交OB于点D,点I是△OCD的内心,连接OI,BI,∠AOB=β,则∠OIB= ( )
A.180°-β B.180°-β C.90°+β D.90°+β
最值问题
4.如图,已知直线y=x-3,与x轴,y轴分别交于A,B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连接PA,PB,则△PAB面积的最大值为 ( )
A.11.5 B.11 C.10.5 D.10
5.如图,AB是☉O的一条弦,C是☉O上一动点,且∠ACB=30°,点E,F分别是AC,BC的中点,直线EF与☉O交于G,H两点,若☉O的半径为7,则GE+FH的最大值为 ( )
A.9 B.10.5 C.11 D.11.5
6.如图,△ABC是☉O的内接三角形,且AB是☉O的直径,P为☉O上的动点,且∠BPC=60°,☉O的半径为6,则点P到AC距离的最大值是 ( )
A.6 B.12 C.6+3 D.6
7.如图,在△ABC中,AC=5,BC=4,∠ACB=60°,过点A作BC的平行线l,P为直线l上一动点,☉O为△APC的外接圆,直线BP交☉O于E点,则AE的最小值为 .
8.如图,已知☉O的半径是6,点A,B在☉O上,且∠AOB=90°,动点C在☉O上运动(不与点A,B重合),M为弦BC的中点,连接AM,则线段AM长度的最大值是 .
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=10,D是AC上的一个动点,以CD为直径作☉O,连接BD交☉O于点E,则AE的最小值为 .
10.如图,在Rt△AOB中,OA=OB=4,☉O的半径为 1,P是AB边上一动点,PQ是☉O的切线,Q为切点,求PQ的最小值.
11.如图1,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是☉O上半部分的一个动点,连接OP,CP.
(1)求△OPC的最大面积.
(2)求∠OCP的最大度数.
(3)如图2,延长PO交☉O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是☉O的切线.
图1 图2
【详解答案】
1.B 解析:连接OE,OD,如图.∵☉O是Rt△ABC的内切圆,点D,E,F为切点,∴OE⊥BC,OD⊥AC.∴∠C=∠OEC=
∠ODC=90°.∴四边形OECD是矩形.∴∠O=90°.∴∠EPD=∠O=45°.故选B.
2.A 解析:在△ABC中,∵∠B=∠ACB=40°,∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=100°.∵点O为△ADC的内心,∴∠OAC
=∠DAC,∠OCA=∠ACB=20°.∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=160°-∠DAC.∵点D在线段BC上(不与点B,C重合),∴0°<∠DAC<100°.∴0°<∠DAC<50°.∴110°<∠AOC<160°.∴∠AOC不可能是100°.故选A.
3.A 解析:如图,连接IC.∵CD∥OA,∴∠CDB=∠AOB=β.∴∠COD+∠OCD=∠CDB=β.∵点I是△OCD的内心,∴OI,CI分别平分∠COD,∠OCD.∴∠COI=∠BOI=∠COD,∠OCI=∠OCD.∴∠OIC=180°-(∠COI+∠OCI)
=180°-(∠COD+∠OCD)=180°-β.在△COI和△BOI中,∴△COI≌△BOI(SAS).∴∠OIB=∠OIC.
∴∠OIB=180°-β.故选A.
4.C 解析:如图,过点C作CM⊥AB于点M,连接AC.令x=0,则y=×0-3=-3;令y=0,则0=x-3,得x=4.∴点B(0,
-3),点A(4,0).∴OA=4,OB=3,BC=1+3=4.根据勾股定理,可得AB===5,则由三角形面积公式,得S△ABC=AB· CM=OA·BC.∴×5· CM=×4×4.∴CM=.∵C(0,1),圆C的半径r=1,∴圆上点到直线的最大距离是CM+r,即+1=.∴△PAB面积的最大值为AB·(CM+r)=×5×=10.5.故选C.
5.B 解析:如图,连接OA,OB.
∵∠ACB=30°,∴∠AOB=60°.∴△AOB是等边三角形.∴AB=7.当GH为☉O的直径时,GE+FH有最大值.当GH为直径时,E点与O点重合.∴AC也是直径,AC=14.∵∠ABC是直径上的圆周角,∴∠ABC=90°.∵∠C=30°,∴AB
=AC=7.∵点E,F分别为AC,BC的中点,∴EF=AB=3.5.∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5.故选B.
6.C 解析:如图,过点O作OM⊥AC于点M,延长MO交☉O于点P,
则此时,点P到AC的距离最大,且点P到AC距离的最大值等于PM.∵OM⊥AC,∠A=∠BPC=60°, ☉O的半径为6,∴OP=OA=6.∴OM=OA=×6=3.∴PM=OP+OM=6+3.∴点P到AC距离的最大值是6+3.故选C.
7.-4 解析:如图,连接CE.
∵AP∥BC,∴∠PAC=∠ACB=60°.∴∠CEP=∠CAP=60°.∴∠BEC=120°.∴点E在以点O'为圆心,O'B为半径的上运动.连接O'A交于点E',此时AE'的值最小.∵∠BE'C=120°,∴所对圆周角为60°.∴∠BO'C=2×60°
=120°.∵△BO'C是等腰三角形,BC=4,∴O'B=O'C==4.∵∠ACB=60°,∠BCO'=30°,∴∠ACO'=90°.∴O'A
===.∴AE'=O'A-O'E'=-4.
8.3+3 解析:如图1,取OB的中点E,连接ME,OC,则OE=EB=OB=3.∵M为线段BC的中点,∴ME是△OBC的中位线.∴ME=OC=3.∴EO=EM=EB,即M是以点E为圆心,3为半径的圆上的一点.∴求线段AM长度的最大值即是求点A与☉E上的点的最大距离.
图1
如图2,当点M在线段AE的延长线上时,线段AM的长度取得最大值.∵OA=6,OE=3,∠AOB=90°,∴AE=3.
∴线段AM长度的最大值为AE+EM=3+3.
图2
9.2-2 解析:连接CE,取BC的中点F,作直径为BC的☉F,连接EF,AF,如图.
∵BC=4,∴CF=2,即☉F的半径为2.∵∠ACB=90°,AC=10,∴AF===2.∵CD是☉O的直径,∴∠CED=∠CEB=90°.∴点E在☉F上.在点D的运动过程中,AE≥AF-EF,且点A,E,F共线时等号成立.
∴当点A,E,F共线时,AE取最小值.此时AE=AF-EF=2-2.
10.解:如图,连接OP,OQ.
∵PQ是☉O的切线,∴OQ⊥PQ.
根据勾股定理,知PQ2=OP2-OQ2.
∵☉O的半径为 1,
∴当PO最短时,PQ有最小值.
∴当PO⊥AB时,PO最短,即线段PQ最短.
∵在Rt△AOB中,OA=OB=4,
∴AB==8.
∴S△AOB=OA·OB=AB·OP,即OP==4.
∴PQ==.
11.(1)解:∵AB=4,∴OB=2.
∴OC=OB+BC=4.
在△OPC中,设OC边上的高为h.
∵S△OPC=OC·h=2h,
∴当h最大时,S△OPC取得最大值.
观察图形,当OP⊥OC时,h最大,如图1.
图1
此时h=半径=2,S△OPC=×2×4=4.
∴△OPC的最大面积为4.
(2)解:当PC与☉O相切时,∠OCP的度数最大,如图2.
图2
∵sin∠OCP===,
∴∠OCP=30°,∴∠OCP的最大度数为30°.
(3)证明:如图3,连接AP,BP.
图3
∵∠A=∠D=∠APD=∠ABD,
∴=.∴=.
∴AP=BD.
∵CP=DB,∴AP=CP.
∴∠A=∠C.
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C.
在△ODB和△BPC中,
∴△ODB≌△BPC(SAS).
∴∠D=∠BPC.
∵PD是☉O的直径,
∴∠DBP=90°.
∴∠D+∠BPD=90°.
∴∠BPC+∠BPD=∠DPC=90°.
∴DP⊥PC.
∵DP经过圆心,∴CP是☉O的切线.专题训练二 三角形的内切圆与外接圆
内心和外心
1.如图,在△ABC中,∠BIC=125°, I是△ABC的内心,O是△ABC的外心,则∠BOC= ( )
A.125° B.140° C.130° D.150°
2.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G.下列结论:①∠BAD=∠CAD;②若∠BAC=60°,则∠BEC=120°;③若G为BC的中点,则∠BGD=90°;④DE=DB.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,已知P为平面内一点,O是△ABC的内心,也是△BCP的外心,∠BAC=80°,则∠BPC的度数为 .
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,I是△ABC的内心,AC=8,BC=6,O是AB的中点,则OI= .
内切圆与外接圆
5.如图,☉O是锐角三角形ABC的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,则EF的长为 ( )
A.8 B.4 C.3.5 D.3
6.下列说法正确的是 ( )
A.等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为1∶
B.正方形的内切圆与外接圆半径之比为1∶2
C.正六边形的内切圆与外接圆半径之比为∶2
D.以上说法都不正确
7.已知直角三角形的外接圆半径为6,内切圆半径为2,则这个三角形的周长是 ( )
A.32 B.34 C.27 D.28
8.已知△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,则它的外接圆半径为 ,内切圆半径为 .
9.如图,点O是△ABC的内心,AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接CD.
求证:OD=CD.
10.已知一块等腰三角形钢板的底边长为60 cm,腰长为50 cm.
(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径.
(2)用一个圆完全覆盖这块钢板,这个圆的最小半径是多少
11.如图,PA是☉O的切线,切点为A,AC是☉O的直径,连接OP交☉O于点E,过A点作AB⊥PO于点D,交☉O于点B,连接BC,PB.
(1)求证:PB是☉O的切线.
(2)求证:E为△PAB的内心.
(3)若cos∠PAB=,BC=1,求 PO 的长.
【详解答案】
1.B 解析:过点I分别作EI⊥AB,FI⊥AC,GI⊥BC,如图.
∵点I是△ABC的内心,且结合切线性质,∴∠GBI=∠ABC,∠GCI=∠ACB.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°,∴∠BIC=90°+∠A,即125°=90°+∠A.∴∠A=70°.∵点O是△ABC的外心,
∴∠BOC=2∠A=2×70°=140°.故选B.
2.D 解析:∵E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC.∴∠BAD=∠CAD,故①正确.如图,连接BE,CE.
∵E是△ABC的内心,∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB.∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°.∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-(∠ABC+∠ACB)=120°,故②正确.∵∠BAD=∠CAD,∴=,∴BD=CD.∵G为BC的中点,∴DG⊥BC,
∴∠BGD=90°,故③正确.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.
∵∠DBC=∠DAC=∠BAD,
∴∠DBC+∠EBC=∠EBA+∠EAB.
∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE,故④正确.正确的个数为4,故选D.
3.65° 解析:如图,连接OB,OC.
∵∠BAC=80°,∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°.∵O是△ABC的内心,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
∴∠OBC+∠OCB==50°.∴∠BOC=180°-=130°.∵O是△BCP的外心,
∴∠BPC=∠BOC=65°.
4. 解析:如图,∵∠C=90°,BC=6,AC=8, ∴AB==10.
∵O是AB的中点, ∴OA=OB=5. 设△ABC的内切圆I与△ABC各边分别相切于点D,E,F,连接ID,IE,IF,
∴∠IDC=∠IEC=∠C=90°,CD=CE,BE=BF,AD=AF,∠IFO=90°.∴四边形CDIE是矩形.∴四边形CDIE是正方形.∴IE=CE=CD=ID=IF.设ID=x,则BF=BE=6-x,AD=AF=8-x, ∴6-x+8-x=10.∴x=2.∴IF=2,BF=6-2=4.
∴OF=OB-BF=1.∴OI==.
5.B 解析:∵☉O是锐角三角形ABC的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,∴点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点.∴DF=BC,DE=AC,EF=AB.∵DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,∴CB+CA+AB=21,即2DF+2DE+2EF=21.
∴EF=4.故选B.
6.C 解析:设等边三角形内切圆的圆心为O,如图1,连接OB,过点O作OD⊥BC于点D, ∠OBD=30°,
图1
∴OB=2OD,即等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为1∶2,故A选项错误,不符合题意;如图2,设正方形内切圆的圆心为O,连接OB,过点O作OE⊥BC于点E, ∠OBE=45°,
图2
∴△OBE是等腰直角三角形,∴OB=OE,即正方形的内切圆与外接圆半径之比为1∶,故B选项错误,不符合题意;设正六边形内切圆的圆心为O,如图3,连接OA,OB,过点O作OG⊥AB于点G,设正六边形的边长为a,
图3
∴正六边形的半径是a,则外接圆的半径为a,∵内切圆的半径是正六边形的边心距,∴GO=a,∴正六边形的内切圆的半径与外接圆的半径之比为a∶a=∶2,故C选项正确,符合题意.故选C.
7.D 解析:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,☉Q是△ABC的外接圆,☉O与AB,BC,AC分别相切于点E,F,G.
∵☉Q的半径是6,AB是☉Q的直径,∴AB=12.∵AG=AE,BF=BE,∴AG+BF=AE+BE=AB=12.连接OF,OG,则OF=OG=2.∴∠OFC=∠OGC=∠C=90°.∴四边形OFCG是矩形.∵CG=CF,∴四边形OFCG是正方形.
∴CG=CF=OF=2.∴AC+BC=CG+AG+BF+CF=2+12+2=16.∴AC+BC+AB=16+12=28.∴这个三角形的周长是28.故选D.
8.5 2 解析:∵AC=6,BC=8,AB=10,62+82=102,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°.∴△ABC外接圆的圆心为斜边的中点,半径为AB=5.设内切圆的半径为r,如图.
由题意,可得∠DCE=∠CDO=∠OEC=90°.∴四边形ODCE为矩形.又∵OD=OE,∴矩形ODCE为正方形.
∴CD=CE=r.∴BD=BC-CD=8-r,AE=AC-CE=6-r.由切线长定理,可得BF=BD=8-r,AF=AE=6-r,则6-r+8-r=10,解得r=2.
9.证明:如图,连接OC.
∵点O是△ABC的内心,
∴∠CAD=∠BAD,∠OCA=∠OCB.
∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB.
∵∠BAD=∠BCD,
∠DCO=∠BCD+∠OCB,
∴∠COD=∠DCO.
∴OD=CD.
10.解:(1)设这块三角形钢板为△ABC,且腰为AC=BC=50 cm,底为AB=60 cm,如图1,过点C作CE⊥AB于点E.根据题意可知,该三角形的内切圆即为这块钢板上截得的最大圆.
图1
∵AC=BC=50 cm,AB=60 cm,
∴根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理,可得AE=30 cm,CE=40 cm.
∵☉O是△ABC的内切圆,
∴OD⊥AC,OE⊥AB,OF⊥BC.
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC,
即AB·CE=AB·OE+BC·OF+AC·OD.
设☉O的半径为x cm.
∴×60×40=×60×x+×50×x+×50×x.
解得x=15.
故由这块钢板上截得的最大圆的半径为15 cm.
(2)由于一个圆完整覆盖这块钢板,那么这个圆即是这个三角形的外接圆.设覆盖圆的半径为y cm,圆心为O'.如图2,连接AO'.
图2
根据(1)可知AE=30 cm,CE=40 cm.
∵EO'=CE-CO'=(40-y)cm,
∴在Rt△AEO'中,AE2+EO'2=AO'2,即302+(40-y)2=y2.
解得y=.
故这个圆的最小半径为 cm.
11.(1)证明:如图,连接OB.
∵AC为☉O的直径,
∴∠ABC=90°.∵AB⊥PO,
∴PO∥BC.
∴∠AOP=∠C,∠POB=∠OBC.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C.
∴∠AOP=∠POB.
在△AOP和△BOP中,
∴△AOP≌△BOP(SAS).
∴∠OBP=∠OAP.
∵PA为☉O的切线,
∴∠OAP=90°.
∴∠OBP=90°.
∴PB是☉O的切线.
(2)证明:如图,连接AE.
∵PA为☉O的切线,
∴∠PAE+∠OAE=90°.
∵AD⊥ED,
∴∠EAD+∠AED=90°.
∵OE=OA,
∴∠OAE=∠AED.
∴∠PAE=∠DAE,
即EA平分∠PAD.
∵PA,PB为☉O的切线,
∴PD平分∠APB.
∴E为△PAB的内心.
(3)解:∵∠PAB+∠BAC=90°,
∠C+∠BAC=90°,
∴∠PAB=∠C.
∴cos C=cos∠PAB=.
在Rt△ABC中,cos C===,
∴AC=,AO=.
∵△PAO∽△ABC,
∴=.
∴PO=·AC=·=5.专题训练一 切线判定的常用方法
有公共点,连半径,证垂直
1.如图,CD是Rt△ABC斜边上的中线,以CD为直径作☉O,分别交AC,BC于点M,N,过点M作ME⊥AB,交AB于点E.
(1)求证:ME是☉O的切线.
(2)若CD=5,AC=8,求ME的长.
2.如图,已知AB为☉O的直径,C是的中点,AD垂直于过点C的直线于点E.
(1)求证:CE是☉O的切线.
(2)若∠BAD=60°,AB=4,求CE的长.
3.如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,AB⊥CD于点E,P是AB延长线上一点,且∠BCP=∠BCD.
(1)求证:CP是☉O的切线.
(2)若CD=8,EB=2,求☉O的半径.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,延长CA到点D,以AD为直径作☉O,交BA的延长线于点E,延长BC到点F,使BF=EF.
(1)求证:EF是☉O的切线.
(2)若OD=5,∠F=100°,求扇形AOE的面积(结果保留π).
5.如图,已知AB是☉O的直径,C是☉O上一点,连接AC,BC,OE∥BC交AC于点E,过点A作☉O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证:DC是☉O的切线.
(2)若∠BAC=30°,AB=4,直接写出线段CF的长.
无公共点,作垂直,证半径
6.如图,已知AB为同心圆☉O中大圆的弦,若AB=2,大圆半径为2,小圆半径为1.求证:AB为同心圆☉O中小圆的切线.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,以点D为圆心,BD长为半径作☉D交AB于点E.
求证:☉D与AC相切.
8.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,O为AB的中点,连接CO交☉O于点E, ☉O与AC相切于点D.
(1)求证:BC是☉O的切线.
(2)延长CO交☉O于点G,连接AG交☉O于点F,若AC=4,求FG的长.
【详解答案】
1.(1)证明:如图,连接OM.
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线,
∴CD=AD=BD.∴∠1=∠A.
∵OC=OM,∴∠1=∠2.
∴∠2=∠A.∴OM∥AD.
∵ME⊥AB,
∴ME⊥OM.又OM是☉O的半径.
∴ME是☉O的切线.
(2)解:∵OM∥AD,∴=.
∵OC=OD,
∴AM=CM=AC=4.
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线,
∴CD=AB.
∴AB=2CD=10.
在Rt△ABC中,BC===6.
∵ME⊥AB,
∴∠AEM=90°.
∴∠AEM=∠ACB.
又∵∠A=∠A,
∴△AME∽△ABC.
∴=.
∴=.
∴ME=2.4.
2.(1)证明:如图1,连接OC.
图1
∵C是的中点,
∴=.
∴∠CAD=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠BAC.
∴∠CAD=∠ACO.
∴AE∥OC.
∵AE⊥CE,∴OC⊥CE.
∵OC是☉O的半径,
∴CE是☉O的切线.
(2)解:如图2,连接BC.
图2
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAD=60°,
∴∠CAD=∠BAC=30°.
∵AB=4,
∴AC=ABcos∠BAC=4=6.
∴CE=ACsin∠CAD=6×=3.
3.(1)证明:如图,连接OC.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∵AB⊥CD于点E,
∴∠CEB=90°.
∴∠OBC+∠BCD=90°.
∴∠OCB+∠BCD=90°
∵∠BCP=∠BCD,
∴∠OCB+∠BCP=90°.
∴OC⊥CP.
∵OC是☉O的半径,
∴CP是☉O的切线.
(2)解:设☉O的半径为x.
∵EB=2,
∴OE=x-2.
∵AB⊥CD,
∴CE=DE=CD=4.
在Rt△COE中,OC2=OE2+CE2,
即x2=(x-2)2+16,
解得x=5.
∴☉O的半径为5.
4.(1)证明:如图,连接EO.
∵OE=OA,∴∠OEA=∠OAE.
∵∠OAE=∠CAB,
∴∠OEA=∠CAB.
∵EF=FB,
∴∠FEB=∠FBE.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∴∠BEF+∠OEA=90°,
即∠OEF=90°.
∵点E在☉O上,
∴EF是☉O的切线.
(2)解: 在四边形COEF中,
∠FEO=∠OCF=90°.
∴∠F+∠EOC=180°.
∵∠F=100°,
∴∠EOC=180°-100°=80°.
∴扇形AOE的面积为=π.
5.(1)证明:如图,连接OC.
∵OE∥BC,∴∠OEA=∠ACB.
∵AB是☉O的直径,
∴∠OEA=∠ACB=90°.
∴OD⊥AC.由垂径定理,得OD垂直平分AC.
∴DA=DC.
在△ADO和△CDO中,
∴△ADO≌△CDO(SSS).
∴∠DAO=∠DCO.
∵DA为☉O的切线,OA是半径,
∴∠DAO=90°.
∴∠OCD=∠DAO=90°,
即OC⊥DC.∵OC是☉O的半径,
∴DC是☉O的切线.
(2)解:CF=2.
解法提示:在Rt△ABC中,
∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°.
又∵OB=OC,
∴△BOC是等边三角形.
∴∠BOC=60°.
又DC为☉O的切线,
∴∠OCF=90°.
在Rt△OCF中,OC=2,∠COB=60°,
∴CF=OC=2.
6.证明:如图所示,过点O作OC⊥AB,垂足为C.
∵AB=2,大圆半径为2,
∴AC=BC=AB=,OA=2.
在Rt△AOC中,由勾股定理,得OC====1.
∴OC的长等于小圆的半径1.
∴AB为同心圆☉O中小圆的切线.
7.证明:如图,过点D作DF⊥AC于点F.
∵∠ABC=90°,
∴AB⊥BC.
∵CD平分∠ACB交AB于点D,
∴BD=DF.
即DF是☉D的半径,
∴☉D与AC相切.
8.(1)证明:如图1,连接OD,过点O作OP⊥BC于点P.
图1
∵☉O与AC相切于点D,
∴OD⊥AC.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∠ACB=90°,O为AB的中点,
∴∠OCD=∠OCP=45°.
∴OD=OP,
即OP是☉O的半径.
∴BC是☉O的切线.
(2)解:∵AC=4,BC=AC,
∠ACB=90°,
∴AB=AC=8,OC⊥AB.
∵O为AB的中点,
∴OC=OA=AB=4.
∵OD⊥AC,
∴OD=AC=2.
在Rt△AOG中,AG===2.
如图2,连接OF,过点O作OH⊥AG于点H.
∴OH===.
∴HG==
=.
∵OF=OG,
∴FG=2HG=.
图2
