专题训练八 概率的综合应用
概率与代数的综合
1.现有四张分别标有数字1,2,3,4的卡片,它们除数字外完全相同,把卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是( )
A. B. C. D.
2.(2024枣庄一模)有四张形状、大小、质地完全相同的卡片,每张卡片的正面写有一个算式,将这四张卡片背面向上洗匀,从中随机抽取一张(不放回),接着再随机抽取一张,则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是( )
-5-2=-3 +=2
a5-a2=a3 a6·a2=a8
A. B. C. D.
3.从-2,-1,2,3,5中任取一个数作为a,则抛物线y=ax2+bx+c开口向下的概率为 .
4.用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数,其中是偶数的概率为 .
5.已知点A(m,n)的坐标满足:m为不大于3的正整数,n为小于5的正整数,则当直线y=-x+b(2≤b≤7,b为整数)经过点A的概率最大时,b= .
6.在一个不透明的口袋中装有三个小球,分别标有数字-1,0,1,每个小球除数字不同其余均相同,每次取出前都先摇匀.
(1)从口袋中随机取出一个小球,取出的小球上的数字不为0的概率是 .
(2)从口袋中随机取出一个小球不放回,记小球上的数字为x,摇匀后再从剩下的小球中随机取出一个小球,记小球上的数字为y.将有序数对(x,y)记为点坐标,标记到平面直角坐标系中,求得到的点的坐标在第二象限的概率.
概率与几何的综合
7.从长为3,5,7,15的四条线段中任意选取三条作为边,能构成三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.1
8.连接正六边形不相邻的两个顶点,并将中间的六边形涂上阴影,制成如图所示的镖盘,将一枚飞镖任意投掷到镖盘上,飞镖落在阴影区域的概率为 ( )
A. B.
C. D.
9.小江玩投掷飞镖的游戏,他设计了一个如图所示的靶子,E,F分别是矩形ABCD的两边AD,BC上的点,EF∥AB,M,N是EF上任意两点,则投掷一次,飞镖落在阴影部分的概率是 ( )
A. B.
C. D.
10.如图,从一个大正方形中截去面积为3 cm2和12 cm2的两个小正方形.若随机向大正方形内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为 ( )
A. B.
C. D.
11.如图,△ABC的面积为10 cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP,垂足为P,连接CP,若三角形内有一点M,则点M落在△BPC内(包括边界)的概率为 .
12.如图,这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.已知AE=5,BE=3,若向正方形ABCD内随意投掷飞镖(每次均落在正方形ABCD内,且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等),则恰好落在正方形EFGH内的概率是多少
概率与其他学科知识的综合
13.为了贯彻“双减”政策,落实“五育并举”,某校开设了丰富的劳动教育课程.小东、小亮两名同学分别从“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”4门课程中随机选择一门学习,则小东、小亮两人选择同一门课程的概率是 ( )
A. B. C. D.
14.苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病,主要表现为智力发育落后,生长发育受限和精神异常等.苯丙酮尿症由一对基因控制,体内由成对基因AA,Aa控制的个体是正常的,而体内由成对基因aa控制的个体患病.设母亲和父亲的基因是Aa,那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是 ( )
A. B. C. D.
15.(2024内江中考)如图所示的电路中,当随机闭合开关S1,S2,S3中的两个时,灯泡能发光的概率为( )
A. B. C. D.
16.将三个小球分别标上C,O,H三种化学元素符号(除标记符号外,其余均相同),放入一个不透明的袋中,摇匀后从中任意摸出2个小球,能够组成CO(一氧化碳)的概率是 .
【详解答案】
1.D 解析:画树形图如下:
由树形图可知,共有16种等可能的情况,其中两次抽出的卡片所标数字不同的情况有12种.
∴两次抽出的卡片所标数字不同的概率是=.故选D.
2.C 解析:-5-2=-7,计算错误;=2,计算正确;a5-a2≠a3,计算错误;a6·a2=a8,计算正确.设这四张卡片分别用A,B,C,D表示,画树形图如下:
由树形图可知,一共有12种等可能的结果,其中抽取的两张卡片上的算式都正确的结果有2种.
∴抽取的两张卡片上的算式都正确的概率为=.故选C.
3. 解析:∵抛物线y=ax2+bx+c开口向下,∴a<0.∵在-2,-1,2,3,5中只有-2,-1符合,∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下的概率为.
4. 解析:0不能在最高位,而且个位数字与十位数字不同,列表如下:
十位 个位 1 2 3
0 10 20 30
1 21 31
2 12 32
3 13 23
一共有可以组成9个数字,偶数有10,12,20,30,32,∴是偶数的概率为.
5.4或5 解析:∵m为不大于3的正整数,n为小于5的正整数,∴m=1,2,3,n=1,2,3,4.∴点A有12种情况:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4).代入y=-x+b(2≤b≤7,b为整数),对应的b有12种情况:2,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,7,其中b=4或5的概率最大.
6.解:(1)
(2)画树形图如下:
共有6种等可能的结果,得到的点的坐标在第二象限的是,结果有1种.
∴所求概率为.
7.A 解析:从长为3,5,7,15的四条线段中任意选取三条作为边,所有等可能情况有(3,5,7),(3,5,15),(3,7,15),(5,7,15),共4种,其中能构成三角形的情况只有(3,5,7),共1种,则能构成三角形的概率是.故选A.
8.B 解析:如图,令S△ABC=a,则S阴影=6a,S正六边形=18a,∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上,飞镖落在阴影区域的概率为=.故选B.
9.C 解析:∵四边形ABCD是矩形,EF∥AB,∴四边形AEFB是矩形.同理,四边形EDCF是矩形.
∴S△AEM+S△BFM=×EF×AE=×AB×AE=S△ABM.同理,S△EDN+S△NFC=S△DNC,
∴S△ABM+S△DNC=S△AEM+S△BMF+S△END+S△NFC,∴飞镖落在阴影部分的概率为.故选C.
10.A 解析:由题图,可知大正方形中的两个小正方形边长分别为2 cm, cm.∴大正方形的边长为2=3(cm).∴大正方形的面积为(3)2=27(cm2),阴影部分的面积为27-12-3=12(cm2).若随机向大正方形内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为=.故选A.
11. 解析:如图,延长AP交BC于点E.
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠EBP.
∵AP⊥BP.
∴∠APB=∠EPB=90°.在△ABP和△EBP中,
∴△ABP≌△EBP(ASA).∴AP=PE.∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP.∴S△PBC=S△ABC=×10=5(cm2),则点M落在△BPC内(包括边界)的概率为==.
12.解:根据题意,得AB2=AE2+BE2=34,∴S正方形ABCD=34.∵△ABE≌△BCF,∴AE=BF=5.
∵BE=3,∴EF=2,∴S正方形EFGH=4,故飞镖落在正方形EFGH内的概率为 =.
13.D 解析:设“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”这四种课程分别为A,B,C,D.画树形图如下:
共有16种等可能的结果,其中小东、小亮两人恰好选择同一门课程的结果有4种.∴小东、小亮两人选择同一门课程的概率是=.故选D.
14.D 解析:根据题意列表如下:
A a
A AA Aa
a Aa aa
共有4种等可能的情况,其中孩子不患苯丙酮尿症的情况是3种,则他们有正常孩子的概率是.故选D.
15.A 解析:由电路图,可知当同时闭合开关S1和S2, S1和S3时,灯泡能发光,画树形图如下:
共有6种等可能的结果,其中灯泡能发光的有4种.∴灯泡能发光的概率为=.故选A.
16. 解析:可能出现的情况:(C,O),(C,H),(O,H),(O,C),(H,C),(H,O),共有6种等可能的结果,其中能够组成CO(一氧化碳)的有2种,即能够组成CO(一氧化碳)的概率是=.专题训练七 “放回”与“不放回”问题
“放回”问题
1.(2024驻马店一模)将分别标有“最”“美”“泌”“阳”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字不同外其他完全相同,每次摸球前先搅匀,随机摸出一球,放回摸出的球后再随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字可以组成“泌阳”的概率是( )
A. B. C. D.
2.某校在劳动课上,设置了植树、种花、除草三个劳动项目.九年级一班和九年级二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目,则这两个班级恰好都抽到种花的概率是( )
A. B. C. D.
3.在不透明的口袋中装有2个黑球和3个白球,它们除颜色外都相同,从中随机取出1个球后放回,再随机取出1个球,则取出的2个球恰好都是黑球的概率为 .
4.一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球.从中任意摸出一个球,记下标号后放回并再次摸出一个球,记下标号后放回,则两次标号之和为3的概率为 .
5.在4张完全相同的卡片上,分别标出1,2,3,4,从中随机抽取1张后,放回再混合在一起,再随机抽取一张,那么第二次抽取的卡片上的数字能够整除第一次抽取的卡片上的数字的概率是 .
6.学校地下停车场有三个出口A,B,C,甲、乙两位老师可以任意选择一个出口开车驶离学校,试用列表或画树形图的方法求他们从不同的出口离开的概率.
7.小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球、一个白球和一个黄球,共四个小球.这些小球除颜色外其他都相同.试验规则:先将布袋内的小球摇匀,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回,称为摸球一次.
(1)若随机摸出一个小球,求恰巧是红球的概率.
(2)若小丽随机摸球两次,请利用画树形图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.
“不放回”问题
8.有甲、乙、丙、丁、戊五名翻译,其中甲只会翻译俄语,乙、丙、丁都只会翻译英语,戊俄语、英语都会翻译.现从中随机抽取2人组成一个翻译小组,则该小组能翻译上述两种语言的概率是( )
A. B. C. D.1
9.一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球,每个球除颜色外都相同.晓君同学从袋中任意摸出1个球(不放回)后,晓静同学再从袋中任意摸出1个球,两人都摸到红球的概率是 ( )
A. B. C. D.
10.在6,7,8,9四个数字中任意选取两个数字,则这两个数字之和为奇数的概率是( )
A. B. C. D.
11.在四张不透明的卡片上分别标有数字-3,-1,2,5,从中任取一张记下数字后不放回,洗匀后再取一张记下数字,则两次摸到的卡片上的数字之和为正数的概率为 .
12.甲、乙、丙三名选手参加赛跑,赛场共设1,2,3三条跑道(如图),选手以随机抽签方式决定各自的跑道,则甲、丙两位选手抽中相邻跑道的概率为 .
13.从数-2,-1,3中任取两个,其和为2的概率是 .
14.在一个不透明的袋子中,装有五个分别标有数字-,,0,2,π的小球,这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球,两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 .
15.在某次滚珠游戏中,放入的滚珠随机落入如图所示的田字格中的某一格(每个格子只能容纳一粒滚珠).
(1)现放入一粒滚珠,这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为 .
(2)若依次放入两粒滚珠,求这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的概率.
16.小红和小丁玩纸牌游戏,如图是同一副扑克中的4张牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌面上.
(1)小红从4张牌中抽取一张,这张牌的数字为偶数的概率是 .
(2)小红先从中抽出一张,小丁从剩余的3张牌中也抽出一张,把两人抽取的牌面上的数字相加.若和为偶数,则小红获胜;若和为奇数,则小丁获胜.请用画树形图或列表法的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.
【详解答案】
1.C 解析:画树形图如下:
由树形图可知,一共有16种等可能的结果,其中两次摸出的球上的汉字可以组成“泌阳”的结果有2种.∴两次摸出的球上的汉字可以组成“泌阳”的概率为=.故选C.
2.D 解析:设A,B,C分别表示植树、种花、除草三个劳动项目,列表如下,
A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
共有9种等可能的结果,符合题意的有1种.∴这两个班级恰好都抽到种花的概率是.故选D.
3. 解析:画树形图为:
共有25种等可能的结果,其中取出的2个球恰好都是黑球的结果数为4,所以取出的2个球恰好都是黑球的概率为.
4. 解析:由题意,画出树形图如下:
由图可知,两次摸球的所有等可能的结果共有4种,其中两次标号之和为3的结果有2种,则两次标号之和为3的概率P==.
5. 解析:列表如下,
第一次 第二次 1 2 3 4
1 =1
2 =2 =1 =
3 =3 =1
4 =4 =2 =1
共有16种等可能的结果,符合题意的有8种.∴第二次抽取的卡片上的数字能够整除第一次抽取的卡片上的数字的概率是=.
6.解:用树形图表示所有等可能出现的结果如下:
共有9种等可能出现的结果,其中两位教师从不同的出口离开的有6种,所以从不同的出口离开的概率为=.
7.解:(1)∵随机摸出一个小球有4种等可能的情况,恰巧是红球的有2种,
∴恰巧是红球的概率是=.
(2)画树形图如下:
由图可以看出,所有可能出现的结果共有16种,这些结果出现的可能性相等,其中两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种.∴这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率为=.
8.C 解析:用A表示只会俄语,B表示只会英语,C表示俄语、英语都会,画树形图如下:
由树形图可知,一共有20种等可能性的结果,其中该小组能翻译上述两种语言的结果有14种.∴该小组能翻译上述两种语言的概率为=.故选C.
9.A 解析:根据题意画树形图如下:
由树形图知,共有20种等可能的情况,其中两人都摸到红球的情况有2种,则两人都摸到红球的概率是=.故选A.
10.C 解析:列表如下:
6 7 8 9
6 13 14 15
7 13 15 16
8 14 15 17
9 15 16 17
所有等可能的结果有12个,和为奇数的结果有8个.∴在6,7,8,9四个数字中任意选取两个数字,则这两个数字之和为奇数的概率是=.故选C.
11. 解析:画树形图如下:
共有12种等可能的结果,两次摸到的卡片上的数字之和分别为-4,-1,2,-4,1,4,-1,1,7,2,4,7,其中两次摸到的卡片上的数字之和为正数的结果有8种.
∴两次摸到的卡片上的数字之和为正数的概率为=.
12. 解析:画出树形图如图:
共有6种等可能的结果,甲、丙两位选手抽中相邻跑道的结果有4种.
∴P==.
13. 解析:画树形图如下:
共有6种等可能的结果,其中两数之和为2的结果有2种.
∴和为2的概率为=.
14. 解析:根据题意列表如下:
- 0 2 π
- -3 0 -2 -π
-3 0 2 π
0 0 0 0 0
2 -2 2 0 2π
π -π π 0 2π
共有20种等可能出现的结果,两球上的数字之积恰好是有理数的有8种.
∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率P==.
15.解:(1)
(2)画树形图如下:
由树形图可知,有12种等可能的情况,其中成对角线的情况有4种,所以这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的概率为=.
16.解:(1)
(2)根据题意画出树形图如图所示:
共有12种等可能的情况,其中牌面上的数字相加和为偶数的有6+8,6+10,8+6,8+10,10+6,10+8,共6种情况,
则牌面上的数字相加和为奇数的共有6种情况.
∴小红获胜的概率为=,小丁获胜的概率为=.
∵=,
∴这个游戏规则对双方是公平的.
