第三十章　二次函数 单元评估测试卷（含答案） 2024-2025学年数学冀教版九年级下册

第三十章　二次函数 评估测试卷
(满分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数中是二次函数的是 (　　)
A.y=8x-1 B.y= C.y=8x2+1 D.y=+1
2.将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线的表达式为 (　　)
A.y=(x-3)2+4 B.y=(x+3)2+4
C.y=(x-3)2-4 D.y=(x+3)2-4
3.已知二次函数y=(k-2)2x2+(2k+1)x+1与x轴有交点,则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
A B
C D
4.(2024凉山州中考)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1),(0,y2),三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是 (　　)
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
5.定义运算:ab=,例如43=,则函数y=2的最小值为(　　)
A.-21 B.-9 C.-7 D.-5
6.已知二次函数y=mx2+x+m(m-2)的图像经过原点,则m的值为 (　　)
A.0或2 B.0 C.2 D.无法确定
7.(2024陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表,
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是 (　　)
A.图像的开口向上
B.当x>0时,y的值随x的值增大而增大
C.图像经过第二、三、四象限
D.图像的对称轴是直线x=1
8.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为,抛物线与y轴的交点位于x轴上方.则下列结论正确的是(　　)
A.a<0 B.c<0
C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0
9.已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),则下列说法正确的是(　　)
A.点(1,2)在该函数的图像上
B.当a=1且-1≤x≤3时,0≤y≤8
C.该函数的图像与x轴一定有交点
D.当a>0时,该函数图像的对称轴一定在直线x=的左侧
10.一次函数y=x-2n+4、二次函数y=x2+(n-1)x-3、反比例函数y=在同一直角坐标系中图像如图所示,则n的取值范围是 (　　)
A.n>-1 B.n>2 C.-111.二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示,对称轴为直线x=-1,则下列结论:
①>0;②am2+bm≤a-b(m为任意实数);③3a+c<1;
④若M,N是抛物线上不同的两个点,则x1+x2≤-3.其中正确的结论有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.(2024烟台中考)如图,水平放置的矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,菱形EFGH的顶点E,G在同一水平线上,点G与AB的中点重合,EF=2 cm,∠E=60°.现将菱形EFGH以1 cm/s的速度沿BC方向匀速运动,当点E运动到CD上时停止.在这个运动过程中,菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图像大致是 (　　)
A B C D
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.抛物线y=+2与y轴交点的坐标为　　　　.
14.如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看成抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位: m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位: m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图像,点B(6,2.68)在图像上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看成长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车　　　　完全停到车棚内.(填“能”或“不能”)
图1　 　　图2
15.已知二次函数y=x2-4x-7,当-2≤x≤3时,函数的最大值为　　　　.
16.(2024乐山中考)定义:函数图像上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图像的“近轴点”.例如,点(0,1)是函数y=x+1图像的“近轴点”.
(1)下列三个函数的图像上存在“近轴点”的是　　　　(填序号).①y=-x+3;②y=;③y=-x2+2x-1.
(2)若一次函数y=mx-3m的图像上存在“近轴点”,则m的取值范围为　　　　.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点.
(1)求b,c的值.
(2)若点P在该二次函数的图像上,且△PAB的面积为6,求点P的坐标.
18.(8分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,-3)两点.
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标.
(2)当019.(8分)某公园售卖雪糕,每根成本价为3元,经调查,每天的销售量y(根)与每根的售价x(元)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)设每天的总利润为w(元),若每根雪糕的售价为整数,则售价定为多少元时,获利最大 最大利润是多少
20.(8分)(2024陕西中考)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线形,桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面,如图所示,以O为原点,以直线FF'为x轴,以桥塔AO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
已知:缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100 m,AO=BC=17 m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2 m(桥塔的粗细忽略不计).
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式.
(2)点E在缆索L2上,EF⊥FF',且EF=2.6 m,FO21.(9分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△APC的面积最大 若存在,请直接写出点P的坐标和△APC面积的最大值;若不存在,请说明理由.
22.(10分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的表达式.
(2)设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标.
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
23.(11分)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖(如图①).火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图②,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-x+b.其中,当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级.
图①　　 图②
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km.
①直接写出a,b的值;
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出当a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.
24.(12分)(2024眉山中考)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点D在抛物线上.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)当点D在第二象限内,且△ACD的面积为3时,求点D的坐标.
(3)在直线BC上是否存在点P,使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
　　
备用图
【详解答案】
1.C　解析:由二次函数的定义,知y=8x2+1为二次函数.故选C.
2.A　解析:将抛物线y=x2向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线的表达式为y=(x-3)2+4.故选A.
3.C　解析:根据题意,得k-2≠0且b2-4ac=(2k+1)2-4(k-2)2≥0,解得k≥且k≠2.故选C.
4.D　解析:由抛物线y=(x-1)2+c可知,开口向上,对称轴为直线x=1,该抛物线上所有的点满足离对称轴的距离越近,其对应的函数值也就越小,∵(-2,y1),(0,y2),,而1-(-2)=3,1-0=1,-1=,1<<3,∴点(0,y2)离对称轴最近,点(-2,y1)离对称轴最远.∴y1>y3>y2.故选D.
5.B　解析:由题意,得y=(x+1)2=(x+1+2×2)(x+1-2)=(x+5)(x-1),即y=x2+4x-5=(x+2)2-9.∴当x=-2时,函数y=(x+1) 2的最小值为-9.故选B.
6.C　解析:由得m=2.故选C.
7.D　解析:由题意,得解得∴二次函数的表达式为y=-x2+2x=-(x-1)2+1.∵-1<0,∴图像的开口向下,故选项A不符合题意;图像的对称轴是直线x=1,故选项D符合题意;当01时,y的值随x的值增大而减小,故选项B不符合题意;∵顶点坐标为(1,1)且经过原点,图像的开口向下,∴图像经过第一、三、四象限,故选项C不符合题意.故选D.
8.C　解析:根据题意画出函数y=ax2+bx+c的图像,如图所示:
∵开口向上,与y轴的交点位于x轴上方,∴a>0,c>0.∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0.∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-1,-2),∴a-b+c=-2.观察四个选项,选项C符合题意.故选C.
9.C　解析:A.将x=1代入,得y=-2a+2,∵a≠0,∴y≠2,故A错误;B.当a=1时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当-1≤x≤3时,-1≤y≤8,故B错误;C.∵b2-4ac=(3a+1)2-12a=(3a-1)2≥0,∴图像与x轴一定有交点,故C正确;D.对称轴为直线x=-=
,∵a>0,∴x>,即对称轴在直线x=右侧,故D错误.故选C.
10.C　解析:根据题意,得
解得-111.B　解析:∵二次函数图像开口向下,∴a<0.∵对称轴为直线x=-1,∴x=-=-1,∴b=2a<0.∵抛物线与y轴交于正半轴,则c>0,∴<0.故①错误.∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,∴当x=-1时,y取得最大值,最大值为a-b+c.∴am2+bm+c≤a-b+c(m为任意实数),即am2+bm≤a-b.故②正确.∵x=1时,y<0,∴a+b+c<0.∵b=2a,∴a+2a+c<0,∴3a+c<0.∴3a+c<1.故③正确.∵M(x1,y),N(x2,y)是抛物线上不同的两个点,∴M,N关于直线x=-1对称.∴=
-1,即x1+x2=-2.故④错误.所以正确的有②③.故选B.
12.D　解析:如图1所示,设EG,HF交于点O.
图1
在菱形EFGH中,∠E=60°,HE=EF,△HFG是等边三角形.∵EF=2 cm,∠HEF=60°,∴∠OEF=30°.
∴EG=2EO=2×EFcos 30°=EF=6 cm.∴S菱形EFGH=EG·FH=×6×2=6(cm2).
当0≤t≤3时,重合部分为△MNG,如图2所示,
图2
依题意,△MNG为等边三角形.∵运动速度为1 cm/s,运动时间为t s,则NG==t cm.
∴S=×NG×NG×sin 60°==t2(cm2).
当3图3
依题意,EM=EG-t=(6-t)cm,则EK===(6-t)(cm).
∴S△EKJ=KJ·EM=(6-t)2=(6-t)2(cm2).
∴S=S菱形EFGH-S△EKJ=6(6-t)2=(cm2).∵EG=6如图4,当8图4
如图5,当11图5
综上所述,当0≤t≤3时,函数图像为开口向上的一段抛物线,当313.(0,3)　解析:∵y=(x-1)2+2,∴当x=0时,y=(0-1)2+2=3.∴抛物线y=(x-1)2+2与y轴交点的坐标为.
14.能　解析:∵CD=4 m,B(6,2.68),∴6-4=2.在y=-0.02x2+0.3x+1.6中,当x=2时,y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12.
∵2.12>1.8,∴可判定货车能完全停到车棚内.
15.5　解析:由二次函数的表达式为y=x2-4x-7,可知抛物线开口向上,对称轴为直线x=-=-=2,所以当x=2时,函数取得最小值,且y=2×2-4×2-7=-11,当x=-2时,y=4+4×2-7=5;当x=3时,y=9-4×3-7=-10.∴当-2≤x≤3时,函数的最大值为5.
16.(1)③　(2)-≤m<0或0解析:(1)如图所示,①y=-x+3中,当x=1.5时,y=1.5,不存在“近轴点”;②y=,由对称性,当x=y时,x=y=±,不存在“近轴点”;③y=-x2+2x-1=-(x-1)2,当x=1时,y=0,∴(1,0)是y=-x2+2x-1的“近轴点”.∴上面三个函数的图像上存在“近轴点”的是③.
(2)如图所示,在y=mx-3m=m(x-3)中,当x=3时,y=0.∴图像恒过点(3,0).当直线过(1,-1)时,-1=m(1-3),∴m=.
∴017.解:(1)二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点.
∴解得
(2)由(1)可知二次函数的表达式为y=-x2-x+2,A(-2,0),B(1,0).
∴AB=1-(-2)=3.
设P(m,n),
∴S△PAB=AB·=6.
∴=4.
∴n=±4.
∴当-x2-x+2=4时,1-8=-7<0,无解,不符合题意,舍去;
当-x2-x+2=-4时,解得x1=-3,x2=2.
∴点P的坐标为(2,-4)或(-3,-4).
18.解:(1)将点A(-1,0)和C(0,-3)代入y=x2+bx+c,得
解得
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-4).
(2)当019.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,
将(8,80),(10,60)代入,得
解得
所以y与x的函数关系式为
y=-10x+160.
(2)由题意,可知
w=(x-3)(-10x+160)=-10x2+190x-480.
∵-10<0,
∴该抛物线开口向下.
∴对称轴为直线x==9.5.
∵x为整数,3≤x≤16,
∴当x=9或10时,w有最大值.
最大值为-10×92+190×9-480=420.
答:每根雪糕的售价定为9元或10元时,获利最大,最大利润是420元.
20.解:(1)由题意,得顶点P的坐标为(50,2),点A的坐标为(0,17),
设缆索L1所在抛物线的函数表达式为y=a(x-50)2+2,
把(0,17)代入,得17=a(0-50)2+2,
解得a=.
∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y=(x-50)2+2.
(2)∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,
∴缆索L2所在抛物线的函数表达式为y=(x+50)2+2.
∵EF=2.6,
∴把y=2.6代入,得
2.6=+2.
解得x1=-40,x2=-60.
∴FO=40 m或FO=60 m.
∵FO∴FO的长为40 m.
21.解:(1)将B(1,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c,得
解得
∴y=-x2-2x+3.
(2)存在.点P的坐标为,△APC面积的最大值为.
解法提示:对于y=-x2-2x+3,令y=0,则-x2-2x+3=0,
解得x1=-3,x2=1.
∴A(-3,0).
∴OA=3.
∵C(0,3),
∴OC=3.
过点P作PE⊥x轴于点E,如图.
设P(x,-x2-2x+3),且点P在第二象限.
∴OE=-x,AE=3+x.
∴S△APC=S△APE+S梯形PCOE-S△AOC
=AE×PE+×OE-OA×OC
=(3+x)(-x2-2x+3)+(3-x2-2x+3)(-x)-×3×3
=-.
∵-<0,
∴S△APC有最大值.
∴当x=-时,S△APC有最大值,最大值为,此时点P的坐标为.
22.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,
∴
解得
∴二次函数的表达式为y=x2-x-1.
(2)当y=0时,x2-x-1=0,解得x1=2,x2=-1,∴点D的坐标为(-1,0).
(3)画出y=x+1的图像如图.由图像可得,当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是-123.解:(1)①a=-,b=8.1.
②由①知,y=-x+8.1,
y=-x2+x.
∴y=-x2+x=-.
∴最大高度为 km.
-1.35=2.4(km),
当y=2.4时,则-x2+x=2.4,
解得x1=12(不合题意,舍去),x2=3.
又∵x=9时,y=3.6>2.4,
∴当y=2.4时,
-x+8.1=2.4.
解得x=11.4.
11.4-3=8.4(km).
∴这两个位置之间的距离是8.4 km.
(2)-解法提示:当水平距离超过15 km时,
火箭第二级的引发点为(9,81a+9),
将(9,81a+9),(15,0)代入y=-x+b,得
解得
∴-24.解:(1)把A,C代入y=-x2+bx+c,得
解得
∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)过点D作DK∥y轴交AC于点K,如图.
由A(-3,0),C(0,3),得直线AC的表达式为y=x+3.
设D(t,-t2-2t+3),则K(t,t+3).
∴DK=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t.
∵△ACD的面积为3,
∴DK·=3.
即×3=3.
解得t=-1或t=-2.
∴点D的坐标为(-1,4)或(-2,3).
(3)在直线BC上存在点P,使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形.点P的坐标为(0,3)或或或.
解法提示:在y=-x2-2x+3中,令y=0,得0=-x2-2x+3,
解得x=-3或x=1.
∴A(-3,0),B(1,0).
由B(1,0),C(0,3),得直线BC的表达式为y=-3x+3.
设P(m,-3m+3),D(n,-n2-2n+3),
过点P作PN⊥y轴于点N,过点D作DM⊥y轴于点M.
①∵OA=OC=3,
∴当P与C重合,D与A重合时,△OPD是等腰直角三角形,如图1.
图1
此时P(0,3).
②当点P在第一象限,点D在第四象限时,如图2.
图2
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形,
∴OD=OP,∠POD=90°.
∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN.
∵∠DMO=90°=∠PNO,
∴△DOM≌△OPN(AAS).
∴DM=ON,OM=PN.
∴
解得(n小于0,舍去)
或
∴-3m+3=-3×+3=.
∴点P的坐标为
.
③当点P在第四象限,点D在第三象限时,如图3.
图3
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形,
∴OD=OP,∠POD=90°.
∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN.
∵∠DMO=90°=∠PNO,
∴△DOM≌△OPN(AAS).
∴PN=OM,ON=DM.
∴
解得或
(n大于0,舍去).
∴-3m+3=-3×+3=.
∴点P的坐标为
.
④当点P在第四象限,点D在第一象限时,如图4.
图4
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形,
∴OD=OP,∠POD=90°.
∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN.
∵∠DMO=90°=∠PNO,
∴△DOM≌△OPN(AAS).
∴PN=OM,ON=DM.
∴
解得(舍去)或
∴-3m+3=-3×+3=-.
∴点P的坐标为.
综上所述,点P的坐标为或或或.