期末评估测试卷（含答案） 2024-2025学年数学冀教版九年级下册

第二学期期末评估测试卷
(满分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则点Q在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.某市民政部门五一期间举行“即开式福利彩票”的销售活动,发行彩票10万张(每张彩票2元).在这些彩票中,设置如下奖项:
奖金/元 1 000 500 100 50 10 2
数量/个 10 40 150 400 1 000 10 000
如果花2元钱购买1张彩票,那么所得奖金不少于50元的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.如图,AB是☉O的直径,直线DE与☉O相切于点C,过点A,B分别作AD⊥DE,BE⊥DE,垂足为D,E,连接AC,BC.若AD=,CE=3,则的长为(　　)
A. B.π C.π D.π
4.(2024河北中考)如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体,它的左视图是 (　　)
A B C D
5.(2024广西中考)不透明袋子中装有白球2个,红球1个,这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,取出白球的概率是(　　)
A.1 B. C. D.
6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是 (　　)
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
7.如图,一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1=2∶3,则△A1B1C1的面积是 (　　)
A.90 cm2 B.135 cm2 C.150 cm2 D.375 cm2
8.(2024达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是 (　　)
A.b+c>1 B.b=2 C.b2+4c<0 D.c<0
9.(2024镇江中考)如图,小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处,他在灯光下的影长CD=3 m,然后他转身按原路返回到点B处,返回过程中小杰在灯光下的影长可以是 (　　)
A.4.5 m B.4 m C.3.5 m D.2.5 m
10.已知实数a,b满足b-a=1,则代数式a2+2b-6a+7的最小值等于 (　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
11.如图,点A在半径为2的☉O上,过线段OA上的一点P(异于A点)作直线l,与☉O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是(　　)
A B C D
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示,图像经过点(0,2),其对称轴为直线x=-1.下列结论:①3a+c>0;②若点(-4,y1),(3,y2)均在二次函数图像上,则y1>y2;③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个相等的实数根;④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为-2A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.如图是由棱长为1的正方体搭成的积木的三视图,则图中棱长为1的正方体的个数是　　　　 .
14.(2024内江中考)已知二次函数y=x2-2x+1的图像向左平移两个单位长度得到抛物线C,点P,Q在抛物线C上,则y1　　　　y2.(填“>”或“<”)
15.一个袋子中有若干个白球和绿球,它们除了颜色外都相同.随机从中摸一个球,恰好摸到绿球的概率是,则袋子中至少有　　　　个绿球.
16.如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,过点B作BF∥CD交AD的延长线于点F.
(1)BF与☉O的位置关系是　　　　.
(2)若AD=3,cos∠BCD=,则AB=　　　　,CD=　　　　.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)周末清晨,小敏和父亲来到家附近的河堤散步,如图,梯形CDEF是露在地上的河堤一部分,河堤的一侧有一棵树,小敏想测量这棵树的高度.她和爸爸查询资料得知,河堤两侧的坡度iCD=1∶,iEF=∶1.某一时刻,在太阳光的照射下,树的影子一部分落在地面BC处,一部分落在斜坡CM处,M刚好是CD的中点,同时,小敏观察到此刻太阳光线与斜坡面EF所在的直线平行,经测量坡面CD=4 m,BC=7 m,请你帮小敏求出树AB的高度.(参考数据:≈1.7,结果保留整数)
18.(8分)某校七年级年级组准备从博物馆a、植物园b两个研学基地中,随机选择一个基地研学,且每个基地被选到的可能性相等;八年级年级组准备从博物馆a、植物园b、科技馆c三个研学基地中,随机选择一个基地研学,且每个基地被选到的可能性相等.记选择博物馆a为a,选择植物园b为b,选择科技馆c为c,记七年级年级组的选择为x,八年级年级组的选择为y.
(1)请用列表法或画树形图法中的一种方法,求(x,y)所有可能出现的结果总数.
(2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P.
19.(8分)如图,AB是☉O的弦,BC切☉O于点B,AD⊥BC,垂足为D,OA是☉O的半径,且OA=2.
(1)求证:AB平分∠OAD.
(2)若E是弦AB所对的优弧上一点,且∠AEB=60°,求图中阴影部分的面积(计算结果保留π).
20.(8分)(2024福建中考)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的表达式.
(2)若P是二次函数图像上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
21.(9分)如图,△ABC是等腰三角形,且AC=BC,∠ACB=120°,在AB上取一点O,使OB=OC,以O为圆心,OB为半径作圆.
(1)猜想AC与☉O的位置关系,并证明你的猜想.
(2)已知AC=6,求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径.
22.(10分)(2024通辽中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O为AC边上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆与AB相切于点D,连接CD.
(1)求证:∠ABC=2∠ACD.
(2)若AC=8,BC=6,求☉O的半径.
23.(11分)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t,其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1)小球被发射后　　　　s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示).
(2)若小球离地面的最大高度为20 m,求小球被发射时的速度.
(3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
24.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=18 cm,AD=4 cm,两动点P,Q分别从A,B同时出发,点P从点A沿AB向点B匀速运动,每秒2 cm,点Q从点B沿BC向点C匀速运动,每秒1 cm,两点P,Q中有一点到达矩形的顶点则运动停止.设运动时间为x s,△BPQ的面积为y cm2.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)当P,Q两点运动多少秒时,△BPQ的面积为14 cm2
(3)当x取何值时,△BPQ的面积最大 并求出其最大面积.
【详解答案】
1.C　解析:由题中图像,可知a<0,b<0,c>0,则Q在第三象限.故选C.
2.C　解析:因为从10万张彩票中购买一张,每张被买到的机会相同,所以有10万个等可能的结果,奖金不少于50元的共有10+40+150+400=600(个),所以P(所得奖金不少于50元)==.故选C.
3.D　解析:连接OC( 图略).∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°.
∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠DAC+∠ACD=90°.∴∠DAC=∠ECB.
∵∠ADC=∠CEB=90°,∴△ADC∽△CEB.∴=,即=.
∵tan∠ABC==,∴∠ABC=30°.∴AB=2AC,∠AOC=60°,∴△AOC为等边三角形.
∵直线DE与☉O相切于点C,∴∠ACD=90°-∠ACO=30°.∴AC=2AD=2.∴AB=4.
∴☉O的半径为2,∴的长为=π.故选D.
4.D　解析:由题图可知,左视图一共有3列,每列小正方形的个数从左往右分别为3,1,1.故选D.
5.D　解析:从袋子中随机取出1个球,有2+1=3(种)等可能的结果,其中取出白球的结果有2种.∴P=.故选D.
6.B　解析:∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A=,∴==.∴AC=4.∴BC==3.∵r=3,∴☉B与AC的位置关系是相切.故选B.
7.D　解析:∵一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,OB∶BB1=2∶3.∴=.∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成,相似比为2∶5.∴==.∵三角形硬纸板的面积为60 cm2,∴△A1B1C1的面积为375 cm2.故选D.
8.A　解析:依题意,设抛物线y=-x2+bx+c与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2,x11.∵a=-1
<0,抛物线开口向下,∴当x=1时,y>0,即-1+b+c>0.∴b+c>1,故A选项正确,符合题意;若对称轴为x=-=-==1,即b=2,而x1<1,x2>1,不能得出对称轴为直线x=1,故B选项错误,不符合题意;∵抛物线与x轴有2个交点,∴关于x的方程-x2+bx+c=0有两个不相等的实数根,即b2-4ac>0,又a=-1,∴b2+4c>0,故C选项错误,不符合题意;无法判断c的符号,故D选项错误,不符合题意.故选A.
9.D　解析:返回过程中小杰身高为FH,连接AF并延长交BC于点G.
根据题意,得CE∥FH∥AB,∴△DCE∽△DBA,△GHF∽△GBA.∴=,=.∵CE=FH,∴=.∵BD>GB,∴CD>GH.∵CD=3 m,∴GH<3 m.∴返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5 m,故选D.
10.A　解析:∵b-a=1,∴b=a+1,∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2+2a+2-6a+7=a2-4a+4+5=(a-2)2+5,∴代数式a2+2b-6a+7的最小值等于5.故选A.
11.D　解析:∵AB与☉O相切,∴∠BAP=90°.∵OP=x,AP=2-x,∠APB=60°,∴AB=(2-x),则y=AB·AP=(2-x)2(0≤x<2),即y关于x的函数图象大致是D.故选D.
12.B　解析:①∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1,∴b=2a.由图像可得x=1时,y<0,即a+b+c<0,而b=2a,∴3a+c<0.故①错误.②∵抛物线开口向下,抛物线的对称轴为直线x=-1,∴当x<-1时,y随x的增大而增大;当x>-1时,y随x的增大而减小.∵=3,=4,即点(-4,y1)到对称轴的距离小于点(3,y2)到对称轴的距离,故y1>y2,故②正确.③由题中图像,可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-1有两个不同的交点,即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根,故③错误.④∵函数图像经过点(0,2),对称轴为直线x=-1,∴二次函数图像必然经过点(-2,2),∴ax2+bx+c>2时,x的取值范围为-213.9　解析:由三视图可知,该几何体有三层三列,且第一、二、三层分别有3个小正方体,则该几何体有9个小正方体.
14.<　解析:y=x2-2x+1=(x-1)2.∵二次函数y=x2-2x+1的图像向左平移两个单位得到抛物线C,∴抛物线C的表达式为y=(x+1)2.∴抛物线开口向上,对称轴为x=-1.∴当x>-1时,y随x的增大而增大.∵2<3,∴y115.3　解析:设袋子中绿球有3x个.∵摸到绿球的概率是,∴球的总数为3x÷=5x(个).∴白球的数量为5x-3x=2x(个).∵每种球的个数为正整数,∴2x>0,且x为正整数.∴x>0,且x为正整数.∴x的最小值为1.∴绿球的个数的最小值为3.∴袋子中至少有3个绿球.
16.(1)相切　(2)4　
解析:(1)∵CD⊥AB,BF∥CD,∴∠ABF=∠AED=90°,∴BF⊥AB.∵AB是☉O的直径,∴BF是☉O的切线.(2)如图,连接BD.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠A=∠BCD,∴cos∠BCD=cos A==.∵AD=3,∴AB=4.
∴BD==.∵S△ABD=AB·DE=AD·BD,即4DE=3,∴DE=.∴CD=.
17.解:如图,过点M作MH⊥AB,垂足为H,过点M作MQ⊥CF,垂足为Q,再过点E作EG⊥CF,垂足为G,并连接AM.
∵M为CD边中点,且CD=4 m,
∴CM=CD=2 m.
∵iCD=1∶,
∴∠MCQ=30°.
∴MQ=1 m,CQ= m.
∴BQ=HM=(7+)m.
∵太阳光线与斜坡面EF所在的直线平行,
∴△AHM∽△EGF.
∴AH∶HM=EG∶GF.
又∵iEF=∶1,即=,
∴AH=(7+3)m.
∴AB=AH+BH=7+3+1≈16(m).
答:树AB的高约为16 m.
18.解:(1)由题意可列表如下:
　x y　 a b
a (a,a) (b,a)
b (a,b) (b,b)
c (a,c) (b,c)
由表格可知,(x,y)所有可能出现的结果总数为6.
(2)由表格可知,该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的结果有4种.∴P(七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同)==.
19.(1)证明:连接OB,如图所示.
∵BC切☉O于点B,
∴OB⊥BC.
∵AD⊥BC,
∴AD∥OB.
∴∠DAB=∠OBA.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∴∠DAB=∠OAB.
∴AB平分∠OAD.
(2)解:如图,过点O作OH⊥AB于点H.
∵E是弦AB所对的优弧上一点,且∠AEB=60°,
∴∠AOB=2∠AEB=120°.
∵OA=OB,
∴∠OAH=∠OBH=30°.
∴OH=OA=.
∴AH==3.
∴AB=2AH=6.
∴阴影部分的面积等于扇形OAB的面积与三角形OAB的面积的差,即×6×=4π-3.
20.解:(1)将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c,
得解得
所以二次函数的表达式为y=x2+x-2.
(2)设P(m,n),因为点P在第二象限,所以m<0,n>0.
依题意,得=2,
即=2,所以=2.
由题意,得CO=2,
所以n=2CO=4.
由m2+m-2=4,
解得m1=-3,m2=2(舍去),
所以点P的坐标为(-3,4).
21.解:(1)AC与☉O相切.
证明如下:∵AC=BC,∠ACB=120°,
∴∠ABC=∠A=30°.
∵OB=OC,
∴∠CBO=∠BCO=30°,
∴∠OCA=120°-30°=90°,
∴AC⊥OC.
又∵OC是☉O的半径,
∴AC与☉O相切.
(2)在Rt△AOC中,∠A=30°,
AC=6,
则tan 30°===,
∠COA=60°,
∴CO=2,∠BOC=120°,
∴的长为=.
设底面圆半径为r,
则2πr=,解得r=.
22.(1)证明:如图1,连接OD.
图1
∵☉O与AB相切于点D,
∴OD⊥AB.
∴∠ODA=90°.
∴∠A+∠AOD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠A=90°.
∴∠AOD=∠ABC.
∵∠AOD与∠ACD所对的弧是同一条弧,
∴∠AOD=2∠ACD.
∴∠ABC=2∠ACD.
(2)解:如图2,连接OB.
在Rt△ABC中,
图2
AB===10.
∵∠OCB=90°=∠ODB,
在Rt△ODB和Rt△OCB中,OD=OC,OB=OB,
∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL).
∴BD=BC=6.
∴AD=AB-BD=4.
设☉O的半径为r,则OD=OC=r,OA=8-r.
在Rt△AOD中,r2+42=(8-r)2,
解得r=3.
∴☉O的半径为3.
23.解:(1)
(2)根据题意,得
当t=时,h=20.
∴-5×+v0×=20.
∴v0=20(负值舍去).
(3)小明的说法不正确.
理由如下:
由(2),得h=-5t2+20t.
当h=15时,15=-5t2+20t,
解得t1=1,t2=3.
∴两次间隔的时间为3-1=2(s).
∴小明的说法不正确.
24.解:(1)在矩形ABCD中,
∵AB=18 cm,AD=4 cm,PA=2x cm,BQ=x cm,
∴PB=(18-2x)cm.
∴y=x(18-2x)=x(9-x)=-x2+9x.
∵4÷1=4(s),18÷2=9(s),
∴x的取值范围为0(2)由(1),知-x2+9x=14,
∴x2-9x+14=0.
∴x1=2,x2=7.
又∵0∴当P,Q两点运动2 s时,△BPQ的面积为14 cm2.
(3)∵y=-x2+9x,a=-1<0,开口向下,对称轴为直线x=-=-=.
∴当x<时,y随x的增大而增大.
又∵0∴当x=4时,y最大=-42+9×4=20.
∴当x=4时,△BPQ的面积最大,最大面积为20 cm2.