26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质
@学霸笔记
1.反比例函数y＝（k≠0）的图象上的点满足反比例函数的解析式；满足反比例函数的解析式的点在反比例函数的图象上.
2.反比例函数y＝（k≠0）的图象和性质：
一般地，当k＞0时，函数的图象分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ；
一般地，当k＜0时，函数的图象分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而 .
注意：①反比例函数的图象是关于原点成中心对称的中心对称图形；②反比例函数的图象是关于直线y＝x或直线y＝－x对称的轴对称图形；③判定y＝（k≠0）图象的增减性时，必须在同一个象限内进行.
@基础分点训练
知识点1 反比例函数y＝（k＞0）的图象和性质
1.反比例函数y＝的大致图象是 （ ）
2.已知反比例函数y＝的图象经过点（1，1），则k的值为 .
3.若点A（－3，y1），B（－4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1 y2.（填“＞”或“＜”或“＝”）
4.已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则m的取值范围是 .
知识点2 反比例函数y＝（k＜0）的图象和性质
5.反比例函数y＝－的图象位于 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
6.当x＞0时，函数y＝－的图象为 （ ）
7.已知反比例函数y＝（k＜0）图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中正确的是 （ ）
A.y1＞y2＞0＞y3 B.y2＞y1＞0＞y3
C.y3＞0＞y1＞y2 D.y3＞0＞y2＞y1
8.（2024·武威校级二模）若反比例函数y＝（2m－1）的图象在第二、四象限，则m的值是 （ ）
A.－1或1
B.小于的任意实数
C.－1
D.不能确定
9.（2024·武威期末）已知反比例函数y＝－，则下列结论正确的是 （ ）
A.点（1，2）在它的图象上
B.其图象分别位于第一、三象限
C.y随x的增大而减小
D.若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在其图象上
@中档提分训练
10.已知A（1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是 （ ）
A.m＜0 B.m＞0
C.m＞－ D.m＜－
11.如图所示是三个反比例函数y1＝，y2＝，y3＝在y轴右边的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系是 （ ）
A.k1＞k2＞k3
B.k1＞k3＞k2
C.k2＞k3＞k1
D.k3＞k2＞k1
12.【新考法·开放性试题】（2024·武威校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，y1），B（2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y1＞y2，请你写出一个符合要求的k的值 .
@拓展素养训练
13.【核心素养·推理能力】反比例函数y＝的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）图象的另一支在第 象限. 在每个象限内，y随x的增大而 ；
（2）常数m的取值范围是 ；
（3）若此反比例函数的图象经过点（－2，3），求m的值.点A（－5，2）是否在这个函数的图象上？点B（－3，4）呢？
26.1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
@学霸笔记
反比例函数y＝（k≠0）中k的几何意义：｜k｜等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积，即S矩形＝ .
@基础分点训练
知识点1 反比例函数中k的几何意义
1.（2024·武威校级三模改编）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3，则k的值为 （ ）
A.3 B.－3 C. D.－
2.如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若＝2，则该反比例函数的解析式为 .
知识点2 反比例函数与一次函数的综合
3.函数y＝－2x的图象与双曲线y＝（k≠0）相交，则当x＜0时，该交点位于 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.【核心素养·推理能力】（教材P9习题T8变式）函数y＝和y＝kx＋2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是 （ ）
5.如图，直线y＝－x与双曲线y＝相交于A（－2，1），B两点，则点B的坐标为 （ ）
A.（2，－1） B.（1，－2） C. D.
6.（2024·武威校级三模）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B.若四边形OAPB的面积为12，则k的值为 （ ）
A.6 B.－6 C.12 D.－1
@中档提分训练
7.如图，在同一平面直角坐标系中，直线y1＝x＋1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（－2，－1），则当y1＞y2时，x的取值范围是 （ ）
A.x＜－2或x＞1 B.－2＜x＜1
C.－2＜x＜0或x＞1 D.x＜－2或0＜x＜1
8.【核心素养·运算能力】（2024·甘肃改编）如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，4）.过点B（0，2）作x轴的平行线分别交y＝ax＋b与y＝（x＞0）的图象于C，D两点.
（1）求一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的解析式；
（2）连接AD，求△ACD的面积.
@拓展素养训练
9.【新定义试题】定义：如图，在平面直角坐标系中，点P 是第一象限内任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B.若矩形OAPB的周长与面积的数值相等，则称点 P是平面直角坐标系中的“美好点”.
【尝试初探】
（1）判断：点C（2，3） “美好点”，点E（3，6） “美好点”；（填“是”或“不是”）
【深入探究】
（2）我们从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是“美好点”，那么y关于x的函数解析式是 ，自变量x的取值范围是 ；
【拓展延伸】
（3）对于图象上任意一个“美好点”P（x，y），代数式（2－x）（y－2）是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质
@学霸笔记
1.反比例函数y＝（k≠0）的图象上的点满足反比例函数的解析式；满足反比例函数的解析式的点在反比例函数的图象上.
2.反比例函数y＝（k≠0）的图象和性质：
一般地，当k＞0时，函数的图象分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而 减小 ；
一般地，当k＜0时，函数的图象分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而 增大 .
注意：①反比例函数的图象是关于原点成中心对称的中心对称图形；②反比例函数的图象是关于直线y＝x或直线y＝－x对称的轴对称图形；③判定y＝（k≠0）图象的增减性时，必须在同一个象限内进行.
@基础分点训练
知识点1 反比例函数y＝（k＞0）的图象和性质
1.反比例函数y＝的大致图象是 （ A ）
2.已知反比例函数y＝的图象经过点（1，1），则k的值为 2 .
3.若点A（－3，y1），B（－4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1 ＜ y2.（填“＞”或“＜”或“＝”）
4.已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则m的取值范围是 m＞1 .
知识点2 反比例函数y＝（k＜0）的图象和性质
5.反比例函数y＝－的图象位于 （ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
6.当x＞0时，函数y＝－的图象为 （ B ）
7.已知反比例函数y＝（k＜0）图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中正确的是 （ B ）
A.y1＞y2＞0＞y3 B.y2＞y1＞0＞y3
C.y3＞0＞y1＞y2 D.y3＞0＞y2＞y1
8.（2024·武威校级二模）若反比例函数y＝（2m－1）的图象在第二、四象限，则m的值是 （ C ）
A.－1或1
B.小于的任意实数
C.－1
D.不能确定
9.（2024·武威期末）已知反比例函数y＝－，则下列结论正确的是 （ D ）
A.点（1，2）在它的图象上
B.其图象分别位于第一、三象限
C.y随x的增大而减小
D.若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在其图象上
@中档提分训练
10.已知A（1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是 （ C ）
A.m＜0 B.m＞0
C.m＞－ D.m＜－
11.如图所示是三个反比例函数y1＝，y2＝，y3＝在y轴右边的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系是 （ A ）
A.k1＞k2＞k3
B.k1＞k3＞k2
C.k2＞k3＞k1
D.k3＞k2＞k1
12.【新考法·开放性试题】（2024·武威校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点A（－1，y1），B（2，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y1＞y2，请你写出一个符合要求的k的值 －1（答案不唯一） .
@拓展素养训练
13.【核心素养·推理能力】反比例函数y＝的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）图象的另一支在第 四 象限. 在每个象限内，y随x的增大而 增大 ；
（2）常数m的取值范围是 m＜2 ；
（3）若此反比例函数的图象经过点（－2，3），求m的值.点A（－5，2）是否在这个函数的图象上？点B（－3，4）呢？
解：（3）把（－2，3）代入y＝，
得m－2＝xy＝－2×3＝－6，解得m＝－4.
则该反比例函数的解析式为y＝－.
当x＝－5时，y＝≠2，
∴点A（－5，2）不在该函数的图象上.
当x＝－3时，y＝2≠4，
∴点B（－3，4）也不在该函数的图象上.
26.1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
@学霸笔记
反比例函数y＝（k≠0）中k的几何意义：｜k｜等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积，即S矩形＝ ｜k｜ .
@基础分点训练
知识点1 反比例函数中k的几何意义
1.（2024·武威校级三模改编）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3，则k的值为 （ A ）
A.3 B.－3 C. D.－
2.如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若＝2，则该反比例函数的解析式为 y＝－ .
知识点2 反比例函数与一次函数的综合
3.函数y＝－2x的图象与双曲线y＝（k≠0）相交，则当x＜0时，该交点位于 （ B ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.【核心素养·推理能力】（教材P9习题T8变式）函数y＝和y＝kx＋2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是 （ B ）
5.如图，直线y＝－x与双曲线y＝相交于A（－2，1），B两点，则点B的坐标为 （ A ）
A.（2，－1） B.（1，－2） C. D.
6.（2024·武威校级三模）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B.若四边形OAPB的面积为12，则k的值为 （ A ）
A.6 B.－6 C.12 D.－1
@中档提分训练
7.如图，在同一平面直角坐标系中，直线y1＝x＋1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（－2，－1），则当y1＞y2时，x的取值范围是 （ C ）
A.x＜－2或x＞1 B.－2＜x＜1
C.－2＜x＜0或x＞1 D.x＜－2或0＜x＜1
8.【核心素养·运算能力】（2024·甘肃改编）如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，4）.过点B（0，2）作x轴的平行线分别交y＝ax＋b与y＝（x＞0）的图象于C，D两点.
（1）求一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的解析式；
解：（1）因为函数y＝ax＋b的图象由函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度得到，
所以b＝3.
将点A坐标（2，4）代入一次函数解析式y＝ax＋3中，
得2a＋3＝4，解得a＝.
所以一次函数解析式为y＝x＋3.
将点A坐标（2，4）代入反比例函数解析式y＝中，
得4＝，解得k＝8.
所以反比例函数解析式为y＝.
（2）连接AD，求△ACD的面积.
+++（2）将y＝2代入y＝x＋3中，
得x＋3＝2，解得x＝－2.
所以点C的坐标为（－2，2）.
将y＝2代入y＝中，得＝2，解得x＝4.
所以点D的坐标为（4，2）.
所以CD＝4－（－2）＝6.
所以＝×6×＝6.
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9.【新定义试题】定义：如图，在平面直角坐标系中，点P 是第一象限内任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B.若矩形OAPB的周长与面积的数值相等，则称点 P是平面直角坐标系中的“美好点”.
【尝试初探】
（1）判断：点C（2，3） 不是 “美好点”，点E（3，6） 是 “美好点”；（填“是”或“不是”）
【深入探究】
（2）我们从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是“美好点”，那么y关于x的函数解析式是 y＝＋2 ，自变量x的取值范围是 x＞2 ；
【拓展延伸】
（3）对于图象上任意一个“美好点”P（x，y），代数式（2－x）（y－2）是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
解：（3）对于图象上任意一个“美好点”P（x，y），代数式（2－x）（y－2）为定值.理由如下：
∵y＝＋2，
∴（2－x）（y－2）＝（2－x）＝－4，
∴对于图象上任意一个“美好点”P（x，y），代数式（2－x）（y－2）为定值，定值为－4.
